構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的若干策略

浙江省奉化中學(xué) (315503) 張 園

運(yùn)用對(duì)相關(guān)函數(shù)求導(dǎo)證明不等式是近年來高考命題的一類熱點(diǎn)題型，由于涉及許多導(dǎo)數(shù)問題中的解題技法，降低了解題的成功率，我們有不少同學(xué)都望而卻步.此類問題的破題關(guān)鍵就是找一個(gè)與待證不等式緊密聯(lián)系的函數(shù)，然后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的方法，研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值、值域等性質(zhì)，進(jìn)而達(dá)到證明不等式的目的.本文以近幾年高考題或模擬題為例，通過探索不同類型不等式的證明，闡述構(gòu)造函數(shù)證明不等式的六種方法，供參考.

一、移項(xiàng)作差構(gòu)造函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：移項(xiàng)作差法是證明不等式的最常用的方法，而構(gòu)造新函數(shù)是利用導(dǎo)數(shù)解決問題的重要手段，本題中，在導(dǎo)函數(shù)式大小時(shí)根據(jù)解題需要又采用了放縮的辦法，并且再一次構(gòu)造函數(shù)，最后才確定了大小關(guān)系，是一個(gè)難度較大的題目.

二、增添項(xiàng)后構(gòu)造函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：通過將待證的結(jié)論式變形整理，揭露了待證式的實(shí)質(zhì)，也就是需要證明不等式f(x)

三、及時(shí)換元后構(gòu)造函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：在本題中，由于是證明兩個(gè)變量的大小關(guān)系問題，通過換元，將兩元變換成一元，這樣降低了問題的難度，使之變成我們熟悉的、容易解決的問題了.

四、等價(jià)轉(zhuǎn)化后構(gòu)造函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：在充分挖掘題目?jī)?nèi)涵的基礎(chǔ)上，將待證的不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化、變形，使之等價(jià)變形為另一個(gè)大小關(guān)系證明的問題，然后再通過建立新函數(shù)輕松地解決了問題.

五、挖出同構(gòu)關(guān)系后構(gòu)造函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：由于待證的不等式比較復(fù)雜，在分析、化簡(jiǎn)、變形的基礎(chǔ)上，再經(jīng)過換元處理，成功的找到了同構(gòu)關(guān)系，然后通過設(shè)新函數(shù)，這樣，成功地解決問題就是很容易了.

六、選擇關(guān)鍵部位構(gòu)造函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：在解題過程中，根據(jù)大小比較的需要，對(duì)表達(dá)式中的一部分采用構(gòu)造函數(shù)處理，也是一個(gè)重要的解題思路，這種求解方法的關(guān)鍵是精確替換，以起作用、易解決為替換原則.