例談數(shù)形結(jié)合在求解三角形最值問(wèn)題中的妙用

安徽省巢湖市第四中學(xué) (238000) 車(chē)承梅

解三角形中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)求最值或范圍類(lèi)的問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題有時(shí)難度相對(duì)較大，有一定的運(yùn)算量，但是我們可以試著從幾何圖形的直觀性入手，借助于平面幾何的知識(shí)，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題去解決，這樣可以大大減少計(jì)算量，從而達(dá)到事半功倍的效果.下面將通過(guò)幾個(gè)實(shí)例去探究數(shù)形結(jié)合在求解三角形的最值(或范圍)問(wèn)題中的妙用.

例1 △ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且(sinA-sinC)2=sin2B-sinAsinC，b=3，則△ABC的面積的最大值為.

圖1

評(píng)注：此題的條件屬于邊角對(duì)應(yīng)型的，于是聯(lián)想到圓的性質(zhì)，即同一條弧所對(duì)的圓周角相等，這樣就知道了點(diǎn)B的活動(dòng)范圍，從而使問(wèn)題迎刃而解.

圖2

由條件可知，點(diǎn)A在優(yōu)弧BC上運(yùn)動(dòng)(不與B,C重合)，當(dāng)AB⊥BC時(shí)，△ABC為直角三角形(圖中為△A1BC)，此時(shí)b最大，c最小，且b=4，c=2，所以b-c=2；當(dāng)AC⊥BC時(shí)，△ABC也為直角三角形(圖中為△A2BC)，此時(shí)b最小，c最大，且b=2，c=4，所以b-c=-2，當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)A1與點(diǎn)A2之間時(shí)，△ABC為銳角三角形，所以b-c∈(-2,2).

評(píng)注：本例與實(shí)例1相似，條件都屬于邊角對(duì)應(yīng)型，此類(lèi)問(wèn)題都可以借助于三角形的外接圓來(lái)解決.

圖3

評(píng)注：此題為邊角不對(duì)應(yīng)型，根據(jù)條件找到點(diǎn)C的活動(dòng)范圍，從而觀察出使△ABC為銳角三角形的位置.

例4 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a+b=8，2sin(A+B)=sinA+sinB，則△ABC面積的取值范圍為.

圖4

評(píng)注：焦點(diǎn)三角形是橢圓中的一個(gè)重要三角形，有很多性質(zhì)可以利用，而本題通過(guò)a+b=8聯(lián)想到橢圓的定義，從而利用焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)輕松的解決了問(wèn)題，可謂“妙極”.

圖5

評(píng)注：此題利用中位線的性質(zhì)，將△ABC的面積轉(zhuǎn)化為△BDE的面積，使之成為與實(shí)例1的相同的情形.其實(shí)，本題還可以進(jìn)行擴(kuò)展，當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上任意分點(diǎn)位置，都可以作平行線，從而利用相似性轉(zhuǎn)化為實(shí)例1的情形去解決，這也是我們常說(shuō)的“解一題而通一類(lèi)”.