一題多解 提升數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力
——以“立體幾何二面角的多種解法”為例

江蘇省蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學(xué)

吳 靜

二面角的解法是立體幾何的一個(gè)重要內(nèi)容，它能有效地培養(yǎng)學(xué)生的空間想象、幾何直觀、邏輯推理、運(yùn)算求解等能力.教師如果能引導(dǎo)學(xué)生一題多解，更能充分提升他們思維的廣闊性、深刻性、探索性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性等，進(jìn)而促進(jìn)創(chuàng)新思維的形成.

1 “一題一解”不能適應(yīng)學(xué)生素養(yǎng)發(fā)展的需求

學(xué)生處理二面角的計(jì)算問題主要有兩個(gè)方法：一是通過作出二面角的平面角，再在三角形中使用余弦定理.另外一個(gè)是向量法，即通過建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出兩個(gè)平面的法向量的夾角.但是在平常的數(shù)學(xué)訓(xùn)練中，學(xué)生遇到具體的問題時(shí)，往往只能想到其中一種方法，當(dāng)這種方法出現(xiàn)卡殼時(shí)，解題就會(huì)出現(xiàn)困難.比如，學(xué)生會(huì)遇到作不出二面角的平面角或圖形不規(guī)則不能夠順利建系等情況.

例1如圖1所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱BB1，CC1上(均異于端點(diǎn))，AB=AC，∠ABE=∠ACF，BB1⊥平面AEF.

圖1

(1)求證：四邊形BEFC是矩形；

教師可以先問學(xué)生例1考查的知識點(diǎn)是什么.顯然例1以斜三棱柱為載體，考查線面的位置關(guān)系以及二面角的計(jì)算.對于第(1)問，學(xué)生通過證△ABE≌△ACF得到BE=CF.又從BE∥CF，BE⊥EF出發(fā)，進(jìn)而證得四邊形BEFC是矩形.班上中游以上的學(xué)生基本能做出來.對于第(2)問，可以轉(zhuǎn)化為求平面ABC與平面AEF所成的銳二面角，但是學(xué)生卻發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)平面沒有現(xiàn)成的交線，因而不好直接作出二面角的平面角.這道題目的難點(diǎn)就在于圖形不常規(guī)，學(xué)生不知道如何建系.要讓學(xué)生突破“一題一解”的羈絆，即突破一種類型的題目一種解法的瓶頸，教師就需要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

2 “一題多解”提升創(chuàng)新思維能力的策略

教師可以結(jié)合二面角的解法，基于變式教學(xué)理論，以例1為例，以“一題多解”為展示的主要方式，最終促成學(xué)生創(chuàng)新能力的生長.

2.1 直接建系法

圖2

2.2 補(bǔ)交作角法

圖3

這種解法的創(chuàng)新在于，通過延展兩個(gè)平面找到兩個(gè)半平面交線，在一個(gè)平面內(nèi)向交線作一條垂線再證一個(gè)垂直(三垂線定理)得到二面角的平面角.學(xué)生只需要在直角三角形中通過勾股定理計(jì)算各邊，進(jìn)而直接得到余弦值.

2.3 平行平面法

圖4

這種解法的創(chuàng)新在于，學(xué)生通過作出一個(gè)平面的平行平面，將問題轉(zhuǎn)化到兩個(gè)有交線的平面上，學(xué)生可以直觀地作出二面角的平面角，但教師要提醒他們有時(shí)候轉(zhuǎn)化后的平行平面所成的二面角與原二面角是補(bǔ)角關(guān)系.

2.4 抽象作角法

圖5

這種解法的創(chuàng)新之處有反其道而行之的意蘊(yùn)，教師不是指導(dǎo)學(xué)生找兩個(gè)平面的交線，而是從交線上的一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，在兩個(gè)平面內(nèi)分別作交線平行線的垂線作出二面角，表面上貌似不按圖“索驥”，實(shí)則真正抓住了二面角平面角的本質(zhì).一言以蔽之，立體幾何作為高中數(shù)學(xué)的主干知識之一，教師可借助“一題多解”將幾何體的形狀、大小與位置關(guān)系等，通過二面角的解法呈現(xiàn)出來.學(xué)生在解題的過程中將空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，空間向量與空間角的計(jì)算等串聯(lián)起來.創(chuàng)新能力盤活了學(xué)生的認(rèn)知，激發(fā)了他們的思維，進(jìn)而促進(jìn)了他們多元能力的生長.

高中數(shù)學(xué)課堂要以學(xué)生為本，教師要注重學(xué)生能力發(fā)生的過程.“一題多解”將教學(xué)的關(guān)注點(diǎn)轉(zhuǎn)移到學(xué)生身上，不再是“一題多講”，而是要凸顯學(xué)生在思維上的“多”，即多創(chuàng)新思維；同時(shí)也凸顯學(xué)生在展示上的”多“，即多創(chuàng)新展示.這樣，學(xué)生的創(chuàng)新能力在具體的教學(xué)環(huán)節(jié)中才能得到長足的發(fā)展.