一個偶數(shù)階導(dǎo)數(shù)非負(fù)的Hermite-Hadamard型不等式及其應(yīng)用

孟 晴,吳藝婷

(中國計量大學(xué) 理學(xué)院,浙江 杭州 310018)

設(shè)f:[a,b]→是連續(xù)凸函數(shù),則著名的Hermite-Hadamard不等式表述為[1]

(1)

近年來,有許多學(xué)者對該不等式進(jìn)行了改進(jìn)和推廣[2-7]。文獻(xiàn)[8]中,Dragomir和Agarwal得到如下關(guān)于Hermite-Hadamard不等式右側(cè)和中間項(xiàng)之差的恒等式:

(2)

并利用該等式導(dǎo)出當(dāng)|f′|為凸函數(shù)時的Hermite-Hadamard型不等式:

(3)

文獻(xiàn)[9]中,鄧勇平和吳善和在|f(n)|為凸函數(shù)的條件下,得到如下涉及高階導(dǎo)數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式:

(4)

本文將在f(2n)連續(xù)且非負(fù)的條件下,建立一個新的涉及高階導(dǎo)數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式。

(5)

為Schur-凸函數(shù)。褚玉明等人在文獻(xiàn)[14]中證明了當(dāng)f為凸函數(shù)時,

Ψ(x,y)=

(6)

為Schur-凸函數(shù)。本文將利用新建立的Hermite-Hadamard型不等式研究一個新的含變限積分的Schur-凸函數(shù),并利用它導(dǎo)出著名的Bullen不等式[15]。

1 預(yù)備知識

定義1設(shè)f為區(qū)間[a,b]上的函數(shù),若對任意x1,x2∈[a,b]和任意λ∈[0,1]有

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),

則稱f為[a,b]上的凸函數(shù)。

定義2[16]設(shè)Ω?n,x=(x1,x2,…xn)∈Ω,若對任意n×n置換矩陣P,有Px∈Ω,則稱Ω為對稱集。

定義3[16]設(shè)Ω?n為對稱集,φ:Ω→,若對任意x∈Ω和任意n×n置換矩陣P,都有φ(Px)=φ(x),則稱φ為Ω上的對稱函數(shù)。

定義4[17]設(shè)向量x=(x1,x2,…,xn)∈n,y=(y1,y2,…,yn)∈n,x[1],x[2],…,x[n]表示x中分量的遞減重排,即x[1]≥x[2]≥…x[n],若x,y滿足：

則稱x被y所控制,記作xy。

定義5[17]設(shè)Ω?n,φ:Ω→,若對Ω中任意滿足控制關(guān)系xy的x=(x1,x2,…,xn)和y=(y1,y2,…,yn)有

φ(x1,x2,…,xn)≤φ(y1,y2,…,yn),

則稱φ為Ω上的Schur-凸函數(shù)。

引理1[17](Schur-凸函數(shù)判定定理)設(shè)Ω?n為有內(nèi)點(diǎn)的對稱凸集,φ:Ω→在Ω上連續(xù),在Ω的內(nèi)部可微,則φ為Ω上的Schur-凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)φ在Ω上對稱且對任意x=(x1,x2,…,xn)∈Ω有

2 積分恒等式

引理2設(shè)f:[a,b]→,若f(2n)(n≥1)在[a,b]上連續(xù),則對λ∈[0,1],有

(7)

證明:當(dāng)n=1時,

運(yùn)用兩次分部積分,得

所以當(dāng)n=1時,等式(7)成立。

假設(shè)當(dāng)n=m時式(7)成立,即

(8)

運(yùn)用分部積分,得

(9)

將式(8)代入式(9),得

所以當(dāng)n=m+1時,等式(7)成立,故對任意自然數(shù)n≥1,等式(7)成立。

因此,引理2得證。

3 Hermite-Hadamard型不等式

事實(shí)上,若f(2n)(n≥1)在[a,b]上連續(xù)且非負(fù),則式(7)中的A2n≥0,于是,我們得到如下結(jié)果:

定理1設(shè)f:[a,b]→,若f(2n)(n≥1)在[a,b]上連續(xù)且非負(fù),則對λ∈[0,1],有不等式

(10)

推論1設(shè)f:[a,b]→,若f(2n)(n≥1)在[a,b]上連續(xù)且非負(fù),則有不等式

(11)

注2在推論1中令n=1,即得如下結(jié)果:

推論2設(shè)f:[a,b]→,若f″在[a,b]上連續(xù)且非負(fù),則有不等式

(12)

4 函數(shù)的Schur凸性

本節(jié)利用定理1中的Hermite-Hadamard型不等式證明一個含變限積分的函數(shù)的Schur凸性。

定理2設(shè)f:I?→,若對n≥1,f(2k)(k=1,2,…,n)在I上連續(xù)且非負(fù),則

S2n-2(x,y)=

(13)

是I2上的Schur-凸函數(shù)。

證明顯然S2n-2(x,y)是I2上的對稱函數(shù)。當(dāng)x=y∈I時,對任意t0∈I,有

(14)

同理,可得

(15)

因此,由式(14)和式(15)知當(dāng)x=y∈I時,

(16)

當(dāng)x≠y∈I時,

對S2n-2(x,y)分別關(guān)于x,y求偏導(dǎo),得

(17)

(18)

利用式(17)和式(18)得

根據(jù)定理2的條件,f(2n)在I上非負(fù),應(yīng)用推論1中的不等式得到

(19)

由于

和

將其代入式(19)得

(20)

根據(jù)定理2的條件,f(2k)(k=1,2,…,n)在I上非負(fù),可知f(2k)(k=1,2,…,n-1)為I上的凸函數(shù),由凸函數(shù)的定義得到對任意n≥1,

(21)

由式(16)和式(21),運(yùn)用Schur-凸函數(shù)的判定定理(引理1)知S2n-2是I2上的Schur-凸函數(shù)。

從而定理2得證。

注3當(dāng)n=1時,由定理2得到如下推論:

推論3設(shè)f:I?→,若f″在I上連續(xù)且非負(fù),則

S0(x,y)=

(22)

為I2上的Schur凸函數(shù)。

注4由定理2知,S2n-2(x,y)是I2上的Schur-凸函數(shù),利用熟知的控制關(guān)系

根據(jù)Schur-凸函數(shù)的定義,可得

由上面不等式,即得如下推論。

推論4設(shè)f:I?→,若對n≥1,f(2k)(k=1,2,…,n)在I上連續(xù)且非負(fù),則

(23)

特別地,在不等式(23)中取n=1,得到著名的Bullen不等式,即

(24)

5 結(jié) 語

本文建立一個關(guān)于高階可微函數(shù)的積分恒等式,然后利用該恒等式導(dǎo)出一個偶數(shù)階導(dǎo)數(shù)非負(fù)的Hermite-Hadamard型不等式。作為應(yīng)用,我們將得到的新Hermite-Hadamard型不等式用于證明一個含變限積分的函數(shù)的Schur凸性,并進(jìn)一步由該函數(shù)的Schur凸性導(dǎo)出Bullen不等式。結(jié)果表明,通過構(gòu)造Schur-凸函數(shù),運(yùn)用本文的方法可以推廣和改進(jìn)許多經(jīng)典不等式。