Heisenberg群上在p,q-增長條件下非自治積分泛函Lavrentiev現(xiàn)象的缺失

張君麗, 鈕鵬程

(1 陜西科技大學 數(shù)學與數(shù)據(jù)科學學院，陜西 西安 710021；2 西北工業(yè)大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，陜西 西安 710129)

1 主要定理

文獻[1]證明了弱下半連續(xù)積分泛函(這里被積函數(shù)是絕對連續(xù)的)在容許集的C1稠密子集上的極小值可能嚴格大于容許集上的極小值, 人們將此稱之為Lavrentiev現(xiàn)象。此后，許多學者在歐氏空間上研究Lavrentiev現(xiàn)象。早期結(jié)果參見文獻[2]及其參考文獻。近二十年的研究主要集中于Lavrentiev現(xiàn)象缺失時的積分泛函極小元的正則性研究[3-15]。從這些研究中可以看到Lavrentiev現(xiàn)象是研究積分泛函極小元正則性的一個障礙。文獻[16]給出了一個歐氏空間上Lavrentiev現(xiàn)象缺失的充分條件。

本文在Heisenberg群Hn上考慮非自治積分泛函

(1)

其中：Ω?Hn；n≥1是一個有界開集;f(x,z):Ω×R2n×N→R是Caratheodory函數(shù)(即f(x,z)關于x可測,關于z連續(xù)), 并且?x,z→f(x,z)是凸的,f(x,z)=f(x,|z|),f(x,0)=0;u:Ω→RN,N≥1,H=(X1,X2,…,X2n),這里

是Hn上的左不變向量場。被積函數(shù)f(x,z)還滿足如下p,q-增長條件：

f(x,z)≥a(x)|z|p,

(2)

f(x,z)≤b(x)(1+|z|q)

(3)

和連續(xù)性條件

|f(x,z)-f(x0,z)|≤

d(x,x0)αk(x)(1+|z|q),0<α≤1,

(4)

其中非負可測函數(shù)a(x)、b(x)和k(x)分別滿足

(5)

指標p、q和mi(i=1,2,3)滿足

(6)

這里Q=2n+2是Hn的齊次維數(shù)。假設u∈HW1,1(Ω)={u∈L1(Ω):Hu∈L1(Ω)}使得(1)式有限, 則由(2)知a(x)|Hu|p∈L1(Ω),從而由

主要結(jié)果如下。

定理1令f(x,z):Ω×R2n×N→R是滿足(2)～(6)的Caratheodory函數(shù),并且還滿足如下兩個條件:

i)?x,z→f(x,z)是凸的;

推論1若存在c1和c2使得

a(x)≥c1>0,k(x)≤c2,

此時(6)式變?yōu)?/p>

定理1中的其他條件不變, 則其結(jié)論仍成立。

注1滿足定理1中條件的例子有

1)f(y,z)=|z|p+b(y)(1+|z|q),b(y)≥0;

2)f(y,z)=a(y)|z|p+c(1+|z|q),0≤

a(y)≤c;

3)f(y,z)=a(y)|z|p+b(y)(1+|z|q)。其中，非負可測函數(shù)a(y)和b(y)在Ω中具有相同的單調(diào)性。

定理1提供了Lavrentiev現(xiàn)象缺失的一個充分條件。我們注意到,當L(u,BR)≠0時,可能會出現(xiàn)下列嚴格不等式:

其中X和Y是拓撲空間, 且Y是X的稠密子集。這使得提升積分泛函極小元的正則性已無意義, 因為此時積分泛函的極小元僅屬于一個比X小一點的空間, 而不屬于Y。

2 預備知識

對歐氏空間R2n+1,n≥1,定義群乘法為

(7)

其中:x=(x1,x2,…,x2n,t),y=(y1,y2,…,y2n,s)∈R2n+1,這就得到Heisenberg群Hn;Hn上的Haar度量等價于R2n+1中的Lebesgue度量。可測集E?Hn的Lebesgue測度記為|E|。Hn中兩點間的Carnot-Carathèodary度量(C-C度量)d定義為連接它們的最短水平曲線的長度。用

BR(x)={y∈Hn:d(y,x)

表示由C-C度量d定義的球(也稱為Heisenberg球)。除非特別說明, 本文出現(xiàn)的球均為同心球。對x=(x1,x2,…,x2n,t),定義伸縮變換和模分別為

δx=(δx1,δx2,…,δx2n,δ2t)

和

C-C度量等價于Korànyi度量

d(x,y)=‖x-1°y‖Hn。

對1≤p<∞,Ω?Hn,定義Sobolev空間HWk,p(Ω)為

HWk,p(Ω)={u∈Lp(Ω):Hu∈Lp(Ω),

與其相應的范數(shù)是

?Ω′??Ω}。

現(xiàn)在給出與(1)式相關的Lavrentiev現(xiàn)象。參考文獻[2]中的描述(也見文獻[16-17]),取拓撲空間X和X的稠密子集Y,定義

X上G≤F},

Y上G≤F}。

3 定理1的證明

(8)

因為

所以(8)式變?yōu)?/p>

(9)

定義

(10)

則由條件(4)得

|f(x,z)-fε(x,z)|≤εαk(x)(1+|z|q),

從而

fε(x,z)≥f(x,z)-εαk(x)(1+|z|q)。

(11)

又由條件(2)得

fε(x,z)≥a(x)|z|p。

(12)

所以對固定的δ∈(0,1),利用(11)和(12)式得

fε(x,z)=δfε(x,z)+(1-δ)fε(x,z)≥

δf(x,z)-δεαk(x)(1+|z|q)+

(1-δ)a(x)|z|p,

(13)

又由(10)式、條件ii)和Jensen不等式得

(f(·,Hu(·)))ε(x),

所以(13)式變?yōu)?/p>

(14)

由(6)式知

即

再結(jié)合(f(·,Hu(·)))ε(x)在L1(BR)中強收斂到f(x,Hu)知(14)式右端函數(shù)屬于L1(BR),從而由uε在中強收斂到u,利用Lebesgue控制收斂定理得F(uε,BR)→F(u,BR),因此由引理1得L(u,BR)=0。

注3不滿足定理1中條件ii)的被積函數(shù)是存在的。例如，取

f(y,z)=a(y)|z|p+b(y)(1-|z|q)+1,