融入數(shù)學(xué)文化 探究概念源頭
——以《對(duì)數(shù)的概念》一課教學(xué)為例

王 雯

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》關(guān)于對(duì)數(shù)的學(xué)習(xí)，提出了如下要求：一是理解對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，知道運(yùn)用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；二是收集、閱讀對(duì)數(shù)概念的形成和發(fā)展的歷史資料，撰寫小論文，論述對(duì)數(shù)發(fā)明的過(guò)程以及對(duì)數(shù)對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用。并在第二個(gè)要求的語(yǔ)句上標(biāo)示了“*”號(hào)，可見(jiàn)，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)十分重視對(duì)數(shù)相關(guān)數(shù)學(xué)史的教學(xué)。

雖然學(xué)生在學(xué)習(xí)“對(duì)數(shù)”前已經(jīng)有了學(xué)習(xí)指數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的探究經(jīng)驗(yàn)，但“對(duì)數(shù)”作為一個(gè)全新的符號(hào)化數(shù)學(xué)概念，具有高度的抽象性，學(xué)生還是會(huì)有很多的疑問(wèn)：為什么我們要學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)？為什么對(duì)數(shù)的符號(hào)是這樣的？為什么它會(huì)有這樣的運(yùn)算……，許多學(xué)生對(duì)一些數(shù)學(xué)概念的困惑與歷史上一些數(shù)學(xué)家曾經(jīng)的困惑是相似的，所以在學(xué)校教學(xué)研討活動(dòng)中，筆者融入了數(shù)學(xué)文化，以《對(duì)數(shù)的概念》為例展示了對(duì)數(shù)概念生成的過(guò)程，受到了評(píng)課教師的一致好評(píng)。

一、教學(xué)片斷與分析

（一）片斷一

師：我們知道，光年是天文學(xué)的基本單位，那一光年到底有多遠(yuǎn)？我們只需要知道光在真空中的速 度：299792.468 km/s和 一 年（以365天 計(jì)）的秒數(shù)：31536000 s，所以一光年等于299792.468×31536000（km），具體是多少呢？（一分鐘過(guò)去了，大部分學(xué)生沒(méi)有算出來(lái)，部分學(xué)生覺(jué)得數(shù)字太大）

師：在16、17世紀(jì)，計(jì)算器還沒(méi)有出現(xiàn)的年代，天文學(xué)蓬勃發(fā)展，尤其是“日心說(shuō)”開(kāi)始盛行時(shí)，研究行星軌跡需要面對(duì)大量大數(shù)的乘除開(kāi)方，繁瑣的計(jì)算讓天文學(xué)家們苦不堪言，他們迫切需要簡(jiǎn)化運(yùn)算的方法。這時(shí)候數(shù)學(xué)家給出了一些對(duì)應(yīng)表（見(jiàn)下表）。

?

師：請(qǐng)大家根據(jù)上面的這張對(duì)應(yīng)表計(jì)算：8192×16384 = ?

生：8192 = 213，16384 = 214，所以8192×16384 =213×214= 227= 134217728

師：非常好，利用上面這張對(duì)應(yīng)表我們可以把大數(shù)之間的乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化成指數(shù)間的加法運(yùn)算。

師：能否根據(jù)上面這張對(duì)應(yīng)表解決下面這個(gè)問(wèn)題：有一種紙，它的厚度是1毫米，對(duì)折1次后厚度為2毫米，對(duì)折2次后為4毫米，對(duì)折3次后為8毫米……，對(duì)折多少次可以達(dá)到珠穆朗瑪峰的高度（約8848米）？

生：表格上的數(shù)據(jù)讓我聯(lián)想到y(tǒng)= 2n這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，根據(jù)223＜ 8848000 ＜ 224可知，需要折疊24次才能達(dá)到珠穆朗瑪峰的高度。

師：非常好，那么一光年等于299792.468×31536000（km），你能根據(jù)上面的表格給出精確結(jié)果嗎？為什么？

生：不能，因?yàn)檎也坏?29792.468與31536000所對(duì)應(yīng)的x。

師：所以上面的對(duì)應(yīng)表并不能解決所有大數(shù)之間的乘法問(wèn)題，那用上面的方法你覺(jué)得可以解決這個(gè)問(wèn)題嗎？

生：可以，設(shè)229792.468 = 2x1，31536000 = 2x2，那么229792×31536000 = 2x1+x2，只要找到x1+x2對(duì)應(yīng)的值就可以了。

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)數(shù)符號(hào)作為一個(gè)新的符號(hào)出現(xiàn)，如果直接以結(jié)果的方式呈現(xiàn)，學(xué)生在接下來(lái)的學(xué)習(xí)中可能就會(huì)處于被動(dòng)狀態(tài)，認(rèn)為這個(gè)是需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容之一，至于為什么學(xué)習(xí)以及學(xué)習(xí)它有什么用都知之甚少，所以可以在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化，除了開(kāi)闊學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，還可以讓學(xué)生簡(jiǎn)要經(jīng)歷數(shù)學(xué)規(guī)律發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，在數(shù)學(xué)抽象中體會(huì)前輩們的數(shù)學(xué)思維過(guò)程，進(jìn)而感受到“對(duì)數(shù)”出現(xiàn)的必要性，也為后面單元教學(xué)對(duì)數(shù)的運(yùn)算奠定了一定的基礎(chǔ)。

（二）片斷二：

師：設(shè)229792.468 = 2x1，31536000 = 2x2，x1，x2到底是多少呢？

生：引進(jìn)一個(gè)符號(hào)表示就可以了。

師：你很厲害，蘇格蘭數(shù)學(xué)家約翰·納皮爾也是這樣想的，它發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)與“比”和“數(shù)”有關(guān)，所以它選取了希臘文logos（比）和arithrmos（數(shù)）組成了logarithm這個(gè)單詞，由此“對(duì)數(shù)”的概念產(chǎn)生了，后來(lái)數(shù)學(xué)家為了簡(jiǎn)便，又把符號(hào)簡(jiǎn)寫為“l(fā)og”。

師：回到剛剛的問(wèn)題，如果2x1= 229792.468，你覺(jué)得x1= ?

生：x1= log229792.468

師：那你覺(jué)得是否一定要以2作為底數(shù)？

生：不一定，3也可以。

師：很好，那如果是3x1= 229792.468，你覺(jué)得x1= ?

生：x1= log229792.468（有學(xué)生竊竊私語(yǔ)，覺(jué)得有點(diǎn)不太對(duì)勁）。

設(shè)計(jì)意圖：雖然有了“l(fā)og”這個(gè)符號(hào)，但為什么需要底數(shù)？學(xué)生通過(guò)特例及以前所學(xué)的知識(shí)，在“出現(xiàn)問(wèn)題—解決問(wèn)題—出現(xiàn)問(wèn)題—解決問(wèn)題”中不斷獲得新知，不僅使知識(shí)的獲得更加自然，也提高了學(xué)生辨析問(wèn)題的能力。

（三）片斷三

師：你能寫出幾個(gè)具體的對(duì)數(shù)嗎？

師：大家來(lái)觀察一下log21，log31，log51，這幾個(gè)對(duì)數(shù)具有什么特點(diǎn)？

生：它們的真數(shù)都為1，當(dāng)a＞o且a≠1時(shí)，因?yàn)閍0= 1，所以loga1 = 0

師：“0”這個(gè)數(shù)字挺特別的，那還有沒(méi)有比較特別的數(shù)字？

生1：我選擇了“1”，我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a＞o且a≠1時(shí)，因?yàn)閍1=a，所以logaa= 1

生2：我選擇了“2”，我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a＞o且a≠1時(shí)，因?yàn)閍2=a2，所以logaa2= 2

生3：總結(jié)兩位同學(xué)的對(duì)數(shù)形式，我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a＞o且a≠1時(shí)，logaab=b

師：非常棒，這位同學(xué)竟然發(fā)現(xiàn)了我們后面所要學(xué)習(xí)的“對(duì)數(shù)恒等式”，那繼續(xù)看剛剛同學(xué)們舉的例子，你還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

師：很好，利用剛剛的對(duì)數(shù)恒等式我們計(jì)算出了這個(gè)對(duì)數(shù)的具體值，那對(duì)于這個(gè)對(duì)數(shù)呢？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生舉例，教師適當(dāng)引導(dǎo)，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)中一些特別的數(shù)及對(duì)數(shù)恒等式，不僅增強(qiáng)了他們學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的興趣，深入理解對(duì)數(shù)概念，而且有效地培養(yǎng)了他們自主學(xué)習(xí)、自主探究的能力。

二、教學(xué)反思

體現(xiàn)“知識(shí)之諧”。由于許多學(xué)生對(duì)一些數(shù)學(xué)概念的困惑與歷史上一些數(shù)學(xué)家曾經(jīng)的困惑都是相似的，所以可以在教學(xué)中直接引用數(shù)學(xué)史，從分析數(shù)學(xué)史中對(duì)數(shù)出現(xiàn)的原因、對(duì)數(shù)符號(hào)的選定以及運(yùn)用對(duì)數(shù)所能解決的問(wèn)題出發(fā)，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)既符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“知識(shí)之諧”。

體會(huì)“方法之美”。數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這些素養(yǎng)既具有相對(duì)獨(dú)立性，又構(gòu)成了一個(gè)有機(jī)整體，師生必須借助具體的知識(shí)來(lái)實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。教師更多的是要從學(xué)生熟知事物的角度出發(fā)，貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，在“出現(xiàn)問(wèn)題—解決問(wèn)題—出現(xiàn)問(wèn)題—解決問(wèn)題”的不斷循環(huán)和螺旋式上升中解決問(wèn)題，進(jìn)而深化對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的理解，以養(yǎng)成數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)教學(xué)的“方法之美”。

體驗(yàn)“探究之樂(lè)”。數(shù)學(xué)探究是一種重要的教與學(xué)的方式，有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論的產(chǎn)生過(guò)程，本節(jié)課鼓勵(lì)學(xué)生自己舉例，讓學(xué)生體驗(yàn)“做數(shù)學(xué)”“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”的過(guò)程不僅培養(yǎng)了學(xué)生的質(zhì)疑與反思的習(xí)慣，還提高了他們看待數(shù)學(xué)問(wèn)題、了解其本質(zhì)的能力，讓學(xué)生體會(huì)“探究之樂(lè)”對(duì)于培養(yǎng)他們自主學(xué)習(xí)、自主探究的能力都起到了很好的作用。

本節(jié)課的概念教學(xué)，站在HPM的視角下，通過(guò)歷史故事激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生的參與度高、興趣濃厚，這正是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)有的效果。