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    立足圖形變化 提升推理能力*

    2023-01-24 05:49:04蔣惠麗
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年12期
    關(guān)鍵詞:紙片命題解決問(wèn)題

    蔣惠麗

    (江蘇省蘇州學(xué)府中學(xué)校 215009)

    1 基本情況

    為配合疫情防控的要求,我校上半年經(jīng)歷了由線下教學(xué)轉(zhuǎn)為線上教學(xué).本節(jié)課是學(xué)生線上學(xué)完《全等三角形》,轉(zhuǎn)線下學(xué)習(xí)后的一節(jié)單元復(fù)習(xí)課.因環(huán)境的改變,不少學(xué)生還不能完全適應(yīng)線下課堂,因此,在結(jié)束了本章學(xué)習(xí)后,筆者開(kāi)設(shè)了一節(jié)借助全等三角形紙片的運(yùn)動(dòng)變化,鞏固基本知識(shí)、基本技能的單元復(fù)習(xí)課.

    (1)教材與學(xué)情分析

    本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容是在完成《全等三角形》一章的學(xué)習(xí)后,為進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的推理能力,主要是從一些事實(shí)和命題出發(fā),依據(jù)規(guī)則推出其他結(jié)論的能力.利用全等三角形可以證明線段、角等基本幾何元素相等,所以本章的內(nèi)容也是后續(xù)學(xué)習(xí)等腰三角形、四邊形、圓等幾何圖形的基礎(chǔ),教材以平移、翻折、旋轉(zhuǎn)為主線展開(kāi)“圖形與幾何”的學(xué)習(xí).

    線上教學(xué)中教師沒(méi)有辦法實(shí)時(shí)關(guān)注所有學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài),且通常會(huì)存在網(wǎng)絡(luò)延時(shí)的問(wèn)題、偶爾會(huì)出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)異常、家庭學(xué)習(xí)氛圍不濃、同伴互助缺失等因素,線上學(xué)習(xí)期間,學(xué)生的聽(tīng)課、作業(yè)等情況都與線下授課有差異,而由此積累下來(lái)的學(xué)習(xí)習(xí)慣也對(duì)后續(xù)的線下學(xué)習(xí)產(chǎn)生一定的影響.由于學(xué)習(xí)環(huán)境不同導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果存在一定的差異,學(xué)生推理能力的發(fā)展也存在著不同程度的差異.

    借助“靶向教學(xué)”進(jìn)行數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué),能夠給班級(jí)和學(xué)生提供個(gè)性化、針對(duì)性的指導(dǎo),可以提升復(fù)習(xí)的效益.[1]基于此,筆者對(duì)前測(cè)調(diào)研數(shù)據(jù)進(jìn)行了靶向分析,發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生在幾何解題書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性、條件與結(jié)論之間的邏輯性分析方面還存在一些問(wèn)題,亟需一節(jié)針對(duì)性較強(qiáng)的單元復(fù)習(xí)課以彌補(bǔ)不足,幫助學(xué)生解決難點(diǎn)、痛點(diǎn)問(wèn)題,及時(shí)清理幾何學(xué)習(xí)道路上的障礙.

    (2)教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)

    教學(xué)目標(biāo) 復(fù)習(xí)全等三角形的概念、性質(zhì)和判定;建構(gòu)全等三角形的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),讓學(xué)生初步體會(huì)幾何學(xué)習(xí)的方法;通過(guò)自主設(shè)計(jì)、合作學(xué)習(xí),讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,初步形成邏輯表達(dá)與交流的習(xí)慣;培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考獲得證明的思路,注重遵循小步走、多層次的原則,由易到難、由淺入深地發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力.

    教學(xué)重點(diǎn) 掌握三角形全等的判定和性質(zhì),建構(gòu)全等三角形的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

    教學(xué)難點(diǎn) 規(guī)范解題書(shū)寫(xiě),感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,初步形成邏輯表達(dá)與交流的習(xí)慣.

    2 教學(xué)過(guò)程

    教師展示三組三角形紙片(圖1),分別是銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形,疊合每組圖形后均重合,自然引出本節(jié)課的復(fù)習(xí)內(nèi)容,并幫助學(xué)生回憶全等三角形的定義.

    圖1

    2.1 問(wèn)題驅(qū)動(dòng),建構(gòu)知識(shí)體系

    問(wèn)題1如圖2,△ABC≌△DEF,你能得到哪些結(jié)論?

    圖2

    師:任取其中一組三角形(圖1(3)),如圖2放置,你能得到哪些結(jié)論?

    生1:AB=DE,CB=FE,AC=DF.(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)

    生2:∠A=∠D,∠C=∠DFE,∠ABC=∠E.(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)

    師:很好!這些都是全等三角形的性質(zhì).除此以外,你們還能得到其他結(jié)論嗎?

    生3:AC∥DF,AB∥DE.

    師:依據(jù)是什么?

    生3:同位角相等,兩直線平行.

    師:完全正確!還能得到什么結(jié)論?

    生4:CF=BE.

    師:它們?yōu)槭裁聪嗟龋?/p>

    生4:因?yàn)镃B=FE,同時(shí)減去BF,剩下的部分仍然相等.

    師:依據(jù)是什么?

    生4:等式的性質(zhì).

    師:非常好!你不僅擁有一雙善于發(fā)現(xiàn)的眼睛,還擁有一個(gè)積極思考的大腦.

    設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題1比較基礎(chǔ),意在幫助學(xué)生復(fù)習(xí)全等三角形的性質(zhì)——全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等.除此以外,聯(lián)系之前學(xué)過(guò)的幾何知識(shí),還有些結(jié)論需要轉(zhuǎn)化才能得到,通過(guò)復(fù)習(xí)幫助學(xué)生建立新舊知識(shí)之間的關(guān)聯(lián).

    問(wèn)題2如圖2,在△ABC和△DEF中,要說(shuō)明△ABC≌△DEF,需要添加幾個(gè)條件?

    師:反過(guò)來(lái),如果要說(shuō)明△ABC≌△DEF,我們需要添加幾個(gè)條件?

    生:三個(gè).

    師:具體是哪三個(gè)條件呢?

    生5:AB=DE,∠A=∠D,AC=DF.

    師:判定的依據(jù)是什么?

    生5:SAS.

    師:表達(dá)得很正確.還有另外的判定方法嗎?

    生6:AB=DE,∠A=∠D,∠ABC=∠E.其實(shí)只要有兩組對(duì)應(yīng)的角相等,再加任意一組邊即可.

    師:判定的依據(jù)是什么?

    生6:ASA或者AAS.

    師:很好!描述清楚到位.

    生7:還可以添加AB=DE,CB=FE,AC=DF,依據(jù)是SSS.

    師:回答非常完整!同學(xué)們,如果我們當(dāng)初的選擇是一對(duì)直角三角形(圖1(2))呢?

    生7:只要加兩個(gè)條件了,因?yàn)樗詭б唤M直角.

    師:非常好!你來(lái)試試.

    生7:如果加兩條直角邊相等,那就是用SAS;如果加一組銳角相等,并且任意一組邊相等,那就是用AAS或者ASA;如果加一組直角邊相等,并且斜邊也相等,那就是用HL.

    師:總結(jié)得很好!對(duì)于直角三角形,一般三角形全等的判定仍然適用.當(dāng)然,因?yàn)橐阎唤M直角相等的緣故,SSS這一判定需要添加三個(gè)條件,顯得有些“浪費(fèi)資源”,是被舍棄的.同時(shí)也因?yàn)橹苯侨切蔚奶厥庑?,與一般三角形相比,它還擁有一個(gè)特殊的判定方法(HL).如果我們把這兩張鈍角三角形紙片放置到另一特殊的位置(圖3),此時(shí)需要添加幾個(gè)條件呢?

    圖3

    問(wèn)題3如圖3,在△ABC和△DEF中,要說(shuō)明△ABC≌△DEF,需要添加幾個(gè)條件?

    生8:兩個(gè).因?yàn)樗鼈冇幸唤M公共邊,所以只要加兩角、兩邊或者一角一邊即可.

    師:觀察得很仔細(xì),表達(dá)得也很清楚.我們把公共邊這樣的條件叫做隱含條件,善于挖掘隱含條件,會(huì)為我們解決問(wèn)題提供很大的幫助.

    設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題2和問(wèn)題3也屬于非常基礎(chǔ)的題目,目的是幫助學(xué)生復(fù)習(xí)全等三角形的判定,強(qiáng)化判斷一組三角形全等需要三個(gè)條件,其中一組邊相等是必備條件.問(wèn)題3引導(dǎo)學(xué)生善于挖掘題目中的隱含條件——公共邊、公共角、對(duì)頂角等,從而有助于問(wèn)題的順利解決.

    從大容量習(xí)題的學(xué)案走向簡(jiǎn)約呈現(xiàn)、內(nèi)涵豐富的問(wèn)題驅(qū)動(dòng),可有效促進(jìn)學(xué)生思維卷入高質(zhì)量問(wèn)題中,從而追求探索未知的有效教學(xué).[2]在問(wèn)題1~3的驅(qū)動(dòng)下,學(xué)生從定義、性質(zhì)、判定三個(gè)方面回憶了《全等三角形》這一章的知識(shí)點(diǎn),這也是繼續(xù)研究其他幾何圖形的策略.同時(shí),圖2和圖3還可以看成由△ABC平移、翻折而來(lái),讓學(xué)生感悟圖形的運(yùn)動(dòng)變化是研究幾何的重要手段之一.

    2.2 例題示范,規(guī)范解題格式

    例1如圖2,已知AC∥DF,AC=DF,CF=BE.求證:AB∥DE.

    例2如圖3,在△ABC和△DBC中,AC=DC,AB=DB,連結(jié)AD,試說(shuō)明CB與AD的位置關(guān)系.

    在原有圖2和圖3的基礎(chǔ)上進(jìn)行命題,通過(guò)學(xué)生板書(shū)、師生合作點(diǎn)評(píng),幫助學(xué)生梳理邏輯關(guān)系,明確幾何解題的規(guī)范,同時(shí)鞏固了位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系、間接條件和直接條件之間的相互轉(zhuǎn)化等知識(shí)點(diǎn).因使用原圖,學(xué)生接受情況良好,節(jié)省了重新審題的時(shí)間,可以把更多的精力轉(zhuǎn)移到規(guī)范書(shū)寫(xiě)上來(lái).

    例題過(guò)后設(shè)計(jì)一個(gè)開(kāi)放的變式,如把鈍角三角形替換成銳角三角形或者直角三角形、把平移和翻折結(jié)合起來(lái)或者加上旋轉(zhuǎn)均可,這一選擇由學(xué)生自己來(lái)決定,師生合作完成.有了前期問(wèn)題的鋪墊,學(xué)生進(jìn)而會(huì)思考這兩張三角形紙片還可以如何放置,一般放置到某一特定位置,一定會(huì)生成一些新的特殊圖形,這是一個(gè)命題者極容易捕捉到的信息,根據(jù)這一信息,可以命制出一些新的題目來(lái).

    2.3 自主設(shè)計(jì),落實(shí)四基四能

    課程目標(biāo)以學(xué)生發(fā)展為本,以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力,形成正確的情感、態(tài)度和價(jià)值觀[3].

    例題是教師命題學(xué)生做,最后教師把命題解題的自主權(quán)交給學(xué)生.學(xué)生利用手中的全等三角形,圍繞本節(jié)課的主題來(lái)設(shè)計(jì)圖形,繼而發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題,并能夠分析和解決問(wèn)題.在此活動(dòng)過(guò)程中,學(xué)生拼搭出很多作品,并在此基礎(chǔ)上嘗試命題解題.

    學(xué)生部分作品如下:

    作品1 將兩個(gè)全等三角形如圖4放置,∠A=75°,∠DBC=40°,求∠DCB的度數(shù).

    作品2 如圖5,已知△ABC≌△CDA,求證:AB∥DC,AD∥BC.

    圖4 圖5

    作品3 在Rt△ABC和Rt△CDE中,∠B=∠D=90°,將兩個(gè)全等的直角三角形如圖6放置,B,C,D三點(diǎn)在同一條直線上,求證:∠ACE=90°.

    圖6 圖7

    作品4 將三個(gè)全等的三角形如圖7放置,若∠ABC=18°,∠ACB=29°,求∠DAE的度數(shù).

    不少學(xué)生經(jīng)歷了近30分鐘的學(xué)習(xí)后,有些疲憊和懈怠,通過(guò)這一活動(dòng)環(huán)節(jié),自主設(shè)計(jì)圖形、自主或者互相命題、獨(dú)立或者合作解決問(wèn)題,不僅能幫助學(xué)生鞏固本章知識(shí),還能拓寬學(xué)生思維,同時(shí)調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,增進(jìn)同伴互助,提高課堂實(shí)效.當(dāng)然,因?yàn)闂l件的限制,本節(jié)課生成出的作品大都是直接使用拼搭的圖形本身,已知三角形全等,求邊求角的問(wèn)題.課后教師還可以引導(dǎo)學(xué)生利用拼搭好的圖形,逐步添加線條,使得圖形更加豐富;也可以反過(guò)來(lái)通過(guò)添加合適的條件,轉(zhuǎn)而證明三角形全等.

    2.4 課堂小結(jié),布置作業(yè)(略)

    3 回顧與反思

    3.1 分析學(xué)情,定位精準(zhǔn)

    學(xué)生剛剛恢復(fù)線下學(xué)習(xí),學(xué)習(xí)的狀態(tài)和以往相比還是略有不同,處于線上線下學(xué)習(xí)的過(guò)渡期.學(xué)生剛剛學(xué)完《全等三角形》這一章,許多知識(shí)點(diǎn)還有待進(jìn)一步鞏固提高,通過(guò)本節(jié)課的復(fù)習(xí)幫助學(xué)生串聯(lián)全等的相關(guān)知識(shí),初步建構(gòu)全等三角形的知識(shí)體系,感悟幾何學(xué)習(xí)的方法.

    在選題設(shè)計(jì)方面充分考慮學(xué)情,選擇的圖形簡(jiǎn)潔清晰.課堂中出現(xiàn)的所有圖形都是由兩個(gè)全等的三角形構(gòu)成,學(xué)生比較容易厘清邊、角之間的數(shù)量關(guān)系,幫助學(xué)生建立解題自信;同時(shí)注重基本圖形的變化,讓學(xué)生感知復(fù)雜圖形可以由簡(jiǎn)單圖形運(yùn)動(dòng)變化獲得,逐步幫助學(xué)生完成從簡(jiǎn)單圖形到復(fù)雜圖形的過(guò)渡;在學(xué)生完全掌握了基本知識(shí),積累一定的解題基本經(jīng)驗(yàn)后,再逐步接觸比較復(fù)雜的圖形,從而減少學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的畏難情緒.

    3.2 動(dòng)手設(shè)計(jì),自主命題

    通過(guò)學(xué)生訪談,了解到他們也不是故意不聽(tīng)課,有些時(shí)候聽(tīng)著聽(tīng)著就走神了,等到回過(guò)神來(lái)的時(shí)候已然聽(tīng)不懂了,長(zhǎng)此以往學(xué)生也就慢慢失去了數(shù)學(xué)課堂的參與能力.基于此,把課堂還給學(xué)生,把命題解題的自主權(quán)交給學(xué)生,讓他們利用兩張全等的三角形紙片進(jìn)行拼搭,設(shè)計(jì)圖形—提出問(wèn)題—分析問(wèn)題—解決問(wèn)題,通過(guò)這個(gè)活動(dòng),讓學(xué)生過(guò)了一把當(dāng)老師的癮,學(xué)習(xí)勁頭就上來(lái)了.從簡(jiǎn)單的拼搭開(kāi)始,慢慢添加線條,圖形越來(lái)越復(fù)雜,學(xué)生能解決的問(wèn)題越來(lái)越多,自信和興趣便隨之增多.

    在“做”數(shù)學(xué)的活動(dòng)中,要時(shí)刻關(guān)注學(xué)生是否能在教師的引導(dǎo)下,積極主動(dòng)進(jìn)行操作、探索、歸納;能否有條理地思考和表達(dá);能否有意識(shí)地反思探索的過(guò)程,獲得分析問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn).此外,教師不僅要關(guān)注學(xué)生參與操作、探索、歸納活動(dòng)的程度,而且要關(guān)注

    學(xué)生能否通過(guò)獨(dú)立思考獲得證明的思路,能否運(yùn)用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述論證的過(guò)程.

    活動(dòng)的順利進(jìn)行基于小組合作,如果學(xué)生只會(huì)拼搭圖形,但解決問(wèn)題的能力偏弱些,組內(nèi)的成員們會(huì)幫助他一起解決,同時(shí)其本人也會(huì)更加專注別人解決問(wèn)題的方法,更有針對(duì)性地去關(guān)注自己當(dāng)時(shí)的難點(diǎn),為下一次自己能夠獨(dú)立解決問(wèn)題奠定基礎(chǔ).

    3.3 適當(dāng)放手,留有余地

    學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體,教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者,作為教師應(yīng)該把更多的時(shí)間和空間留給學(xué)生自己,而不是急于表達(dá)教師想表達(dá)的,應(yīng)當(dāng)多關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程,給予更多學(xué)生表達(dá)自己的機(jī)會(huì).有了輕松民主的課堂氛圍,學(xué)生思維的火花就能精彩頻出.

    課后一位學(xué)生分享了他的思考.他認(rèn)為使用三角形紙片不妥,他拿出自己使用毛根(一種可彎曲定型的手工材料)制作的三角形,很認(rèn)真地說(shuō),這才是三角形,而且疊合時(shí)前面的三角形也擋不住后面的.確實(shí)如此,他的想法是正確的,筆者大力表?yè)P(yáng)了他勤于動(dòng)手、善于觀察、專于思考、敢于發(fā)問(wèn).然后解釋,用他的道具更好,只是不太常見(jiàn),同學(xué)們不容易找到,解題時(shí)不能及時(shí)應(yīng)急,紙片雖然不夠嚴(yán)謹(jǐn),但是能表達(dá)清楚題目意圖,關(guān)鍵是它隨時(shí)可取,在必要的時(shí)候能夠幫助我們解決問(wèn)題.不過(guò)紙片三角形也好,毛根三角形也罷,它們都只是協(xié)助我們思考的“腳手架”,當(dāng)我們能夠順利解決問(wèn)題時(shí),也可以無(wú)需通過(guò)道具就能解決問(wèn)題,但是毋庸置疑,這些道具在幫助我們?cè)O(shè)計(jì)圖形、分析問(wèn)題時(shí)發(fā)揮了極其重要的作用.

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