與p級數(shù)的余項有關(guān)的級數(shù)與極限

黃永忠, 雷冬霞

(華中科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，武漢 430074)

1 引 言

然后考慮級數(shù)

得到它在p>2,p=2以及1

的相應(yīng)結(jié)果(見命題2).

作為應(yīng)用，計算級數(shù)

的和(見例1).p=2的情形就是2020年《美國數(shù)學(xué)月刊》的征解問題12215.

最后，在例2中利用rn(p)的等式討論一類與p級數(shù)有關(guān)的極限.

2 兩個引理

引理1[3]對q∈(0,1)，有

(1)

其中μ是與q有關(guān)的常數(shù)，且

(2)

注1 由引理1和等式

可得

(3)

引理2對p>1，有

(4)

從而由文獻[2]的Euler-Maclaurin公式(式(19))，得

(5)

其中

注意到

令m→∞，由式(5)得

式(4)得證.

注2 由引理2和等式

可得

(6)

3 主要結(jié)論

其中常數(shù)μ由式(2)得到(取q=p-1)

證因為

所以

(7)

(i)若p=2，則由

得到

(ii)若p>2，則

(iii)若1

(8)

其中由q=p-1，依式(2)，有

因此，結(jié)合上式和式(8)，由式(7)，得

令N→∞，得

事實上，對p>2和給定足夠大的正整數(shù)n0，由引理2，

于是結(jié)合

得到

這里的M與p有關(guān)，但由式(5)和它隨后的表達(dá)式知，M中不會出現(xiàn)分母為p-2的項，甚至M可以是一個關(guān)于p的線性式.

另一方面，對1

其中用到

其中

所以

其中

于是

(9)

(i)若p=2，則由式(6)，有

(也可由Stolz定理得到這個極限值)，并由式(9)得

(ii)若p>2，則由式(6)，有

并由式(9)，得

(iii)若1

因此

從而由式(9)，得

例1計算下列級數(shù)的和S：

解按照2020年《美國數(shù)學(xué)月刊》的征解問題12215的解答思路，有

于是由命題1和命題2，得

p級數(shù)的余項等式有助于處理與p級數(shù)有關(guān)的極限.

因為

所以

于是

(10)

再由引理2，得

(11)

因此

其中用到

(c)當(dāng)1

其中用到

和

3 結(jié) 論

致謝作者非常感謝文獻[2]和《美國數(shù)學(xué)月刊》的征解問題對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.