巧借函數(shù)圖象 妙解零點問題

江蘇省徐州市第三中學

郭 琪

1 引言

函數(shù)的圖象從直觀角度反映了函數(shù)相應的基本性質(zhì).在解答選擇題、填空題時，可以直接根據(jù)函數(shù)的圖象迅速得出解題方案；在解答題中，也可以從函數(shù)的圖象上獲得一些有用的解題思路.而解答一些函數(shù)的零點問題時，借助函數(shù)的圖象，可以更加直觀有效地解決一些與函數(shù)的零點個數(shù)、零點所在區(qū)間等相關數(shù)學問題.

2 零點個數(shù)判定

涉及較復雜函數(shù)的零點個數(shù)的判定問題，經(jīng)常將其轉(zhuǎn)化為方程的實根問題，借助兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)情況來分析與直觀判定.經(jīng)常以常見的基本初等函數(shù)的圖象為轉(zhuǎn)化的根本目標.

例1已知函數(shù)f(x)=e-x+x2-3x+1，則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為( ).

A.3 B.2 C.1 D.0

分析：結合函數(shù)所對應的方程的恒等變形轉(zhuǎn)化，將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為方程的實根問題，再進一步轉(zhuǎn)化為一個指數(shù)函數(shù)與一個二次函數(shù)圖象的交點問題，從而利用數(shù)形結合巧妙轉(zhuǎn)化，直觀判定.

解析：由f(x)=e-x+x2-3x+1=0，變形可得e-x=-x2+3x-1.

在同一平面直角坐標系內(nèi)作出指數(shù)函數(shù)y=e-x和二次函數(shù)y=-x2+3x-1的圖象，如圖1所示.

圖1

由圖1可知，函數(shù)y=e-x和y=-x2+3x-1的圖象有2個交點.

所以，函數(shù)f(x)的零點有2個.故選擇：B.

點評：涉及函數(shù)零點的個數(shù)判定問題，其實就是對應的方程的實根個數(shù)問題，但是直接通過解方程來分析與求解并不容易，而是根據(jù)對應函數(shù)的圖象與性質(zhì)來直觀判斷，尤其是那些變形轉(zhuǎn)化后方程兩端對應的函數(shù)類型不同且均是基本初等函數(shù)時，大多用數(shù)形結合方法求解與處理.

3 函數(shù)取值確定

涉及函數(shù)值的正負取值的確定問題時，經(jīng)常結合函數(shù)的零點將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，并利用函數(shù)圖象的上下位置關系來分析與確定相關函數(shù)值的正負取值等情況.

A.f(x1)<0，f(x2)<0

B.f(x1)<0，f(x2)>0

C.f(x1)>0，f(x2)<0

D.f(x1)>0，f(x2)>0

分析：結合函數(shù)所對應的方程的恒等變形轉(zhuǎn)化，對應函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為一個指數(shù)函數(shù)與一個類似反比例函數(shù)的圖象的交點位置問題.利用函數(shù)圖象的位置特征來判斷相應函數(shù)值的正負取值情況.

圖2

因為x1∈(1，x0)，x2∈(x0，+∞)，所以結合函數(shù)的圖象直觀可知f(x1)<0，f(x2)>0.

故選擇：B.

點評：確定此類函數(shù)值的正負取值情況時，經(jīng)常利用函數(shù)的單調(diào)性來分析與處理.但由于函數(shù)解析式的復雜性，不易很快確定函數(shù)的單調(diào)性.而借助函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，利用兩個不同函數(shù)圖象的交點情況以及圖象的上下位置關系來確定對應函數(shù)值的正負取值情況，更加直觀有效，簡捷方便.

4 參數(shù)范圍求解

涉及含參數(shù)的函數(shù)的零點或方程的實根問題時，經(jīng)常將此類問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，通過動與靜的結合，常量與變量的變換等來合理平移相應的函數(shù)圖象，數(shù)形直觀地確定參數(shù)取值范圍.

A.[-1，0) B.[0，+∞)

C.[-1，+∞) D.[1，+∞)

分析：結合函數(shù)所對應的方程的恒等變形轉(zhuǎn)化，將問題轉(zhuǎn)化為關于x的方程f(x)=-x-a有2個不同的實根，進而結合分段函數(shù)f(x)的圖象與直線之間一“曲”一“直”，一“靜”一“動”的變化情況，利用數(shù)形結合，巧妙直觀地確定參數(shù)的取值范圍.

解析：由函數(shù)g(x)=f(x)+x+a存在2個零點，即關于x的方程f(x)=-x-a有2個不同的實根，可知函數(shù)f(x)的圖象與直線y=-x-a有2個交點.

在同一平面直角坐標系中作出直線y=-x-a與分段函數(shù)f(x)的圖象，如圖3所示.

圖3

結合圖3直觀可知，-a≤1，解得a≥-1.

所以，實數(shù)a的取值范圍是[-1，+∞).

故選擇：C.

點評：解決一些涉及含參變量的函數(shù)的零點、方程中的實根等相關問題時，經(jīng)常結合對應代數(shù)式的恒等變形，將其轉(zhuǎn)化為兩個相關函數(shù)所對應的方程，合理分離參數(shù)，進而實現(xiàn)一“曲”一“直”，一“靜”一“動”，綜合利用參數(shù)的幾何意義，以及變形規(guī)律、條件限制等來確定參數(shù)的取值情況.

5 復合函數(shù)應用

涉及復合函數(shù)的零點或復合方程的實根問題時，經(jīng)常借助函數(shù)或方程的恒等變形，將問題轉(zhuǎn)化為相關函數(shù)圖象的位置關系問題，結合交點情況、位置關系等來綜合求解.

A.5個 B.6個 C.7個 D.8個

分析：作出相應分段函數(shù)的圖象，結合復合方程的求解，將方程不相等的實根的個數(shù)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)圖象與直線的交點個數(shù)問題，結合函數(shù)圖象特征來直觀分析與確定即可.

圖4

由方程f2(x)-f(x)=0，得f(x)=1，或f(x)=0.

方程f(x)=0的不相等的實根的個數(shù)就是函數(shù)f(x)的圖象與直線y=0(x軸)的交點個數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象直觀可知，方程f(x)=0有3個不相等的實根；

而方程f(x)=1的不相等的實根的個數(shù)就是函數(shù)f(x)的圖象與直線y=1的交點個數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象直觀可知，方程f(x)=1有4個不相等的實根.

所以，方程f2(x)-f(x)=0的不相等實根共有7個.故選擇：C.

點評：涉及一些復合函數(shù)或方程的零點問題，經(jīng)常借助復合函數(shù)或方程的恒等變形與轉(zhuǎn)化，進而綜合函數(shù)自身的結構特征以及對應的函數(shù)圖象，數(shù)形直觀來解決包括函數(shù)零點在內(nèi)的一些基本性質(zhì)問題，實現(xiàn)函數(shù)與方程的巧妙轉(zhuǎn)化、數(shù)形結合思想的綜合應用等.

6 結束語

利用函數(shù)的圖象解決有關函數(shù)的零點問題時，關鍵是合理進行代數(shù)運算與恒等變形，轉(zhuǎn)化為常見的基本初等函數(shù)問題，合理作出對應函數(shù)的圖象加以直觀分析，綜合處理.解決此類問題的基本策略技巧是合理分離參數(shù)，做到一“靜”一“動”，一“直”一“曲”，“動”直線，“靜”曲線，巧平移，妙變換.借助函數(shù)圖象，“直”“曲”分離，數(shù)形結合，“動”“靜”配合，直觀想象，全面提升學生數(shù)學品質(zhì)、數(shù)學能力，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng).