把握本質(zhì)　類比關(guān)聯(lián)　生成路徑

佘丹 王平

推理能力一直以來都是數(shù)學(xué)教育的重點(diǎn)關(guān)注對(duì)象。從推理類型來看，初中推理有幾何推理和代數(shù)推理。幾何推理以圖形為載體，形象直觀；代數(shù)推理側(cè)重?cái)?shù)和式的變形和轉(zhuǎn)換，相對(duì)比較抽象，是學(xué)生數(shù)學(xué)思維向更高層次發(fā)展的必備能力?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：要關(guān)注基于代數(shù)的邏輯推理，讓學(xué)生在邏輯論證的過程中，逐漸形成推理能力，培養(yǎng)科學(xué)精神。因此，教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，有必要進(jìn)行點(diǎn)面結(jié)合、系統(tǒng)推進(jìn)，逐步滲透代數(shù)推理。下面，本教學(xué)案例立足于代數(shù)內(nèi)容的自身特點(diǎn)，把握代數(shù)推理的本質(zhì)，類比幾何推理的思維方式，在發(fā)展學(xué)生代數(shù)推理能力的路徑與策略上做出了一些探索，現(xiàn)與讀者分享。

一、教學(xué)過程

1.類比探究

師：生活中除了有相等關(guān)系，還有許多的不等關(guān)系。從相等關(guān)系中我們抽象出了等式的概念，從不等關(guān)系中我們抽象出了不等式的概念。那么，等式有等式的性質(zhì)，不等式有哪些性質(zhì)呢？

師追問1：我們先回顧一下，等式有哪些性質(zhì)？它的符號(hào)語言是什么？

師追問2：類比等式的基本性質(zhì)，你覺得不等式的基本性質(zhì)可能是什么？

師追問3：這些都是大家的猜想，請(qǐng)舉例來證明。

［設(shè)計(jì)意圖］在學(xué)生回顧等式的基本性質(zhì)的符號(hào)語言時(shí)，教師從命題的角度引出用“條件……，結(jié)論……”的形式，幫助學(xué)生明確性質(zhì)中的條件和結(jié)論，為不等式的基本性質(zhì)的條件和結(jié)論作鋪墊。類比等式的基本性質(zhì)，猜想不等式的基本性質(zhì)，這樣的類比猜想是對(duì)知識(shí)的遷移與拓展，是研究新問題的重要思想方法。

師：通過剛才的探索，我們發(fā)現(xiàn)了不等式有兩個(gè)性質(zhì)。你能嘗試著用自己的語言去歸納這兩個(gè)性質(zhì)嗎？

師追問4：我們類比等式的基本性質(zhì)，猜想得到了不等式的基本性質(zhì)。那么，它們之間有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)呢？

師追問5：同學(xué)們能用“條件……，結(jié)論……”的形式，寫出不等式的基本性質(zhì)的符號(hào)語言嗎？

［設(shè)計(jì)意圖］學(xué)生在初步理解不等式的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，嘗試用自己的語言去歸納不等式的兩個(gè)性質(zhì)，自主建構(gòu)不等式基本性質(zhì)的內(nèi)容，再通過與等式的基本性質(zhì)的對(duì)比，完善了對(duì)不等式基本性質(zhì)的認(rèn)識(shí)。學(xué)生用“條件……，結(jié)論……”的形式書寫不等式基本性質(zhì)的符號(hào)語言，明確性質(zhì)中的條件與結(jié)論，對(duì)后續(xù)演繹推理起到了奠基的作用。

2.簡(jiǎn)單應(yīng)用

練習(xí)1 已知a＞b，用“＞”或“＜”填空。

（1）a+2? ? ? ? ?b+2； （2）a-5? ? ? ? ?b-5；

（3）4a? ? ? ? ?4b； （4）-a? ? ? ? ?-b。

練習(xí)2 判斷下面題目的正確性。

（1）如果abc；（4）如果a>b，那么3+2a>3+2b。

［設(shè)計(jì)意圖］練習(xí)1是對(duì)不等式基本性質(zhì)的直接運(yùn)用，有利于加深學(xué)生對(duì)不等式基本性質(zhì)內(nèi)涵的理解；練習(xí)2是對(duì)不等式基本性質(zhì)中關(guān)鍵字眼的辨析，有利于加深學(xué)生對(duì)不等式基本性質(zhì)外延的理解，其中以第（4）小題為著眼點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從熟悉的命題角度切入，要說明它是一個(gè)真命題，根據(jù)以往幾何學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，格式應(yīng)為“∵a>b，∴2a>2b。（兩邊都乘2，不等號(hào)方向不變）∴3+2a>3+2b。（兩邊都加上3，不等號(hào)方向不變）”，自然地得出代數(shù)推理的基本形式“因?yàn)椤?，所以……（依?jù)）”。

3.例題探究

例1 （1）請(qǐng)用不等式的基本性質(zhì)說明a+3>a+1；（2）請(qǐng)用不等式的基本性質(zhì)說明a+3>a。

例2 已知a>1，請(qǐng)用不等式的基本性質(zhì)說明a>[a+12]。

［設(shè)計(jì)意圖］例1難度較大，教師可以以問題串的形式啟發(fā)學(xué)生思考“解決這個(gè)問題的困難在哪（沒有條件）？題目中隱含條件是什么？怎樣找到隱含條件？”，從而一步步解決問題，讓學(xué)生體會(huì)到代數(shù)推理是要有條件和結(jié)論的。對(duì)于例2，學(xué)生可以說出自己的思考過程，畫出思維框圖并利用思維框圖（如圖1）來分析問題，展現(xiàn)自己的思考路徑，找到思考問題的方向，培養(yǎng)和發(fā)展代數(shù)推理能力。

二、教學(xué)反思

1.重視符號(hào)語言

用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)事物性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律，是學(xué)生初步形成抽象能力和推理能力的重要載體。本節(jié)課教材中沒有給出等式和不等式的基本性質(zhì)的符號(hào)語言，只有文字表述。因此，本節(jié)課從一開始在寫等式的基本性質(zhì)和不等式的基本性質(zhì)符號(hào)語言時(shí)，教師就有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生用“條件……，結(jié)論……”的形式書寫，并將“條件是什么，結(jié)論是什么”貫穿于整節(jié)課的教學(xué)之中，讓學(xué)生明確每個(gè)代數(shù)推理問題都應(yīng)該是有條件和結(jié)論的?？v觀整節(jié)課，符號(hào)語言就像是一條暗線，將回顧、探索、性質(zhì)、應(yīng)用這四個(gè)教學(xué)板塊有機(jī)地串聯(lián)起來，為后續(xù)代數(shù)推理起到奠基的作用。

2.層層推進(jìn)，掌握演繹推理表征

根據(jù)對(duì)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的研讀，結(jié)合學(xué)生學(xué)情，“‘?dāng)?shù)與代數(shù)課程中發(fā)展學(xué)生推理能力的教學(xué)研究”課題組集體研究確定了本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：一是探索不等式的基本性質(zhì)，二是能運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行兩步以內(nèi)的推理。其中，運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行兩步以內(nèi)的演繹推理是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。為突破重難點(diǎn)，教師分三個(gè)層次推進(jìn)：第一層次是一步推理，由填空題和判斷題的前三小題構(gòu)成題組。在學(xué)生剛剛對(duì)不等式的基本性質(zhì)有了初步認(rèn)識(shí)后，教師設(shè)計(jì)一步推理有利于加深理解，為多步推理奠定基礎(chǔ)。第二層次是條件明確的兩步推理，由判斷題第（4）小題承載。學(xué)生除了要會(huì)判斷出該命題的真假，還要在教師的指導(dǎo)下學(xué)會(huì)用符號(hào)語言完整證明。由于其條件明確，加上教師之前所做的有關(guān)符號(hào)表達(dá)的準(zhǔn)備工作充分，學(xué)生完成該推理并不困難。第三層次是蘊(yùn)含隱藏條件的推理，由例1和例2承載。在解決問題時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)了明顯的不適應(yīng)，此時(shí)通過教師引導(dǎo)，學(xué)生逐步明確思考的方式方法，整個(gè)課堂被推向高潮。

3.繪制框圖實(shí)現(xiàn)思考路徑可視化

思維框圖是思維可視化的有效工具，它的結(jié)構(gòu)很好地呈現(xiàn)了大腦自然思考問題時(shí)聯(lián)想到的相關(guān)知識(shí)，讓整個(gè)推理過程得到全面的考慮，讓學(xué)生能更清晰、準(zhǔn)確地將相互關(guān)聯(lián)的知識(shí)聯(lián)系起來，找到解決問題的思路，提高解題能力。在分析例2時(shí)，學(xué)生畫出思維框圖，展示自己的思考路徑。從條件到結(jié)論、從結(jié)論到條件以及同時(shí)從條件和結(jié)論出發(fā)的“兩頭湊”都是思考問題的重要途徑，這些思考路徑必將在學(xué)生的腦海中留下深刻的印象。需要說明的是，教師在之前教授幾何中的演繹推理時(shí)，一直采用思維框圖的方式進(jìn)行。因此，學(xué)生對(duì)于幾何中利用思維框圖分析問題、進(jìn)行演繹推理已經(jīng)非常熟練，看到這個(gè)思維框圖能自然地調(diào)出以往幾何學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，順利掌握思維框圖分析代數(shù)問題的方法，提高演繹推理能力。

重視符號(hào)語言、分層推進(jìn)推理內(nèi)容、強(qiáng)化推理表征、繪制思維框圖是教師在尋找發(fā)展學(xué)生代數(shù)推理能力的路徑與策略上做的積極探索。本節(jié)課可以作為一個(gè)典型的代數(shù)推理教學(xué)課例供讀者研究，也期待更多的教師進(jìn)入這一領(lǐng)域進(jìn)行深入研究，全面提高初中生代數(shù)推理能力。

（作者單位：1.江蘇省南京市中華中學(xué)；2.江蘇省南京市秦淮區(qū)教師發(fā)展中心）

本文系江蘇省中小學(xué)教研第十三期課題“發(fā)展初中生代數(shù)推理能力的實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：2019JK13-L017）的階段性研究成果。