變中有定，“揪”其根本
——以一道高三解析幾何調(diào)研題為例

江蘇省錫山高級(jí)中學(xué) (214174)

陳 敏

一、引言

一題多解和多題一解是數(shù)學(xué)解題教學(xué)常用的教學(xué)方法.數(shù)學(xué)解題方法一般分為通法與巧法,通法著眼基礎(chǔ)，巧法著眼提高.通法是巧法的基礎(chǔ)，巧法是通法的升華.在目前的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，一方面，一些教師對(duì)通法推崇有加，而對(duì)巧法敬而遠(yuǎn)之，甚至談“巧”色變，學(xué)生習(xí)慣于套用解題的固有套路與程式，思維僵化而無(wú)創(chuàng)新色彩，“韌”性有余而“靈”性不足；而另一方面，一些教師片面追求巧法，輕視基礎(chǔ)，缺乏對(duì)基本思想方法的挖掘與訓(xùn)練，有時(shí)甚至陷入對(duì)通法不屑一顧而巧法又一時(shí)想不起的尷尬境界[1].當(dāng)然，既要注重基礎(chǔ)，守住通法，又適時(shí)適度個(gè)性創(chuàng)新，催生巧法，“通”“巧”結(jié)合，“韌”“靈”并舉，這是我們解題教學(xué)的理想境界.但是這種魚(yú)和熊掌兼得的教學(xué)如何把握談何容易.筆者認(rèn)為，無(wú)論通法還是巧法，變中還是有定的東西，仔細(xì)分析題意、提高目標(biāo)意識(shí)、充分利用條件、尋找解題思路、綜合靈活選擇方法、解題后的總結(jié)與反思等等這些都是變中不變的的東西.在新情境下，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法解決新問(wèn)題的必備品格和關(guān)鍵能力，這才是根本之本.解析幾何問(wèn)題一般通法與巧法變化比較多、運(yùn)算量大，解題要求高，但是分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的基本方向和基本思路是變中之定，數(shù)學(xué)解題就像數(shù)學(xué)本身一樣，應(yīng)當(dāng)是自然的、清楚的、明白的.本文從一道高三解析幾何調(diào)研題說(shuō)起.

二、問(wèn)題呈現(xiàn)

圖1

三、思路分析

四、解題研究

(一)設(shè)線(xiàn)法

解題反思：反觀(guān)整個(gè)解題過(guò)程，目標(biāo)很清晰，點(diǎn)P在第四象限、A，C，P三點(diǎn)共線(xiàn)等隱含條件條件的運(yùn)用很充分，方法選擇也較為恰當(dāng).其中關(guān)鍵是利用割補(bǔ)的思想，把△PCD面積可以表示為△PBC與△DBC面積之差，以直線(xiàn)BP的斜率k為參數(shù)建立面積目標(biāo)函數(shù)(也可以以直線(xiàn)AP的斜率為參數(shù))，通過(guò)換元，利用基本不等式求出面積的最大值，解題過(guò)程中要注意k的范圍以及換元基本不等式中等號(hào)成立的條件，否則，可以用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決.

設(shè)線(xiàn)法是解析幾何的通性通法，把直線(xiàn)方程與圓錐曲線(xiàn)方程聯(lián)立，得到一元二次方程，在判別式△>0的前提下，應(yīng)用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、弦長(zhǎng)公式等設(shè)而不求的方法解決相關(guān)問(wèn)題.這種方法趨于定式，易于理解、掌握和運(yùn)用，但這種方法往往運(yùn)算量大，在考試的環(huán)境下，學(xué)生常常欲進(jìn)維艱，耗時(shí)費(fèi)力.

(二)設(shè)點(diǎn)法

(三)動(dòng)中有定

(四)變式研究

圖2

(五)轉(zhuǎn)換他求

圖3

2.判別式法：如圖3，當(dāng)與直線(xiàn)AB平行的直線(xiàn)與橢圓在第四象限相切時(shí)，點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離的最大，此時(shí)點(diǎn)P就是切點(diǎn).

(六)回歸課本

圖4

五、結(jié)語(yǔ)

以上對(duì)這道解析幾何調(diào)研題的解析，我們主要用了基本不等式法、換元法、參數(shù)法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法、線(xiàn)性規(guī)劃法、導(dǎo)數(shù)法等思想方法，其中基本不等式法、換元法、參數(shù)法、判別式法屬于代數(shù)法，數(shù)形結(jié)合法、線(xiàn)性規(guī)劃法、導(dǎo)數(shù)法屬于幾何法，這些思想方法幾乎涵蓋了解析幾何常用的思想方法.如何靈活選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法，在新情境下解決新問(wèn)題，這才是重要的，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的根本要求.變中有定，“揪”其根本是實(shí)現(xiàn)這一根本要求的一條有效路徑.這里變中之定，根本之本，一方面是指仔細(xì)分析題意、提高目標(biāo)意識(shí)、充分利用條件、尋找解題思路、綜合靈活選擇方法、解題后的總結(jié)與反思等等這些都是多變解法中不變的的東西；另一方面是指課本，課堂教學(xué)應(yīng)“以課本為本”.學(xué)好教材是高考取得好成績(jī)的前提.我們要理解教材，“創(chuàng)造性使用教材”，而這樣做的第一要義是理解數(shù)學(xué)：了解數(shù)學(xué)概念的背景，把握概念的邏輯意義，理解內(nèi)容所反映的思想方法，挖掘知識(shí)所蘊(yùn)含的科學(xué)方法、理性思維過(guò)程和價(jià)值觀(guān)資源，學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，樹(shù)立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神；認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值.