高等代數(shù)里線性空間理論在一元多項式中的若干應用

趙 靜， 劉合國

(1.湖北大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院，武漢 430062； 2.海南大學 理學院, ?？?570228)

1 引 言

從其起源和本質(zhì)等方面說，高等代數(shù)是關于線性空間及其線性變換的理論.不少長期從事高等代數(shù)教學的老師們提到，他們在進行碩士研究生面試時，常常要求考生準確復述線性空間(向量空間)的定義，但是結(jié)果并不理想.這個現(xiàn)象是值得從事高等代數(shù)教學的老師深思的！像線性空間這樣抽象的代數(shù)概念，代表抽象思維的普適性真理，乃無數(shù)人的心血才智結(jié)晶而來.線性空間的概念樸實無華，初學之下，它顯得十分笨拙，讓初學者茫然無序.然而，深思熟慮之后，當能覺悟線性空間這個概念確實透過復雜的現(xiàn)象抓住了本質(zhì)，由繁入簡，走出了一條康莊大道.古人面對人世間的種種現(xiàn)象，感嘆“大智若愚，大巧若拙”.高等代數(shù)，乃至代數(shù)學里的不少經(jīng)典概念應該屬于這個范疇吧.

本文擬運用線性空間理論的一些基礎知識處理一元多項式中的幾個問題，其中某些解題思路在經(jīng)過適當修飾之后可應用于多元多項式.為突出主線，本文僅考慮一元多項式的情況.

在本文里，n表示一個正整數(shù)，F(xiàn)表示一個域.F[x]表示F上一元多項式構(gòu)成的集合，它是F上的一個無限維線性空間，同時它也是一個歐幾里得整環(huán)，也就是說，F(xiàn)[x]是F上的一個無限維代數(shù).Fn[x]表示F上次數(shù)小于n的一元多項式構(gòu)成的集合，F(xiàn)n[x]是F上的一個n維線性空間.

本文采用的術(shù)語是標準的，按照文獻[1].

2 線性空間觀念的應用

對于域F上的線性空間V，V的維數(shù)是不變量, 也就是說,F上的兩個線性空間同構(gòu)當且僅當它們的維數(shù)相等, 于是V的維數(shù)就抽象地確定了其代數(shù)結(jié)構(gòu).雖說V的任意兩組基底都是等價的, 但V的不同基底能夠幫助我們從不同的側(cè)面來理解V的具體特征, 選擇合適的基底對解決問題是大有益處的.

2.1 借用維數(shù)處理整除性問題

熟知，對于F[x]中任意兩個多項式f(x)與g(x)，當g(x)≠0時，一定存在F[x]中的多項式q(x),r(x)，使

f(x)=q(x)g(x)+r(x)，

其中?(r(x))

例1對于F[x]中的一個非零多項式f(x)，在F[x]中存在多項式g(x)，使得

f(x)g(x)=a2x2+a3x3+a5x5+…+apxp，

其中2,3,5，…,p是素數(shù)，a2,a3,a5，…,ap是F的不全為零的元素.

證不妨設f(x)的次數(shù)為n，其中n>0.取n+1個互異的素數(shù)2,3,5，…,p，并記f1(x)=x2，f2(x)=x3，f3(x)=x5,…,fn+1(x)=xp.令

f1(x)=q1(x)f(x)+r1(x),

f2(x)=q2(x)f(x)+r2(x),

f3(x)=q3(x)f(x)+r3(x),

…

fn+1(x)=qn+1(x)f(x)+rn+1(x),

(1)

其中ri(x)的次數(shù)小于n，這里i=1,2，…,n+1.因為r1(x),r2(x)，r3(x)，…,rn+1(x)均屬于Fn(x)，所以它們在F上線性相關，即存在n+1個不全為零的元素a2,a3,a5，…,ap，使得

a2r1(x)+a3r2(x)+a5r3(x)+…+aprn+1(x)=0，

將(1)式代入計算可得

f(x)[a2q1(x)+a3q2(x)+a5q3(x)+…+apqn+1(x)]

=a2f1(x)+a3f2(x)+a5f3(x)+…+apfn+1(x)

=a2x2+a3x3+a5x5+…+apxp.

例2設f(x)是F[x]的一個n次多項式.證明存在F的不全為零的元素a0,a1，…,an，使

f(x)|a0x20+a1x21+…+anx2n.

證對每個0≤i≤n，記

x2i=qi(x)f(x)+ri(x)，

(2)

其中ri(x)的次數(shù)小于n.這些ri(x)在F上線性相關，即存在不全為零的元素a0,a1，…,an，使

a0r0(x)+a1r1(x)+…+anrn(x)=0.

將(2)式代入計算可得

a0x20+a1x21+…+anx2n=f(x)(a0q0(x)+a1q1(x)+…+anqn(x)).

例3設f(x)是F[x]的一個非零多項式.證明

(i)存在F[x]的非零多項式k(x)和u(x)，使得f(x)k(x)=u(x2)；

(ii)存在F[x]的非零多項式l(x)和v(x)，使得f(x)l(x)=v(x3)；

(iii)存在F[x]的非零多項式m(x)和w(x)，使得f(x)m(x)=w(xn)；

(iv)對于F[x]的任意非常數(shù)多項式φ(x)，在F[x]中存在非零多項式g(x)和h(x)使

f(x)g(x)=h(φ(x)).

證顯然只需證明(iv)即可.設f(x)的次數(shù)等于n，對每個0≤i≤n，記

φi(x)=qi(x)f(x)+ri(x)，

(3)

其中ri(x)的次數(shù)小于n.這些ri(x)在F上線性相關，即存在不全為零的元素a0,a1，…,an，使

a0r0(x)+a1r1(x)+…+anrn(x)=0.

將(3)式代入計算可得

a0φ0(x)+a1φ1(x)+…+anφn(x)=f(x)(a0q0(x)+a1q1(x)+…+anqn(x)).

從表面上看，上述3個問題的解法清晰自然，僅僅涉及到一元多項式的帶余除法，以及n維線性空間V的基本事實:V的任意n+1個向量線性相關，維數(shù)在解題過程中起了決定性作用.不過，只有在充分理解線性空間理論后，才能找到這個解法.如果把思想局限在多項式理論范圍內(nèi)，即使找到解決這幾個問題的方法，其步驟也不會像本文這樣一目了然.

2.2 線性空間對Lagrange插值公式的應用

插值法是中國古代數(shù)理天文學中的重大成就.它是一個基本的數(shù)學技術(shù)，在理論和應用等方面都具有重要的意義.例如，在處理高等代數(shù)的不少問題中，Lagrange插值公式起了重要的作用.如果從向量空間的角度來看，這個結(jié)論是能夠自然地呈現(xiàn)出來的.

Lagrange 插值公式設a1,a2，…,an是F的n個兩兩互異的元素，對F的任意n個元素b1,b2，…,bn，存在唯一一個次數(shù)小于n的多項式L(x)，使得L(ai)=bi，1≤i≤n.

進一步地

下面從線性空間的角度用三種不同的方法來處理這個問題.

方法一對每個1≤i≤n，記

這些Li(x)在F上線性無關.事實上，若k1,k2，…,kn∈F，使得

k1L1(x)+k2L2(x)+…+knLn(x)=0，

則令x=ai，即可得kiLi(ai)=ki=0.因此，這些Li(x)組成Fn[x]的一組基底.

對F[x]的次數(shù)小于n的任意多項式f(x)而言，f(x)可唯一地表示為

f(x)=y1L1(x)+y2L2(x)+…+ynLn(x)，

在上式中令x=ai可得f(ai)=yi，進而

f(x)=f(a1)L1(x)+f(a2)L2(x)+…+f(an)Ln(x).

值得指出的是，L1(x),L2(x)，…,Ln(x)是完全獨立于具體的多項式f(x)的.上式表明：只要知道了f(x)在a1,a2，…,an處的值，就可以由這n個多項式L1(x),L2(x)，…,Ln(x)立即線性地組合出f(x)的準確表達式.從這個意義上說，L1(x),L2(x)，…,Ln(x)確實是Fn[x]的一組非常理想的基底.

現(xiàn)在L1(x),L2(x)，…,Ln(x)是Fn[x]的基底，且L(x)=b1L1(x)+b2L2(x)+…+bnLn(x)的確滿足L(ai)=bi，1≤i≤n.若存在另一個g(x)∈Fn[x]，使得g(ai)=bi，則有

g(x)=g(a1)L1(x)+g(a2)L2(x)+…+g(an)Ln(x)

=b1L1(x)+b2L2(x)+…+bnLn(x)=L(x).

至此，完成了結(jié)論的證明.

同構(gòu)的觀念在處理代數(shù)學的各種結(jié)構(gòu)時都是非常有效的.F上的兩個線性空間同構(gòu)當且僅當它們的維數(shù)相等，這是一個眾所周知的基本結(jié)論.在高等代數(shù)教學中，很少運用抽象的同構(gòu)去處理具體的問題，這無疑是教學里的一個薄弱環(huán)節(jié)，值得警惕.

方法二記Fn={(x1,x2,…,xn)|xi∈F}.顯然Fn[x]和Fn都是F上的n維線性空間，下面構(gòu)造一個從Fn[x]到Fn的同構(gòu)，由此導出Lagrange 插值公式.

對F上兩兩互異的元素a1,a2，…,an，建立映射

α:Fn[x]→Fn，f(x)→(f(a1),f(a2),…,f(an))，

容易驗證α是線性的.任取f(x),g(x)∈Fn[x]及k∈F，有

α(f(x)+kg(x))=(f(a1)+kg(a1),f(a2)+kg(a2),…,f(an)+kg(an))

=(f(a1),f(a2),…,f(an))+k(g(a1),g(a2),…,g(an))

=α(f(x))+kα(g(x)).

再證α是單的.若h(x)∈Ker(α)，即

α(h(x))=(h(a1),h(a2),…,h(an))=0，

此時h(a1)=h(a2)=…=h(an)=0，a1,a2，…,an都是h(x)的根，注意到h(x)∈Fn[x]，必須h(x)=0，由此得到α是Fn[x]到Fn的一個同構(gòu).

現(xiàn)在，對F的任意n個元素b1,b2，…,bn而言，因(b1,b2,…,bn)∈Fn，則在Fn[x]中存在L(x)使α(L(x))=(b1,b2,…,bn).即

(L(a1),L(a2),…,L(an))=(b1,b2,…,bn).

這意味著L(ai)=bi，1≤i≤n.

最后，需要求出L(x).注意到

(b1,b2,…,bn)=b1e1+b2e2+…+bnen，

其中e1,e2，…,en是Fn的標準基底.設α(Li(x))=ei，即

(Li(a1),Li(a2),…,Li(ai),…,Li(an))=ei，

經(jīng)過直接驗算，可得

從而L(x)=b1L1(x)+b2L2(x)+…+bnLn(x)為所求多項式.

從Fn[x]的基底入手，可以從另一個角度來解決插值問題.

方法三(“差分”解法)經(jīng)過簡單直接的驗證，可知

1,(x-a1),(x-a1)(x-a2)，…,(x-a1)(x-a2)…(x-an-1)

是Fn[x]的一組基底，F(xiàn)n[x]的任意元素f(x)可唯一地表示為

f(x)=y01+y1(x-a1)+y2(x-a1)(x-a2)+…+yn-1(x-a1)(x-a2)…(x-an-1).

運用條件f(ai)=bi，分別以x=a1,a2，…,an-1,an代入上式.即可解出

其它y3,y4，…,yn-1都可利用相同的方法逐步解出來.

下面用差分的方法來重新求解[1]里的一道習題.

例4(i)一個次數(shù)小于4的多項式f(x)滿足條件：f(2)=3,f(3)=-1,f(4)=0,f(5)=2，求f(x)；

(ii)求次數(shù)盡可能低的多項式f(x)，使得f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5,f(3)=10.

解(i)顯然1,(x-2),(x-2)(x-3),(x-2)(x-3)(x-4)是F4[x]的一組基底，從而F4[x]的任意元素f(x)可表示為

f(x)=y0+y1(x-2)+y2(x-2)(x-3)+y3(x-2)(x-3)(x-4).

其中系數(shù)y0,y1,y2,y3是被多項式f(x)和基底1,(x-2),(x-2)(x-3),(x-2)(x-3)(x-4)唯一確定的.下面分別將x=2,3,4,5代入上式可得

由此得到

(ii)顯然1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2)是F4[x]的一組基底，從而f(x)可表示為

f(x)=y0+y1x+y2x(x-1)+y3x(x-1)(x-2).

其中系數(shù)y0,y1,y2,y3是被多項式f(x)和基底1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2)唯一確定的.下面分別將x=0,1,2,3代入上式可得

y0=1,y1=1,y2=1,y3=0.

由此得到

f(x)=1+x+x(x-1)=x2+1.

插值是一種基本的數(shù)學思想.Lagrange 插值公式與時常出現(xiàn)的Vandermonde行列式關系密切，例如見文獻[2]，它具有廣泛的應用，例如文獻[3]就用它來計算一些看似繁難的行列式.文獻[4-6]比較系統(tǒng)地考察了數(shù)學基礎課里的中國剩余定理和Lagrange 插值公式，不論是從內(nèi)容還是從形式上看，Lagrange 插值公式和中國剩余定理都是一脈相承的，可以說中國剩余定理是更一般化的插值.

2.3 兩個進一步的例子

上一節(jié)涉及到用差分求解多項式插值，現(xiàn)在給出兩個進一步的例子.

例5設次數(shù)不超過n的多項式f(x)滿足f(k)=2k，k=0,1，…,n.求f(n+1).

解顯然1,x,x(x-1)，…,x(x-1)…(x-(n-1))是Fn+1[x]的一組基底，從而f(x)可表示為

f(x)=y0+y1x+y2x(x-1)+…+ynx(x-1)…(x-(n-1))，

其中系數(shù)y0,y1，…,yn是被多項式f(x)和基底1,x,x(x-1)，…,x(x-1)…(x-(n-1))唯一確定的.下面將x=0,1，…,n分別代入上式中，結(jié)合條件f(k)=2k，可得

由此得到

因此

例6設f(x)是次數(shù)不超過2n的多項式.f(x)除以x(x-2)…(x-2n)余1，f(x)除以(x-1)(x-3)…(x-(2n-1))余-1，求f(x).

解由條件可知f(0)=f(2)=…=f(2n)=1，f(1)=f(3)=…=f(2n-1)=-1.注意到1,x,x(x-1)，…,x(x-1)(x-2)…(x-(2n-1))是F2n+1[x]的基底，從而f(x)可表示為

f(x)=y0+y1x+y2x(x-1)+…+y2nx(x-1)(x-2)…(x-(2n-1))，

其中系數(shù)y0,y1，…,y2n是被多項式f(x)和基底1,x,x(x-1)，…,x(x-1)(x-2)…(x-(2n-1))唯一確定的.下面分別將x=0,1，…,2n代入上式中，可得

由此得到

注 在求解Lagrange 插值問題時，前面提到了兩個方法.其一，運用

L(x)=b1L1(x)+b2L2(x)+…+bnLn(x)，

當然L(x)就是所求的多項式.其二，運用差分逐步求解，這個方法看似繁雜，實則直接了當，它用歸納的思路通過提高多項式的次數(shù)來達到預期目標，其求解過程是能夠用數(shù)學歸納法實現(xiàn)的.

非常明顯，直接運用Lagrange插值公式來求解例6是不合適的.這足以說明利用線性空間理論解題時，尋求合適的基底是一件重要的事情.

3 結(jié) 論

本文的思考方式和解題方法是概念性的，在某種意義上具有示范性作用，例如，運用本文的思想也能夠處理多元多項式里面的一些相似問題.其實，域F上的n元多項式全體F[x1,x2,…,xn]構(gòu)成F上的一個線性空間V，對任意自然數(shù)m，V的次數(shù)小于m的元素形成一個有限維子空間W，根據(jù)W的維數(shù)，并適當選擇W的基底，可以利用線性空間理論來解決問題(注意：對確定的較小的n，可以實際操作；對一般的n，可以在理論上證明存在性，因為確定W的維數(shù)表達式不是一件容易的事情，它涉及到整數(shù)分拆的計數(shù)問題)，這留給讀者繼續(xù)研究和探索.

在高等代數(shù)乃至代數(shù)學的教學中，學生們運用基本概念和結(jié)構(gòu)定理進行思考的訓練是遠遠不夠的.由于課時緊缺、實用主義泛濫等等緣故，許多高校特別是非研究型高校的學生在學習代數(shù)類課程時，對基本概念的有效性和結(jié)構(gòu)定理的深刻性缺乏充分的認識.其實，代數(shù)學里的經(jīng)典概念和結(jié)構(gòu)定理都是經(jīng)過千錘百煉而來，是無數(shù)天才苦苦奮斗的結(jié)晶.可惜，許多學生都錯過了這類鍛煉，入寶山而空回！

數(shù)學大師Hilbert在1900年巴黎國際數(shù)學家大會上的著名演講《數(shù)學問題》的結(jié)尾處擲地有聲地說：“數(shù)學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著，這些工具和方法同時會有助于理解已有的理論并把陳舊的、復雜的東西拋到一邊.數(shù)學科學發(fā)展的這種特點是根深蒂固的.”

無疑，這段話對普通的數(shù)學教育工作者也是具有警示作用的，教師要花大精力引領學生，學生才能取得真正的進步，或許從事數(shù)學教學本來就不是一件容易的事.

致謝作者衷心感謝浙江大學李慧陵教授、北京大學王杰教授和張繼平教授的鼓勵和肯定，以及審稿專家的中肯意見！