六種邊界等直梁模態(tài)特性和振動響應的解析分析

馬斌捷，周書濤，洪良友，梁吉鵬，王麗霞

（北京強度環(huán)境研究所，北京，100076）

0 引 言

等直梁振動響應問題統(tǒng)一模型最一般化的邊界條件為兩端有不同附加質量和彈簧約束，包括帶不同附加質量、轉動慣量、不同剛度的線性和轉動彈簧，總共含有8個影響參數(shù)。由于該模型邊界條件的復雜性，其特征方程具有復雜的四階行列式，內含的8個影響參數(shù)各不相等，使得振型函數(shù)得不到簡化，不易獲得等直梁振動特性和響應的解析解。當?shù)戎绷旱亩瞬考s束為零和無窮大時，邊界條件可以簡化為簡支、固支和自由3種。等直梁兩端的這3種邊界總共有9種排列、6種組合。此時，等直梁振動問題特征方程中的端部約束參數(shù)可以消除，簡化為三角函數(shù)和雙曲函數(shù)的組合方程，振型函數(shù)和廣義質量的待定系數(shù)可以簡化或者變?yōu)榱?，從而可得到形式較為簡潔的等直梁振動特征方程及振動響應解析解。

在采用理論分析方法獲得梁振動響應解析解方面的研究相對較少。Li[1]考慮兩端支座橫向和轉動激勵，得到了受軸向力作用Euler Bernoulli梁的動態(tài)響應解析解。Li和Ren[2]采用Galerkin截斷法和模態(tài)疊加法，解析研究了受三向移動載荷作用水平曲梁垂向、扭向、徑向和軸向的動態(tài)響應。Yu等[3]基于模態(tài)疊加法和Euler Bernoulli梁理論，給出了放置在粘彈性地基上、在任意激勵作用下雙截面梁撓度、速度、加速度、彎矩和剪力的顯式解析表達式，并在集中、沖擊2種載荷下驗證了梁振動響應的解析解與數(shù)值解。上述文獻均未進一步給出廣義質量的解析表達式。馬斌捷等[4]提出了可顯著簡化廣義質量計算難度的特征變換方法，解決了端部帶約束懸臂梁振動響應的解析求解問題，并指出該方法可用于解析求解各種邊界條件和端部約束（包括平動與轉動的質量與彈性約束）等直梁的廣義質量，奠定了解析求解等直梁振動響應的基礎。

有鑒于此，本文采用特征變換方法，基于非歸一化的簡潔振型函數(shù)形式，獲得了6種邊界條件下等直梁廣義質量的解析結果。針對不同載荷分布，給出了各種響應參數(shù)動態(tài)放大系數(shù)的解析表達式和計算曲線。此外，基于廣義質量解析解推導了模態(tài)有效質量的解析算式，充實了振動理論的方法和內容。

1 等直梁的模態(tài)特性和廣義質量

各種邊界條件等直梁（見圖1）的橫向彎曲振動微分方程為[5]

圖1 等直梁振動響應示意 Fig.1 Vibration Response Sketch of Uniform-section Straight Beam

式中 0 x L≤≤；E，I，S，ρ，L分別為梁的材料彈性模量、橫截面軸慣性矩、密度、截面面積和長度；f (x, t)為梁單位長度上作用的分布力。在自由振動時f (x, t)=0，式（1）可以簡化為

等直梁兩端的簡支、固支和自由邊界條件共有9種排列、6種組合，可以分為3種對稱（兩端簡支、兩端固支、兩端自由）和3種不對稱（簡支-固支、簡支-自由、固支-自由）邊界。Ginsberg[6]給出了等直梁這6種邊界的模態(tài)特性。其中，兩端簡支等直梁的特征方程為

模態(tài)疊加法是獲取梁振動響應的基本方法。在特征值和振型函數(shù)已知的基礎上，計算各階振型對應的廣義質量和廣義力，可以得到各階廣義位移響應，再結合振型函數(shù)（含雙曲函數(shù)和三角函數(shù)）可獲得物理位移響應。振動響應解析分析的基礎是廣義質量和廣義力有解析表達式。由于雙曲函數(shù)與線性函數(shù)的乘積以及三角函數(shù)與冪函數(shù)的乘積均有解析積分式，因而各種邊界條件下集中力、均布力和線性分布力存在廣義力的解析表達式。然而等直梁廣義質量以往只有兩端簡支邊界條件下有解析表達式，馬斌捷等[4]采用特征變換方法給出了端部帶約束懸臂梁廣義質量的解析表達式。本文采用特征變換方法進一步給出6種邊界條件等直梁廣義質量的解析表達式。

特征變換方法的核心是引入特征值條件kn= mnωn2，將各階廣義質量拆分為50%的廣義剛度除以固有頻率平方與50%的廣義質量之和，利用振型函數(shù)與振型曲率函數(shù)的平方和，抵消多項反號函數(shù)，從而顯著簡化廣義質量積分的解析求解過程。

等直梁第n階廣義質量 nm和廣義剛度nk分別為

式中 m，k分別為梁的質量和剛度，m = ρSL，k = EI /L3；φn(θ)，φn(θ)分別為振型函數(shù)和振型曲率函數(shù)。按照特征變換法將廣義質量 nm的表達式改寫為[4]

根據(jù)式（10），采用簡潔振型表達式，本文得到了含簡支（兩端簡支、簡支-固支、簡支-自由）邊界等直梁的振型函數(shù)和振型曲率函數(shù)表達式分別為

不含簡支（懸臂、兩端固支、兩端自由）邊界等直梁的振型函數(shù)和振型曲率函數(shù)表達式分別為

由此可以進一步得到等直梁廣義質量的解析表達式。含簡支邊界等直梁廣義質量系數(shù)的表達式為

將相應含簡支邊界條件的特征方程和振型 系數(shù)代入式（15），可得到：

由式（16）可得：兩端簡支梁的廣義質量系數(shù)為0.5；簡支-固支和簡支-自由梁的廣義質量系數(shù)為0.4996(1)n=、0.5(1)n＞，均非常接近0.5。

對于3種不含簡支邊界等直梁，其廣義質量系數(shù)的表達式為

將相應不含簡支邊界梁的特征方程和振型系數(shù)代入式（17），可得到：

由此可以看出，采用特征變換方法推導得到的含簡支梁的廣義質量系數(shù)基本為0.5，不含簡支梁的廣義質量系數(shù)均為0.25，結果非常簡潔。

上述廣義質量解析解的獲得，解決了獲取等直梁振動響應解析解的關鍵問題。

由特征值條件，等直梁的各階廣義剛度nk可寫為

式中nγ，nα分別為廣義剛度系數(shù)和廣義質量系數(shù)，γn=，與αn成正比。

2 廣義力和動態(tài)響應放大系數(shù)

等直梁上作用的單頻線分布壓力()p x對應的廣義力nF為

式中 δn為廣義力系數(shù)，為合力。對于作用在梁上 xO= ζL (0 ≤ζ ≤1)處的集中力Q sin(ωt)、作用在全梁上的均布力(Q /L) sin(ωt)和線性分布力 (2Q /L2)x sin(ωt)，對應的廣義力系數(shù)分別為

雙曲函數(shù)與線性函數(shù)的乘積以及三角函數(shù)與冪函數(shù)的乘積均有解析積分式[7,8]，因而可以得到均布力和線性分布力廣義力的解析積分結果。計算結果顯示：

a）對于兩端自由梁，均布力和線性分布力對應的廣義力只能產(chǎn)生剛體平動和轉動，不會引起振動響應；對于簡支-自由梁，線性分布力對應的廣義力只能產(chǎn)生剛體轉動，也不會引起振動響應。

b）集中力的廣義力系數(shù)不隨階次增大而產(chǎn)生有規(guī)律的變化；均布力的廣義力系數(shù)隨階次增大而降低，大致與特征值成反比；線性力的廣義力系數(shù)隨階次增大而降低，變化趨勢介于與特征值成反比和與特征值平方成反比之間。

c）對稱邊界條件下，偶數(shù)階中部（ /2x L= ）振型曲率為零，使得中部截面彎矩響應也為零；對稱載荷的偶數(shù)階廣義力均為零；偶數(shù)階廣義力需要施加非對稱載荷；線性力與均布力的中部響應動態(tài)放大系數(shù)相同。

d）線性力的高階廣義力較低，集中力的高階廣義力較大，施加不對稱集中力易激勵出偶數(shù)階高階振動響應。

e）在0.3 L和0.7 L處作用的集中力能產(chǎn)生除10 n階次的廣義力，可產(chǎn)生較多階次的響應。

單頻外力激勵下位移響應(,)w x t的表達式為：

速度(,)v x t和加速度(,)a x t響應的表達式分別為：

彎矩(,)M x t可通過對位移(,)w x t兩次微分得到：

定義梁的靜態(tài)位移為/Q k，考慮模態(tài)阻尼比ξ的動態(tài)位移放大系數(shù)βw(x,λ)為

定義梁的準靜態(tài)加速度為/Q m，加速度放大系數(shù)βa(x,λ)為

定義梁的靜態(tài)彎矩為QL，動態(tài)彎矩放大系數(shù)βM(x,λ)為

式（29）～（32）即為6種邊界條件等直梁振動響應解析解的表達式。位移、速度和加速度的放大系數(shù)之間依次多一項無量綱因子（頻率）2λ，因此其高頻分量依次增大。而速度放大系數(shù)與彎矩放大系數(shù)的變化趨勢相同，只是空間分布函數(shù)將振型改為振型曲率。

比較式（30）～（32）可知，在諧振頻率處速度與動態(tài)彎矩的放大系數(shù)βv(x,λ)和 βM(x,λ)的變化規(guī)律相同。

圖2給出了在阻尼比為ξ=0.01時4種響應參數(shù)動態(tài)放大系數(shù)的解析計算曲線，部分邊界條件梁給出了兩個截面的彎矩響應。由圖2可以看出：加速度放大系數(shù)aβ的響應峰值變化相對平緩，高階與低階響應量級上沒有差別；位移放大系數(shù)wβ的響應峰值下降較快；速度放大系數(shù)vβ響應峰值的變化介于兩者之間，響應峰值隨頻率而下降。這3種參數(shù)響應曲線的交點位于一階頻率之前，曲線間距在交點后逐漸增大。根部彎矩放大系數(shù)Mβ的變化規(guī)律接近速度放大系數(shù)vβ，在響應峰值處基本一致，但在反共振谷的差別最大。在載荷分析中只考慮一階彎矩載荷通常是不夠的。等直梁無附加約束時的載荷分析階次與速度相同，有附加約束時的載荷分析階次與加速度相同[4]。

等直梁的動、靜態(tài)響應存在內在聯(lián)系。兩者對于靜平衡邊界條件有一致性，可通過靜態(tài)位移和靜態(tài)截面彎矩對相應的動態(tài)響應結果進行確認。對于4種靜平衡邊界（兩端簡支、簡支-固支、固支-自由、兩端固支）梁，分別在中部和端部施加集中力、均布力和線性分布力，得到的動態(tài)位移和彎矩響應曲線（圖2b、圖2d與集中力對應）在頻率趨于零時與靜態(tài)響應數(shù)值一致，說明了振動響應推導結果的正確性。

圖2 六種邊界條件等直梁的動態(tài)響應放大系數(shù)曲線 Fig.2 Dynamic Response Amplification Coefficient Curves for Uniform-section Straight Beam with Six Boundary Conditions

續(xù)圖2

圖2 只給出了部分集中力載荷形式和不同位置處的動態(tài)響應曲線。對于兩端簡支和兩端固支梁，由于在中部施加集中力不能激勵出偶數(shù)階模態(tài)，只用于比較靜、動態(tài)響應。

3 等直梁的有效質量

模態(tài)有效質量反映結構系統(tǒng)剛體模態(tài)和彈性模態(tài)的耦合作用，代表基礎激勵下各階模態(tài)的動力學質量與響應，也是結構系統(tǒng)的一種動特性[9]。

等直梁的有效質量目前還沒有解析表達式，其原因仍在于廣義質量的解析表達式未得到。因此可在本文推導出的廣義質量解析表達式的基礎上，給出各種邊界條件等直梁有效質量的解析表達式。第n階有效質量的計算公式為[10,11]：

式中 mn為第1節(jié)中已得到的第n 階 廣 義 質量，mn= αnm； mrn為第n階彈性模態(tài)與剛體平動模態(tài)的參與質量， mrn= mnr。第n階參與質量的表達式為

式中 δnU為第2節(jié)得到的均布力廣義力 系數(shù)，由上述結果導出的有效質量 Mne為

式中 αne為有效質量系數(shù)，

由相應邊界條件的廣義質量系數(shù)和均布力廣義力系數(shù)，得到了6種邊界條件等直梁的有效質量系數(shù)（見表1）。各階廣義質量系數(shù)的數(shù)值基本恒定（分別為0.5和0.25），有效質量系數(shù)與均布力廣義力的平方成正比。由于均布力的廣義力隨階次增大而降低，因此有效質量系數(shù)收斂到零的速度更快，高階有效質量更小，對振動響應和特性分析的影響也更小。從表1可以看出：

表1 六種邊界等直梁的有效質量 Tab.1 Effective Masses for Uniform-section Straight Beam with Six Boundary Conditions

a）兩端自由梁沒有有效質量。簡支-自由梁的第1階有效質量僅為總質量的14%，前10階有效質量之和僅為總質量的23%。兩端簡支梁的低階有效質量最大。

b）對稱邊界條件梁的偶數(shù)階有效質量均為零。由此可知自由邊界條件結構（空中飛行的飛機、火箭和導彈）的有效質量為零，不能采用基礎激勵方式進行動響應試驗，只能采用力激勵方式；邊界約束結構可采用基礎激勵方式研究其動響應。

4 結 論

本文基于特征變換方法和簡潔振型函數(shù)，推導了兩類邊界條件等直梁（有、無簡支邊界）的廣義質量解析解，獲得了集中力、均布力和線性分布力激勵下4種響應參數(shù)（位移、速度、加速度、動態(tài)彎矩）動態(tài)放大系數(shù)的解析解和曲線，并進一步得到了不同邊界條件等直梁的有效質量，豐富了等直梁模態(tài)特性中廣義質量、動態(tài)響應與有效質量解析解的研究成果。本文的主要研究成果如下：

a）3種含簡支邊界梁的各階廣義質量系數(shù)基本為0.5，另外3種不含簡支邊界梁的各階廣義質量系數(shù)均為0.25。

b）等直梁動態(tài)彎矩高頻分量的衰減程度與速度同階，低于位移的衰減程度。在載荷分析中只考慮一階彎矩載荷通常是不夠的，分析階次應介于與速度與加速度分析階次之間。

c）等直梁有效質量與均布力廣義力系數(shù)相關，自由梁沒有有效質量，簡支梁的有效質量最大。對稱邊界條件梁的偶數(shù)階有效質量均為零。

在等直梁未約束自由度的邊界中，再增加有限約束后，也可獲得其振動響應的解析解。例如，懸臂梁自由端帶質量和彈簧約束的振動響應解析解已采用特征變換方法給出[4]。等直梁含自由或簡支邊界增加約束（各種質量和彈簧，包括轉動慣量和角彈簧）后的振動響應解析解也可能獲得，限制條件是附加約束數(shù)量不超過2個，可以在質量、轉動慣量和線、角彈簧約束中選擇。等直梁邊界含3個及以上約束時的振動響應解析解能否得到，需要進行探索與研究。

對于與梁振動同為四階導數(shù)運動方程的板振動問題，板結構增加了一維空間變量，為二維振動問題。對矩形板而言，在每個方向均包含2項三角函數(shù)與2項雙曲函數(shù)，其振動響應通解為16項三角函數(shù)與雙曲函數(shù)之積的和[5]。對于圓形板，又增加了貝塞爾函數(shù)，問題進一步復雜化。由于板結構振動問題特征方程和廣義質量的表達式非常復雜，采用特征變換方法也不易求解該問題的振動響應解析解。板結構除四邊簡支時有振動響應解析解外，其它邊界時均沒有解析解。