借古錢幣文化 培養(yǎng)數(shù)據(jù)觀念
——2022年徐州中考數(shù)學(xué)第25題分析*

曹希剛 (江蘇省邳州市八義集初級(jí)中學(xué) 221300)

疏 嘉 (江蘇省徐州市教育科學(xué)研究院 221300)

筆者參與了2022年徐州中考數(shù)學(xué)第25題的命題和閱卷工作，該題不僅考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，還滲透了中國文化，促使學(xué)生對中國傳統(tǒng)文化的傳承和熱愛，貫徹落實(shí)教育部明確考試命題注重弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化的要求.2022年版課標(biāo)將數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)表述為“三會(huì)”，即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界[1].其中“用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”在初中階段的主要表現(xiàn)就包括數(shù)據(jù)觀念，徐州中考第25題正是反映我們教學(xué)要關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)觀念的素養(yǎng).通過總結(jié)徐州中考第25題命題前的打磨，以及對閱卷中考生的答題情況進(jìn)行分析，以期實(shí)現(xiàn)一線老師在平時(shí)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)觀念，探尋傳統(tǒng)文化與數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，提高學(xué)生的核心素養(yǎng).

1 問題呈現(xiàn)

如圖1，下列裝在相同的透明密封盒內(nèi)的古錢幣，其密封盒上分別標(biāo)有古錢幣的尺寸及質(zhì)量，例如：錢幣“文星高照”密封盒上所標(biāo)“45.4× 2.8 mm，24.4 g”是指該枚古錢幣的直徑為 45.4 mm，厚度為2.8 mm，質(zhì)量為24.4 g.已知這些古錢幣的材質(zhì)相同.

圖1

根據(jù)圖中信息，解決下列問題.

(1)這5枚古錢幣，所標(biāo)直徑的平均數(shù)是mm，所標(biāo)厚度的眾數(shù)是mm，所標(biāo)質(zhì)量的中位數(shù)是g；

(2)由于古錢幣無法從密封盒內(nèi)取出，為判斷密封盒上所標(biāo)古錢幣的質(zhì)量是否有錯(cuò)，桐桐用電子秤測得每枚古錢幣與其密封盒的總質(zhì)量如下：

名稱文星高照狀元及第鹿鶴同春順風(fēng)大吉連中三元總質(zhì)量/g58.758.155.254.355.8

請你應(yīng)用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，判斷哪枚古錢幣所標(biāo)的質(zhì)量與實(shí)際質(zhì)量差異較大，并計(jì)算該枚古錢幣的實(shí)際質(zhì)量約為多少克.

2 答案呈現(xiàn)

(1)45.74，2.3，21.7.

(2)因?yàn)?/p>

名稱文星高照狀元及第鹿鶴同春順風(fēng)大吉連中三元總質(zhì)量/g58.758.155.254.355.8盒標(biāo)質(zhì)量/g24.424.013.020.021.7盒子質(zhì)量/g34.334.142.234.334.1

所以“鹿鶴同春”密封盒質(zhì)量異常，故“鹿鶴同春”所標(biāo)質(zhì)量與實(shí)際質(zhì)量差異較大.

注：以其余4枚錢幣的某個(gè)密封盒作參考，估算“鹿鶴同春”的實(shí)際質(zhì)量，扣1分.(55.2-34.3=20.9 g或55.2-34.1=21.1 g)

3 命題準(zhǔn)備

3.1 古錢幣的成功經(jīng)驗(yàn)

我們知道，數(shù)據(jù)有多種多樣，無論是哪種數(shù)據(jù)，它的來源與真實(shí)性是非常重要的.2021年徐州中考第8題也是研究古錢幣問題：

如圖2，一枚圓形古錢幣的中間是一個(gè)正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對角線之比為3∶1，則圓的面積約為正方形面積的( ).

圖2

A.27倍 B.14倍 C.9倍 D.3倍

這是一道選擇題，考查了幾何面積計(jì)算，當(dāng)時(shí)本原創(chuàng)題反響很大，受到廣大教師的關(guān)注，說明教師對這種蘊(yùn)含中國文化的題目很感興趣，也能夠幫助學(xué)生在一定程度上了解中國傳統(tǒng)文化.所以2022年再次以圓形古錢幣為背景，不僅考查學(xué)生數(shù)據(jù)觀念，而且弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，命題教師正巧也酷愛收藏古錢幣，并且有典型的數(shù)據(jù)出現(xiàn)錯(cuò)誤問題(圖3).

圖3

古錢幣放在相同的密封盒內(nèi)，從鑒定專家給出的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)中間的古錢幣太輕，于是預(yù)測可能出現(xiàn)數(shù)據(jù)錯(cuò)誤，所以就以此為背景，借助“曹沖稱象”的典故，測量數(shù)據(jù)，滲透統(tǒng)計(jì)思想.過程是：先通過測量各個(gè)古錢幣的毛重(包括盒子重量和古錢幣)，再利用各個(gè)古錢幣的毛重減去各個(gè)古錢幣的盒標(biāo)質(zhì)量，計(jì)算各個(gè)密封盒質(zhì)量，由于前提是“相同的密封盒”，所以很容易發(fā)現(xiàn)中間的古錢幣質(zhì)量是否真的有誤，這樣就形成了統(tǒng)計(jì)的調(diào)查基本過程，為后續(xù)考查學(xué)生的數(shù)據(jù)觀念埋下了伏筆.

3.2 研究數(shù)據(jù)

通過試做發(fā)現(xiàn)，學(xué)生很容易想到把密封盒砸開或是打開，所以問題前加上這樣一句話：“由于古錢幣無法從密封盒內(nèi)取出，為判斷密封盒上所標(biāo)古錢幣的質(zhì)量是否有錯(cuò).”學(xué)生想到相同的密封盒其質(zhì)量不會(huì)有誤，這樣明確了古錢幣的質(zhì)量是有誤的，考生就有明確目標(biāo)，需要收集數(shù)據(jù)，弄清各個(gè)古錢幣的毛重，再減去古錢幣盒標(biāo)質(zhì)量，通過計(jì)算得出密封盒質(zhì)量，最后對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行考察，最終判斷中間的古錢幣出現(xiàn)錯(cuò)誤.這個(gè)統(tǒng)計(jì)過程就是考生對這些數(shù)據(jù)不斷進(jìn)行分析，最后判斷，解決問題，形成結(jié)論，最終求出古錢幣的質(zhì)量.

3.3 統(tǒng)計(jì)的基本過程

讓學(xué)生計(jì)算該枚古錢幣的實(shí)際質(zhì)量約為多少克，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，而學(xué)生可能會(huì)想得太多，利用一些物理知識(shí)或是其他的方法來求，與命題者的意圖不符.為解決這種情況發(fā)生，于是加上這樣的提示語：“請你應(yīng)用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，判斷哪枚古錢幣所標(biāo)的質(zhì)量與實(shí)際質(zhì)量差異較大，并計(jì)算該枚古錢幣的實(shí)際質(zhì)量約為多少克.”這樣就大大降低了學(xué)生走彎路的可能性.古錢幣盒標(biāo)質(zhì)量出現(xiàn)問題，這是以真實(shí)的問題，形成了統(tǒng)計(jì)調(diào)查問題，出現(xiàn)問題就要通過測量，得出數(shù)據(jù)，通過分析數(shù)據(jù)，對結(jié)果進(jìn)行解釋，從而解決問題.在這一過程中，對數(shù)據(jù)的分析也不是一蹴而就的，而是循環(huán)往復(fù)的過程，需要不斷地補(bǔ)充數(shù)據(jù)，不斷對數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、分析再收集再分析，最終解決問題，就像鮑建生教授對統(tǒng)計(jì)的基本過程用圖4的方式進(jìn)行解讀，更具有說服力.

圖4

4 發(fā)現(xiàn)問題

閱卷工作結(jié)束后，據(jù)統(tǒng)計(jì)：2022年徐州中考第25題共7分，均分為4.24分，難度系數(shù)0.6.在命題時(shí)考慮學(xué)生會(huì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，在閱卷中發(fā)現(xiàn)不少，如有的考生沒有用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)解決問題，有的考生對數(shù)據(jù)不會(huì)分析，有的考生對數(shù)據(jù)處理前后矛盾，具體分為以下幾種情況.

4.1 讀不懂?dāng)?shù)據(jù)、數(shù)據(jù)處理錯(cuò)誤

考生對數(shù)據(jù)過于敏感，看到數(shù)據(jù)感到無從下手，有恐慌之感.有的考生看到錢幣“文星高照”密封盒上所標(biāo)“45.4×2.8 mm，24.4 g”，不明白到底是什么意思，對數(shù)據(jù)不會(huì)分析，更不知道其意義，這是丟分的主要原因.還有的學(xué)生出現(xiàn)簡單的計(jì)算錯(cuò)誤，如由于小數(shù)點(diǎn)沒有對齊，在求平均數(shù)時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤.細(xì)節(jié)決定成敗，這些都是失分的最重要的原因.種種小細(xì)節(jié)說明，一道題往往考查學(xué)生的多種能力，“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”不是孤立存在的，而是互相融合的.運(yùn)算素養(yǎng)還需要加強(qiáng)培養(yǎng)，做題態(tài)度也要端正，不能出現(xiàn)字跡潦草且寫錯(cuò)別字，如“鹿鶴同春”寫成“鹿春同行”，還有些學(xué)生漏掉單位，書寫不規(guī)范，語言沒有條理，等等.

4.2 沒用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)解決問題

考生沒有審清題意，題目規(guī)定是利用學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識(shí)進(jìn)行規(guī)范答題，但學(xué)生讀題不仔細(xì)，直接利用相似知識(shí)點(diǎn)或是用物理知識(shí)來做題，最后發(fā)現(xiàn)解決不了問題.也許這些學(xué)生看到古錢幣的實(shí)際質(zhì)量就想到物理學(xué)知識(shí)，這些恰恰說明學(xué)生統(tǒng)計(jì)觀念淡泊，看到一些數(shù)據(jù)，沒有用數(shù)據(jù)回答統(tǒng)計(jì)的問題，而是答非所問，所以命題人員規(guī)定讓學(xué)生利用學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識(shí)來答題是必要的.

4.3 不能正確處理數(shù)據(jù)

5 教學(xué)反思

通過本題研究，筆者建議教師在平時(shí)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)據(jù)觀念”時(shí)要注重以下幾點(diǎn).

5.1 數(shù)據(jù)來源注重真實(shí)的問題情境

真實(shí)的數(shù)據(jù)對學(xué)生更具有吸引力，所以要注重?cái)?shù)據(jù)來源于真實(shí)的問題情境.盡量讓學(xué)生參與數(shù)據(jù)測量的全過程，重視學(xué)生實(shí)驗(yàn)，教師要肯花時(shí)間培養(yǎng)學(xué)生去觀察、交流，并形成調(diào)查報(bào)告，這些過程就是真實(shí)的情境教學(xué)，這樣的教學(xué)能夠培養(yǎng)學(xué)生多方面的能力.不僅如此，問題呈現(xiàn)要注重學(xué)科的融合，2022徐州中考第25題除了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析的能力，還注重對傳統(tǒng)文化的滲透.平時(shí)在教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生熱愛大自然，熱愛中國文化，注重天文、地理、歷史文化的熏陶.若平時(shí)對這方面進(jìn)行培養(yǎng)，學(xué)生在考試時(shí)遇到類似古錢幣的傳統(tǒng)文化問題，就不會(huì)害怕，而會(huì)產(chǎn)生深厚的興趣.

5.2 深度分析收集數(shù)據(jù)

數(shù)據(jù)蘊(yùn)含著信息，我們需要根據(jù)問題的背景和所要研究的問題確定數(shù)據(jù)收集、整理和分析的方法.從古錢幣問題可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)據(jù)往往是有誤差的，甚至是錯(cuò)誤的，所以對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析是解決現(xiàn)實(shí)問題的關(guān)鍵.在平時(shí)的教學(xué)中，課堂上要關(guān)注學(xué)生思考的深度.讓學(xué)生充分思考，多花一些時(shí)間和空間讓學(xué)生自由展示，不要只關(guān)注表面上的現(xiàn)象，讓學(xué)生深度分析數(shù)據(jù)，不能計(jì)算一種古錢幣的密封盒質(zhì)量就開始計(jì)算“鹿鶴同春”的盒標(biāo)質(zhì)量，從而導(dǎo)致失分.因此，只有讓學(xué)生經(jīng)歷深度分析數(shù)據(jù)，方可對數(shù)據(jù)進(jìn)行解釋，將問題研究得更徹底、更深入.

5.3 創(chuàng)造性地使用教材

徐州中考數(shù)學(xué)第25題是原創(chuàng)題，對考生來說很新鮮，這說明我們教師在平時(shí)的教學(xué)中要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材.數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和知識(shí)結(jié)構(gòu)，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源.教師在使用教材時(shí)，不能照搬生套教材的結(jié)構(gòu)線索，而是要從知識(shí)的形成過程去分析教材、理解教材、挖掘教材，從而讀懂教材，創(chuàng)造性地使用教材，在教學(xué)中詮釋教材所承載的課標(biāo)精神.猶如海中的冰山，我們不能只看到海平面上的冰山一角，而要發(fā)現(xiàn)海平面下方冰山的根基[2].在平時(shí)教學(xué)中，如果教師經(jīng)常創(chuàng)造性地改編教材，學(xué)生就不是對“古錢幣問題”感到陌生，而是積極迎接挑戰(zhàn)，因此，通過學(xué)生會(huì)看、會(huì)想、會(huì)表達(dá)，讓學(xué)生把自己的思維用自己的語言表達(dá)出來，可以說給小伙伴聽，也可以說給老師聽，只有這樣，學(xué)生才能思維更活躍，思路更清楚，也就更能落實(shí)“數(shù)據(jù)觀念”.