帶有量子修正的Zakharov方程的精確非線性波解

吳沈輝，宋明

帶有量子修正的Zakharov方程的精確非線性波解

吳沈輝，宋明*

（紹興文理學(xué)院 數(shù)理信息學(xué)院, 浙江 紹興 312000）

利用動(dòng)力系統(tǒng)定性理論和分支方法，研究了帶有量子修正的Zakharov方程的精確非線性波解，給出了不同參數(shù)條件下的相圖，沿相圖中的特殊軌道進(jìn)行了積分，得到量子Zakharov方程的4個(gè)孤立波解、7個(gè)奇異波解和24個(gè)周期波解共3類(lèi)非線性波解。當(dāng)參數(shù)取特殊值時(shí)，對(duì)部分周期波解取極限，給出了周期波解演化為相應(yīng)的孤立波解和奇異波解的過(guò)程。

分支方法；修正Zakharov方程；非線性波解

0　引言

1972年，ZAKHAROV［1］提出了可用于描述高頻Langmuir波和低頻等離子波之間非線性相互作用的Zakharov方程，此為等離子體物理中的重要方程組。在一維情況下，經(jīng)典的Zakharov方程為

近年來(lái)，眾多學(xué)者致力于研究經(jīng)典等離子體中的物理現(xiàn)象?？紤]量子效應(yīng)，用經(jīng)典模型進(jìn)行描述不夠精確，GARCIA等［2］利用量子流體方法得到帶有量子修正的Zakharov方程：

首先，利用動(dòng)力系統(tǒng)分支方法和定性理論［10-20］研究量子Zakharov方程的非線性波解，討論不同參數(shù)取值范圍內(nèi)行波解的存在性。其次，通過(guò)行波變換將方程轉(zhuǎn)至平面系統(tǒng)，確定不同參數(shù)條件下奇點(diǎn)的類(lèi)型，并借助Mathematica軟件得到系統(tǒng)的分支相圖，分別對(duì)相圖中的同宿軌道、異宿軌道和周期軌道進(jìn)行積分，得到對(duì)應(yīng)的孤立波解、奇異波解和周期波解。最后，給出當(dāng)參數(shù)取極限時(shí)周期波解演化為孤立波解和奇異波解的過(guò)程。

1　相圖

采用變換：

將式（2）轉(zhuǎn)化為

將式（4）的第2式求導(dǎo)后代入第1式，并對(duì)第3式積分2次，得

設(shè)

將式（6）代入式（5）的第1式，得

將式（6）代入式（5）的第2式，得

對(duì)式（9）積分，得到2個(gè)哈密頓函數(shù)：

令

根據(jù)動(dòng)力系統(tǒng)定性理論，利用Mathmatica軟件，得到式（9）的相圖（圖1）。

2　非線性波解

圖1　在不同參數(shù)下式（9）的相圖

由式（3），得到2個(gè)孤立波解：

2個(gè)奇異波解：

利用式（3），得到2個(gè)周期波解：

利用式（3），得到2個(gè)周期波解：

利用式（3），得到8個(gè)周期波解：

利用式（3），得到3個(gè)奇異波解：

利用式（3），得到2個(gè)孤立波解：

2個(gè)奇異波解：

利用式（3），得到2個(gè)周期波解：

利用式（3），得到2個(gè)周期波解：

利用式（3），得到8個(gè)周期波解：

3　周期波解的演化過(guò)程

當(dāng)參數(shù)取特殊值時(shí)，對(duì)周期波解取極限，得到相應(yīng)的孤立波解和奇異波解。

圖2　當(dāng)時(shí)，周期波解式（27）孤立波解式（16）

圖3　當(dāng)時(shí)，周期波解式（37）孤立波解式（16）

圖4　當(dāng)時(shí)，周期波解式（28）奇異波解式（17）

圖5　當(dāng)時(shí)，周期波解式（38）奇異波解式（17）

4　結(jié)論

［1］ ZAKHAROV V E. Collapse of Langmuir waves［J］. Soviet Physics JETP， 1972， 35（5）： 908-914.

［2］ GARCIA L G， HAAS F， OLIVEIRA L P L， et al. Modified Zakharov equations for plasmas with a quantum correction［J］. Physics of Plasmas， 2005， 12（1）： 3842. DOI：10.1063/1.1819935

［3］ 游淑軍，郭柏靈，寧效琦. Langmuir擾動(dòng)方程和Zakharov方程：光滑性與近似［J］. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)， 2012， 33（8）： 1013-1022. DOI：10.3879/j.issn.1000-0887.2012.08.009

YOU S J， GUO B L， NING X Q. Equations of Langmuir turbulence and Zakharov equations： Smoothness and approximation［J］. Applied Mathematics and Mechanics， 2012， 33（8）： 1013-1022. DOI：10.3879/j.issn.1000-0887.2012.08.009

［4］ LI L， FANG S M. The initial boundary value problem for modified Zakharov system［J］. Advances in Pure Mathematics， 2015， 5（5）： 278-285. DOI：10.4236/apm.2015.55028

［5］ YANG Q， DAI C Q， WANG Y Y， et al. Quantum soliton solutions of quantum Zakharov equations for plasmas［J］. Journal of the Physical Society of Japan， 2005， 74（9）： 2492-2495. DOI：10.1143/JPSJ.74.2492

［6］ 王悅悅，楊琴，戴朝卿，等. 考慮量子效應(yīng)的Zakharov方程組的孤波解［J］. 物理學(xué)報(bào)， 2006， 55（3）： 1029-1034. DOI：10.3321/j.issn：1000-3290.2006.03.006

WANG Y Y， YANG Q， DAI C Q， et al. Solitary wave solution of Zakharov equation with quantum effect［J］. Acta Physica Sinica， 2006， 55（3）： 1029-1034. DOI：10.3321/j.issn：1000-3290.2006.03.006

［7］ ZHENG X X， SHANG Y D， DI H F. The time-periodic solutions to the modified Zakharov equations with a quantum correction［J］. Mediterranean Journal of Mathematics， 2017， 14（4）： 152. DOI：10.1007/s00009-017-0952-4

［8］ FANG S M， GUO C H， GUO B L. Exact traveling wave solutions of modified Zakharov equations for plasmas with a quantum correction［J］. Acta Mathematica Scientia， 2012， 32（3）： 1073-1082. DOI：10.1016/s0252-9602（12）60080-0

［9］ HAN L J，KONG Y，XIN L， et al. Exact periodic wave solutions for the modified Zakharov equations with a quantum correction［J］. Applied Mathematics Letters， 2019， 94： 140-148. DOI：10.1016/j.aml. 2019.01.009

［10］LI J B， LIU Z R. Smooth and non-smooth traveling waves in a nonlinearly dispersive equation［J］. Applied Mathematical Modelling， 2000， 25（1）： 41-56. DOI：10.1016/s0307-904x（00）00031-7

［11］LIU Z R， YANG C X. The application of bifurcation method to a higher-order KDV equation［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2002， 275（1）： 1-12. DOI：10.1016/s0022-247x（02）00210-x

［12］SONG M， LIU Z R， ZERRAD E， et al. Singular soliton solution and bifurcation analysis of Klein-Gordon equation with power law nonlinearity［J］. Frontiers of Mathematics in China， 2013， 8（1）： 191-201. DOI：10.1007/S11464-012-0252-Z

［13］SONG M， LIU Z R. Periodic wave solutions and their limits for the ZK-BBM equation［J］. Applied Mathematics and Computation， 2014， 232（1）： 9-26. DOI：10.1016/j.amc.2014.01.048

［14］SONG M， LIU Z R， YANG C X. Periodic wave solutions and their limits for the modified KDV-KP equations［J］. Acta Mathematica Sinica （English Series）， 2015， 31（6）： 1043-1056. DOI：10.1007/s10114-015-3362-1

［15］WEN Z S. The generalized bifurcation method for deriving exact solutions of nonlinear space-time fractional partial differential equations［J］. Applied Mathematics and Computation， 2020， 366（1）： 124735. DOI：10.1016/j.amc.2019.124735

［16］SONG M， WANG B D， CAO J. Bifurcation analysis and exact traveling wave solutions for （2+1）-dimensional generalized modified dispersive water wave equation［J］. Chinese Physics B， 2020， 29（10）： 100206. DOI：10.1088/1674-1056/ab9f27

［17］SHI L J， WEN Z S. Bifurcations and dynamics of traveling wave solutions to a Fujimoto-Watanabe equation［J］. Communications in Theoretical Physics， 2018， 69（6）： 631-636. DOI：10.1088/0253-6102/69/6/631

［18］LIU Q S， ZHANG Z Y， ZHANG R G， et al. Dynamical analysis and exact solutions of a new （2+1）-dimensional generalized Boussinesq model equation for nonlinear Rossby waves［J］. Communications in Theoretical Physics， 2019， 71（9）： 1054-1062. DOI：10.1088/0253-6102/71/9/1054

［19］LI J B， CHEN G R， ZHOU Y. Bifurcations and exact traveling wave solutions of two shallow water two-component systems［J］. International Journal of Bifurcation and Chaos， 2021， 31（1）： 2150001. DOI：10.1142/S0218127421500012

［20］LIANG J L， LI J B， ZHANG Y. Bifurcations and exact solutions of an asymptotic Rotation-Camassa-Holm equation［J］. Nonlinear Dynamics， 2020， 101（4）： 2423-2439. DOI：10.1007/s11071-020-05868-0

Exact nonlinear wave solutions for the modified Zakharov equation with a quantum correction

WU Shenhui, SONG Ming

（，，312000，，）

bifurcation method; the modified Zakharov equation; nonlinear wave solutions

O 175.29

A

1008?9497（2023）01?030?08

2021?09?23.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11775146）.

吳沈輝（1997—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-8633-0769，男，碩士研究生，主要從事微分方程非線性波解研究，E-mail：wsh56314@163.com.

通信作者，ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-4176-4923，E-mail：songming12_15@163.com.