利用第一型曲線積分求旋轉(zhuǎn)曲面面積注記

王文龍， 譚 暢， 曲智林

(東北林業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，哈爾濱 150040)

1 引 言

旋轉(zhuǎn)曲面面積的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要問題，一些教材[1-2]給出了平面光滑曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)曲面面積公式.文獻(xiàn)[3]給出了平面光滑曲線段繞同平面內(nèi)直線旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積公式，文獻(xiàn)[4-5]討論了以參數(shù)方程給出的空間曲線繞空間定直線形成的旋轉(zhuǎn)曲面面積的計(jì)算，作為此結(jié)果的進(jìn)一步完善，本文分別在空間曲線以參數(shù)方程及多項(xiàng)式方程組形式的一般方程描述時(shí)，給出了空間光滑曲線繞空間直線形成的旋轉(zhuǎn)曲面面積的計(jì)算方法.

2 坐標(biāo)面上曲線段繞定直線旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面面積的思想方法

(1)

例1求直線段l∶y=x+3(0≤x≤1)繞直線L:2x-y+1=0旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積.

解線段l繞直線L旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積為

3 空間曲線段繞定直線旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面面積注記

3.1 空間曲線以參數(shù)方程給出時(shí)旋轉(zhuǎn)曲面面積的計(jì)算

(2)

其中

則曲線段Γ繞直線L旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積為

注 定理1得到的曲面面積公式在形式上與所給的直線方程有關(guān)，其中涉及直線上所取定點(diǎn)M0(x0,y0,z0)及直線給定的方向向量s={m,n,p}.為說明公式的確定性，另取直線L上任意其它點(diǎn)M′0(x′0,y′0,z′0)及直線的另一方向向量s′={km,kn,kp}，由點(diǎn)M′0在直線上L上，故

x′0-x0=λm,y′0-y0=λn,z′0-z0=λp,

將M′0與s′代入g(t)公式得

因此，公式(2)與直線上點(diǎn)的選取及直線方向向量的選取無關(guān).

則Γ上直線段AB繞直線L旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積為

則曲線段Γ繞直線L旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積為

3.2 空間曲線以多項(xiàng)式方程組給出時(shí)旋轉(zhuǎn)曲面面積的計(jì)算

設(shè)K是一個(gè)數(shù)域，K上的n元多項(xiàng)式全體記為K[x1,x2,…,xn].

引理1(Shape引理)[8]假設(shè)I是K[x1,x2,…,xn]中的零維根理想，且其零點(diǎn)集的第n個(gè)坐標(biāo)xn互不相同，G為I在字典序x1?lexx2?lex…?lexxn下的Groebner基，則G中含有如下n個(gè)元：

其中h1,h2,…,hn為xn的次數(shù)不超過m-1的單變量多項(xiàng)式.

解將x作為參數(shù)，多項(xiàng)式z3+x2z+x2y-xz-x3，xy+z2-z在多項(xiàng)式環(huán)(x)[y,z]上字典序y?lexz下Groebner基為{z3-xz2+x2z-x3，xy+z2-z}，由z3-xz2+x2z-x3=0可解得z=x，代入xy+z2-z=0可得y=1-x，于是曲線參數(shù)方程為x=x,y=1-x,z=x.設(shè)M(x,y,z)為曲線段Γ上任一點(diǎn)，直線L的方向向量s={2,-1,1}，取M0(0,0,1)，則有曲線段Γ上任一點(diǎn)M(x,y,z)到直線L的距離為

則曲線段Γ繞直線L旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積為

則曲線段Γ繞直線L旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積為

4 結(jié) 論

本文給出了利用第一型曲線積分求空間曲線繞空間定直線旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面面積的兩點(diǎn)注記.對(duì)于空間曲線方程是參數(shù)形式或者多項(xiàng)式方程組給出的一般形式，旋轉(zhuǎn)曲面的面積一定可由第一型曲線積分表示，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為定積分形式，通過實(shí)例分析可知，該方法是可行的.對(duì)于一些旋轉(zhuǎn)曲面面積的積分表達(dá)式較為復(fù)雜的情況，如果不能求得面積的精確值，可以利用數(shù)值積分求其面積的近似值.若空間曲線以其它形式的一般方程給出，其參數(shù)方程的獲得一般較為困難，相應(yīng)旋轉(zhuǎn)曲面面積的計(jì)算是一個(gè)難點(diǎn)，有待于進(jìn)一步的研究.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.