一類非齊次橢圓方程組非常弱解的正則性

陳淑紅

一類非齊次橢圓方程組非常弱解的正則性

陳淑紅

（武夷學院 數學與計算機學院，福建 武夷山 354300）

研究一類非齊次項是-Laplace算子的橢圓方程組非常弱解的正則性。結合Hodge分解以及偏微分方程正則性理論的證明技巧，建立了具有-Laplace型橢圓方程組的非常弱解與經典意義下的弱解之間的關系。

-Laplace型；非常弱解； Hodge分解；正則性

0　引言

考慮一類非齊次項具有-Laplace算子的橢圓方程組

本文主要研究非齊次橢圓方程組（式（1））非常弱解的正則性。在著名數學家Hilbert于1904年提出的20個公開問題中，涉及解的正則性問題的就有2個，可見正則性研究的重要性，因此也吸引了研究者的廣泛關注和探索，并取得了豐碩的成果［1-5］。

正則性理論的研究大多是在方程（組）存在弱解的情況下進行的，然而，很多具體形式、特定形式的方程（組）在已有研究方法下尚無法獲得經典意義上的弱解，如具有奇異對流的方程組［6］、具有-Laplace型非齊次項的橢圓方程［7］等。

解的存在性仍然是一個懸而未決的問題。

幸運的是，1992年，IWANIEC［9］偶然發(fā)現在廣義積分意義下，解的可積性指標在一定程度上可低于自然增長指標，由此提出了在經典意義下的弱解，即在更廣泛的空間內定義方程弱解，并將其定義為非常弱解。

1　基本引理

2　正則性證明

令

由引理3，可得

由式（9）和式（11），可推得

代入式（13），得

由式（2）和式（3），得

由引理2和等式（10），可以發(fā)現

其中，

由式（10）、Young不等式以及Poincare不等式，有

再利用Young不等式和Poincare不等式，可得

重復上述過程，則由引理4，可得定理1成立。

推論1獲證。

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Regularity of very weak solutions for a class of inhomogeneous elliptic equations

CHEN Shuhong

（，，354300，，）

In this paper, we study the regularity theory of very weak solutions for a class of elliptic equations which inhomogeneous terms are-Laplace operators. Combining Hodge decomposition and the regularity theory of partial differential equations, the relation between the very weak solution of-Laplacian elliptic equations and the weak solution in the classical sense is established.

-Laplace type; very weak solution; Hodge decomposition; regularity

O 175.2

A

1008?9497（2023）01?025?05

2021?09?09.

國家自然科學基金資助項目（11571159）；武夷學院引進人才科研啟動項目（YJ202118）.

陳淑紅（1979—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0001-6648-6486，女，博士（后），教授，主要從事偏微分方程研究，E-mail：shiny0320@163.com.