歐氏平面上的Bonnesen型對稱混合不等式

李 曉，周家足

(1 重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 重慶 401331; 2 西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 重慶 400715)

1 預(yù)備知識

積分幾何與凸幾何分析是研究凸集“空間”的幾何，以(整體)微分幾何、泛函分析、偏微分方程和拓?fù)鋵W(xué)為基礎(chǔ)，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一個非常重要的研究領(lǐng)域。許多學(xué)者對積分幾何與凸幾何的發(fā)展做了貢獻(xiàn)和開創(chuàng)性的工作[1-20]。文獻(xiàn)[1-4]包含了當(dāng)時積分幾何與凸幾何的最新成就及綜述性論文。文獻(xiàn)[5]介紹了積分幾何與幾何不等式的重要聯(lián)系及一些新進(jìn)展。文獻(xiàn)[6-7]在對偶奧利茨-布蘭-閔可夫斯基理論等方面有開創(chuàng)性的工作。

歐氏空間Rn中的點集K稱為凸集,若?x,y∈K,連接x和y的線段還在K內(nèi)。K的凸包是所有包含K的凸集的交。凸集K和L的Minkowski和定義為

K+L={x+y:x∈K,y∈L}。

凸集K的數(shù)量積定義為

λK={λx:x∈K,λ≥0}。

?x∈Rn,λ>0，稱x+λK為凸集K的位似。域是具有非空內(nèi)點的集合,凸體是緊凸域。凸集K的支持函數(shù)由Rn中的內(nèi)積<·,·>定義為

hK(x)=max{:y∈K},x∈Rn。

(1)

經(jīng)典的等周問題是:平面上固定周長的閉曲線中,圓所圍成的區(qū)域面積最大。等周問題等價于經(jīng)典的等周不等式。

命題1設(shè)K為歐氏平面R2中由簡單閉曲線圍成的面積為A、周長為P的域，則

P2-4πA≥0，

(2)

當(dāng)且僅當(dāng)K為圓盤時等號成立。

經(jīng)典等周問題的證明可參見文獻(xiàn)[8-14]。等周不等式已被推廣到高維歐氏空間、流形及常曲率平面上。

從等周不等式(2)知P2-4πA刻畫了平面上某域K與一圓盤的差別程度，很自然地定義歐氏平面上域K的等周虧格為

Δ2(K)=P2-4uΑ。

(3)

Bonnesen進(jìn)一步深入研究平面等周不等式(2),發(fā)現(xiàn)了一系列形如

Δ2(K)=P2-4πA≥BK

(4)

的不等式。其中，BK是與K有關(guān)的幾何量,非負(fù)，且當(dāng)K為圓盤時BK=0。這類不等式是等周不等式的加強,稱為Bonnesen型不等式。Bonnesen利用域的最大內(nèi)切圓和最小外接圓的半徑給出了加強的等周不等式，即著名的Bonnesen等周不等式[15-16]。

命題2歐氏平面R2中域K的面積A、周長P滿足

P2-4πA≥π2(re-ri)2。

(5)

其中ri及re分別為K的最大內(nèi)接圓半徑及最小外接圓半徑。等號成立當(dāng)且僅當(dāng)re=ri,即K為圓盤。

本文用積分幾何方法，由著名的Poincaré公式和Blaschke運動基本公式估計平面上一隨機凸域包含或被包含于另一凸域的包含測度，給出關(guān)于平面兩凸域的對稱等周不等式以及一類Bonnesen型對稱等周不等式的統(tǒng)一證明。當(dāng)其中某凸域為圓盤時，這些平面兩凸域的對稱等周不等式以及Bonnesen型對稱等周不等式就是經(jīng)典的等周不等式及Bonnesen型不等式。當(dāng)考慮2維平面上的平移包含測度時，則得到了關(guān)于兩平面凸域混合面積的Minkowski不等式以及一類關(guān)于兩平面凸域混合面積的Bonnesen型對稱混合等似不等式的統(tǒng)一證明。

2 積分幾何中的包含測度

設(shè)Ki(i=0，1)為歐氏空間Rn中聯(lián)通且道路聯(lián)通的域，其邊界?Ki為簡單光滑超曲面，G為Rn中的等距群，則有如下包含測度：

m{g∈G:K0?gK1或K0?gK1}=

m{g∈G:K0∩(gK1)≠?}-

m{g∈G:?K0∩?(gK1)≠?}。

(6)

m{g∈G:K0?gK1或K0?gK1}≥

(7)

因此，得到以下結(jié)論。

ii)如果取K0≡K1≡K,則不存在g∈G，使得K?gK或者K?gK,即

m{g∈G:K?gK或K?gK}=0。

這就導(dǎo)致關(guān)于域K的一個幾何不等式f(I1(K),…,Il(K))≤0。這個估計包含測度的方法在2維歐氏平面時相對容易處理。

歐氏平面R2中凸域K完全由其支持函數(shù)hK(φ)唯一確定，

(8)

其中：P(x,y)∈?K；φ是點P處外法向與x-軸的夾角。凸域K的周長P、面積A可由它的支持函數(shù)hK(φ)算出：

(9)

設(shè)Ki(i=0,1)為R2中由簡單閉曲線圍成的面積為Ai、周長為Pi的域,K0與K1的混合面積A01定義為

(10)

G2為R2中的剛體運動群,dg為G2的運動密度,則有Poincaré運動公式[14-15]

4P0P1，

(11)

其中n{?K0∩?(gK1)}為?K0∩?(gK1)的交點數(shù)。

設(shè)χ(K0∩(gK1))為K0∩(gK1)的Euler-Poincaré示性數(shù),則有Blaschke運動公式

2π(A0+A1)+P0P1。

(12)

3 平面對稱混合等周不等式

對于歐氏平面R2中凸域K，設(shè)t>0,凸域K的放縮tK的周長PtK和面積AtK[17]分別為

PtK=tPK,AtK=t2AK。

設(shè)Kk(k=0,1)為R2中由簡單閉曲線圍成的面積為Ak、周長為Pk的凸域，令

tm=max{t:t(gK1)?K0;g∈G2},

tM=min{t:t(gK1)?K0;g∈G2},

(13)

顯然有tm≤tM。

若記μ為所有使得t(gK1)?K0或t(gK1)?K0的g的集合，即μ={g∈G2:t(gK1)?K0或t(gK1)?K0}，則(12)式可寫成

2π(t2A1+A0)+tP0P1。

(14)

當(dāng)?K0∩?(t(gK1))≠?時，K0∩t(gK1)的每一連通分支的邊界至少由?K0和?(t(gK1))的一段弧組成，因此χ(K0∩t(gK1))≤n{?K0∩?(t(gK1))}/2。由Poincaré運動公式(11)和Blaschke運動公式(12)可得

(15)

由不等式(15)可得一域包含另一域的充分條件[17]。

引理1設(shè)Kk(k=0,1)為R2中由簡單閉曲線圍成的面積為Ak、周長為Pk的凸域，則tK1包含或包含于K0的一個充分條件是

2πA1t2-P0P1t+2πA0>0。

(16)

定理1設(shè)Kk(k=0,1)為R2中由簡單閉曲線圍成的面積為Ak、周長為Pk的凸域，則

2πA1t2-P0P1t+2πA0≤0，t∈[tm,tM],

(17)

當(dāng)K0和K1為圓盤時等號成立。

考慮多項式

BK0,K1(t)=2πA1t2-P0P1t+2πA0。

(18)

顯然,BK0,K1(0)>0和BK0,K1(+∞)>0。不等式(17)保證了方程BK0,K1(t)=0存在實根,即該方程根的判別式非負(fù)。因此,可以得到如下對稱混合等周不等式。

定理2[17-18]設(shè)Kk(k=0,1)為R2中由簡單閉曲線圍成的面積為Ak、周長為Pk的凸域，則

(19)

當(dāng)K0和K1為圓盤時等號成立。

自此，假設(shè)本文中所有的域均是凸的。對稱混合等周不等式(19)的左邊刻畫了平面上兩凸域與圓盤的差別程度，因此可得如下定義。

定義1設(shè)Kk(k=0,1)為歐氏平面R2中面積為Ak、周長為Pk的域,則K0與K1的對稱等周虧格(symmetric isoperimetric deficit)定義為

(20)

現(xiàn)在考慮Bonnesen型對稱混合(等周)不等式。設(shè)Kk(k=0,1)為歐氏平面R2中面積為Ak、周長為Pk的域,如果存在關(guān)于K0、K1的非負(fù)不變量B(K0,K1),使得

(21)

當(dāng)K0與K1為圓盤時，B(K0,K1)=0。形如(21)的不等式稱為Bonnesen型對稱混合不等式。

為了得到Bonnesen型對稱混合不等式, 需要如下結(jié)果。

引理2[17]設(shè)Kk(k=0,1)為R2中面積為Ak、周長為Pk的凸域，則

(22)

其中每一個等號成立當(dāng)且僅當(dāng)K0和K1為圓盤。

定理3設(shè)Kk(k=0,1)為R2中面積為Ak、周長為Pk的凸域，則

(23)

當(dāng)K0和K1為圓盤時每一個等號都成立。

證明方程BK0,K1(t)=2πA1t2-P0P1t+2πA0=0的兩個根分別為

由引理2和定理3，立即可得如下引理。

引理3設(shè)Kk(k=0,1)為R2中面積為Ak、周長為Pk的凸域，則

(24)

由不等式(24)可得如下Bonnesen型對稱混合不等式。

定理4設(shè)Kk(k=0,1)為R2中面積為Ak、周長為Pk的凸域，則

(25)

(26)

(27)

當(dāng)且僅當(dāng)K0和K1為圓盤時等號成立。

即(25)式，當(dāng)且僅當(dāng)K0和K1為圓盤時等號成立。

由不等式(24)和不等式ab≥cd(其中a≥c≥0,b≥d≥0)，可得

即(26)式，當(dāng)且僅當(dāng)K0和K1為圓盤時等號成立。

由引理2中的不等式(22)以及以上類似方法，可以證明如下定理。

定理5設(shè)Kk(k=0,1)為R2中面積為Ak、周長為Pk的凸域，則

(28)

(29)

(30)

(31)

當(dāng)且僅當(dāng)K0和K1為圓盤時等號成立。

注1Bonnesen型對稱混合虧格以及Bonnesen型對稱混合不等式由文獻(xiàn)[17-18]得到。Bonnesen型對稱混合不等式(28)、(30)是Kotlyar的Bonnesen型對稱混合不等式(27)的加強。當(dāng)K1為單位圓盤時，tm為K0的最大內(nèi)接圓半徑r，tM為K0的最小外接圓半徑R,則本文中的Bonnesen型對稱混合不等式就是二維平面Bonnesen型不等式[5,17,19]。