兩個“尷尬”的證明引發(fā)的思考

張網(wǎng)軍 苗長青 (江蘇省泰州市姜堰區(qū)羅塘高級中學 225500)

在江蘇教育出版社版高中數(shù)學新教材必修一“指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)”中，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結論是利用圖象觀察歸納出來的，而一個結論必須經(jīng)過嚴格證明才是可靠的.由于教材對此結論的證明不作要求，因此，筆者鼓勵學有余力的學生自己嘗試證明，結果班上有兩位學生證明如下：

求證：y=2x為增函數(shù).

生甲：設x10，2x2-x1>20=1，即2x2-x1-1>0.又因為2x1>0，所以y2>y1，故y=2x為增函數(shù).

這兩種證明十分“尷尬”，都用到“當x2-x1>0時，2x2-x1>20=1”這一結論，而這一結論的成立本身就是因為y=2x為增函數(shù)才得到的，顯然這是用結論本身來證明結論，犯了循環(huán)論證的謬誤.其實要說明當x2-x1>0時，2x2-x1>1，我們只要考察冪函數(shù)y=xx2-x1的單調(diào)性便可.因為在學習指數(shù)函數(shù)之前，已經(jīng)學習了冪函數(shù)，所以證明修正如下：

設x10，由于冪函數(shù)y=xx2-x1在(0,+∞)上是增函數(shù)，又因為2>1，所以2x2-x1>1x2-x1=1.又因為2x1>0，所以y2>y1，故y=2x為增函數(shù).

思考1為什么學生會犯循環(huán)論證的謬誤？

循環(huán)論證，是指用來證明論題的論據(jù)本身的真實性要依靠論題來證明的邏輯錯誤.也就是說論證的前提就是待論證的結論.學生在證明一些常見定理或者結論時常常會不經(jīng)意間犯這種錯誤，這主要是因為學生在已有數(shù)學知識的基礎上進行命題的論證時，往往缺乏一定的數(shù)學邏輯，會將一些命題中不存在的條件作為已知條件(而不自知)，導致解題過程不能達到“句句有理，步步有據(jù)”.要避免這種謬誤，首先需要不斷加強邏輯思維能力的培養(yǎng)，了解證明過程中每一步的依據(jù)是什么.其次，教師在平時的教學過程中，不能只在乎對結果的運用，還要重視數(shù)學知識的生成和發(fā)展過程，讓學生真正能夠知其所以然.最后，還要重視學生對知識的探索能力，不能讓學生只是學會簡單的模仿，要注重引導，從教知識上升到教方法、教思維.

思考2新教材中為何要將冪函數(shù)放到指數(shù)函數(shù)之前學習？

筆者認為主要有以下幾個原因：

(1)蘇教版新教材的數(shù)學必修一是緊隨初中教材而設計的，在初中學生已經(jīng)學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等初等函數(shù)，而這些函數(shù)都是由冪函數(shù)構成的，所以，將冪函數(shù)放在指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)之前，有利于學生從初中已學函數(shù)中進行類比推理，由特殊到一般，更深刻地理解和研究冪函數(shù)的基本性質(zhì).

(2)冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)形式上具有極高的相似性，學生在做題過程中往往難以分辨這兩類函數(shù)，從而錯誤解題.所以將指數(shù)函數(shù)緊隨其后，便于學生區(qū)分這兩類函數(shù)的結構形式.

(3)在初中數(shù)學的學習中，學生已經(jīng)知曉冪的概念——冪指乘方運算的結果，在高中進行冪函數(shù)的研究時，學生會充分進行聯(lián)想，發(fā)散思維.教材對冪指對函數(shù)順序調(diào)整，便于學生閱讀教材，易于學生理解，能激發(fā)學習興趣.