Nesbitt不等式的一個(gè)新推廣及引申

山東省鄒平雙語學(xué)校 (256200)

姜坤崇 高奇媚

這是一個(gè)對(duì)稱、簡潔、優(yōu)美、內(nèi)涵豐富、應(yīng)用廣泛的經(jīng)典不等式，歷史上曾作為1963年莫斯科數(shù)學(xué)競賽題出現(xiàn)過，對(duì)它的研究(如證法、推廣、加強(qiáng)、加細(xì)、應(yīng)用等)也歷久不衰，文獻(xiàn)[1]給出了它的一種新推廣，本文給出它的一種新推廣.

在不等式②中令k=1即得不等式①，所以不等式②為不等式①的一種推廣.

命題1中的不等式②是關(guān)于三個(gè)正數(shù)a,b,c的不等式，若將它推廣為n(n≥3)個(gè)正數(shù)的不等式，則有如下命題4成立.

證明從略.

同樣的，命題2、3中的不等式也可以推廣到n(n≥3)個(gè)正數(shù)中去，有如下的兩個(gè)命題成立.

命題5 設(shè)xi>0(i=1,2,…,n,n≥3),且

命題6 設(shè)xi>0(i=1,2,…,n,n≥3),且

以上兩個(gè)命題的證明均從略.

由命題1，我們可得一個(gè)有趣的無窮長的代數(shù)不等式鏈：

同樣，由命題2、3可分別得另兩個(gè)無窮長的條件不等式鏈：

由命題8、9，我們也可得任意多的特例不等式.由命題4、5、6我們也可以分別得到無窮長的不等式鏈和無窮多的特例不等式，限于篇幅，這里不再給出.