一類性質(zhì)沒有Hermitian矩陣優(yōu)但比一般矩陣良的矩陣

田詠梅，劉慧娟，王 超

(鄭州商學(xué)院 通識(shí)教育中心，河南 鞏義 451200)

0 引言

1 基本結(jié)果

定理1設(shè)A∈Cn×n,A*=A4,則

(1)A是正規(guī)矩陣.

(2)A的譜是下述集合

(1)

的子集，且該矩陣具有以下奇異值分解

其中，U,V均為n階酉矩陣，Ir是r階單位矩陣.

(3)A的屬于不同特征值的特征向量正交.

證明：(1)因?yàn)锳*=A4，以及

A*A=(A4)A=A(A4)=AA*,

(2)

所以A為正規(guī)矩陣，A可以和對(duì)角矩陣酉相似.

(2)設(shè)λ=a+ib,a,b∈R是A的一個(gè)特征值, 則有向量x,0≠x∈Cn,使得

Ax=λx.

(3)

(4)

|λ|1=1,|λ|2=0.

對(duì)于|λ|1=1,在(4)式兩邊同乘以λ，得到

(5)

這時(shí)對(duì)方程1=λ5,使用德·費(fèi)弗公式，得A的諸特征值如下.

(6)

對(duì)于|λ|2=0?λ=0.因此,任何適于條件A*=A4的矩陣A的譜滿足下述關(guān)系：

由于矩陣A是正規(guī)矩陣，其特征值的模即為其奇異值，所以，矩陣A的奇異值為1或0.于是，存在n階酉矩陣U,V，使得

(7)

這便是矩陣A的奇異值分解式.其中的子矩陣Σr=Ir，這是一般矩陣所難以企及的.這種矩陣的奇異值分解式在線性分析理論、最小二乘問(wèn)題、廣義逆矩陣、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理等方面都有重要應(yīng)用[7].

(3)設(shè)λ,μ是矩陣A的任意兩個(gè)不同特征值，非零向量α,β分別是對(duì)應(yīng)的特征向量.根據(jù)酉空間向量?jī)?nèi)積的概念，有

為了下面推導(dǎo)A的行列式與逆矩陣表示式時(shí)敘述方便，我們?nèi)的所有可能的特征值是λ0,λ1,λ2,λ3,λ4,λ5=0，且設(shè)它們的重?cái)?shù)依次為a0,a1,a2,a3,a4,a5.

定理2設(shè)A∈Cn×n,A*=A4,則

(2)當(dāng)a5=0時(shí)，有酉矩陣U，使得

A=U*ΛU=U*diag[1,…,1,λ1,…,λ1,…,λ4,…,λ4]U，

證明：(1)由定理1，滿足本定理?xiàng)l件的矩陣的可能特征值是0及諸λs,s=0,1,2,3,4，由于λs都是方程λ5=1的零點(diǎn)，而此方程又是實(shí)系數(shù)方程，故其復(fù)根應(yīng)成對(duì)出現(xiàn).實(shí)際上，經(jīng)驗(yàn)證知

(8)

(2)由定理1，A為正規(guī)矩陣，意味著它可以和對(duì)角矩陣酉相似，即存在酉矩陣U使得

A=U*ΛU=U*diag[1,…,1,λ1,…,λ1,…,λ5,…,λ5]U.

(9)

其中，λ0,λ1,λ2,λ3,λ4,λ5都是矩陣A的特征值，Λ=[1,…,1,λ1,…,λ1,…,λ5,…,λ5].這樣當(dāng)a5≠0時(shí)，A不存在逆矩陣；當(dāng)a5=0時(shí)，A的所有特征值全不為零，(9)式中不再存在λ5，因而A存在逆矩陣.將(9)式兩邊取逆，并利用式(8)，有

(10)

A-1=U*diag[1,…,1,λ4,…λ4,λ3,…,λ3,…,λ1…,λ1]U.

(11)

進(jìn)一步地，由AadjA=|A|I=I，還可以推得

A-1=adjA.

(12)

綜合上面的討論，我們得到矩陣A的逆的三種形式分別由(10)(11)(12)式給出.

關(guān)于矩陣A的一些說(shuō)明：一方面，它有一些性質(zhì)比一般矩陣好.

1)一般矩陣，都存在一個(gè)正整數(shù)m使得

r(Am)=r(Am+1)=r(Am+2)=…

(13)

這里，r(B)表示矩陣B的秩.但滿足定理1的條件的矩陣A，這個(gè)正整數(shù)m可以是1.

事實(shí)上，對(duì)于任意的正整數(shù)m，利用(9)式有

這表明(13)式中的m可以是1，即

r(A)=r(A2)=r(A3)=…

(14)

2)設(shè)a0,a1,a2,a3,a4,a5的意義同定理2前面的約定.一般矩陣A∈Cn×n滿足

(15)

但利用(8)式，我們有

這里‖A‖F(xiàn)為Cn×n上的Frobenius矩陣范數(shù)((15)式中的“≤”可以是“=”).

除了上面列舉和證明的結(jié)果，還有許多優(yōu)點(diǎn)，這里就不一一贅述了.

另一方面，Hermitian矩陣是矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用中一類重要的矩陣，解析函數(shù)插值理論等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用，Hermitian矩陣的特征值全為實(shí)數(shù)，本文中的矩陣的特征值可能是復(fù)數(shù).這一點(diǎn)關(guān)系重大，因?yàn)樵谝恍┲卮蠊こ碳夹g(shù)中，只有整數(shù)特征值才能夠考慮被使用，而任何非整數(shù),特別是復(fù)數(shù)特征值的應(yīng)用都需要謹(jǐn)慎. Hermitian矩陣還有許多本文中的矩陣A所不可企及的優(yōu)勢(shì).但是，如果在某些科學(xué)技術(shù)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)研究等問(wèn)題中，無(wú)緣遇到Hermitian矩陣，而遇到本文中的正規(guī)矩陣時(shí)，這類矩陣將被派上用場(chǎng).另外，在一些理論研究中，哪些問(wèn)題的條件可以由Hermitian矩陣替換成本文中的正規(guī)矩陣，尚需進(jìn)一步研究.

2 結(jié)語(yǔ)

本文證明了適于條件A*=A4的矩陣A∈Cn×n是正規(guī)矩陣，給出了它的譜、奇異值分解式與逆矩陣表示式.當(dāng)正規(guī)矩陣僅有實(shí)數(shù)特征值時(shí)，這種矩陣就變成了Hermitian矩陣，其將具有Hermitian矩陣所具有的所有優(yōu)良性質(zhì).