非周期參數(shù)激勵(lì)下的混沌同步控制及保密通信方案設(shè)計(jì)

唐葉芝,李震波,2*

(1.南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽(yáng)421001;2.南華大學(xué) 數(shù)學(xué)建模與科學(xué)計(jì)算湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖南 衡陽(yáng)421001)

0 引 言

自1990年，L.M.Pecora和T.L.Caroll[1]應(yīng)用電路試驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了混沌同步以來(lái)，混沌同步一直是研究非線性科學(xué)的熱點(diǎn)課題之一。迄今為止已經(jīng)提出的混沌同步方法大致有十幾種，從出現(xiàn)較早的驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)[1]、反饋同步[2]等到近些年提出的自適應(yīng)同步法[3]、基于狀態(tài)觀測(cè)器方法的同步法[4]、脈沖同步[5]等。隨著同步方法的不斷改進(jìn)以及新方法的提出，混沌同步將逐步走向?qū)嵱秒A段，為混沌保密通信奠定了一定的理論基礎(chǔ)。混沌信號(hào)具有非周期性、連續(xù)寬帶頻譜、類(lèi)噪聲等特性，具有天然的隱蔽性。同時(shí)混沌信號(hào)對(duì)初始條件具有高度敏感性，有著長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性和抗截獲能力[6]，因此混沌信號(hào)非常適合作為保密通信的載體。目前雖然基于混沌的保密通信已經(jīng)建立了一些概念和方法，例如常用的混沌保密通信方法有混沌掩蓋、混沌鍵控、混沌調(diào)制、混沌擴(kuò)頻，但關(guān)于混沌保密通信的研究仍在早期階段。近些年來(lái)，國(guó)內(nèi)外的混沌保密通信研究取得了很多突出的成果。M.Bettayeb和U.M.Al-Saggaf等人研究了基于分?jǐn)?shù)階混沌Chua’s系統(tǒng)同步的單通道保密通信方案[7]，牛小語(yǔ)研究了基于多維混沌系統(tǒng)的圖像加密算法[8]，L.Zhou和F.Tan研究了一種基于雙層多復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的混沌安全通信方案[9]，Y.Li和H.Wang等人實(shí)現(xiàn)了利用分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)控制器的混沌同步及其在雙通道保密通信系統(tǒng)中的應(yīng)用[10]，李賢麗等人研究了分?jǐn)?shù)階混沌同步及其保密通信應(yīng)用[11]，F(xiàn).Yu和S.Qian等人設(shè)計(jì)了一種新的4D四翼憶阻超混沌系統(tǒng)的同步以及保密通信方案[12]，L.Zhou和F.Tan等人研究了一種基于魯棒同步的雙層多混合網(wǎng)絡(luò)混沌安全通信方案[13]，V.Vafaei和A.J.Akbarfam等人研究了具有不同階數(shù)和維數(shù)的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的一種新的同步方法及其在保密通信中的應(yīng)用[14]，H.Kheiri和V.Vafaei等人研究了參數(shù)不確定的多維分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步與安全通信[15]，M.Mohadeszadeh和N.Pariz研究了不確定混沌系統(tǒng)自適應(yīng)同步在安全通信系統(tǒng)中的應(yīng)用[16]。F.Aliabadi和M.H.Majidi等人提出了基于自適應(yīng)量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的混沌同步及其保密通信方案[17]。

在利用常參數(shù)混沌系統(tǒng)展開(kāi)保密通信方案研究的同時(shí)，為進(jìn)一步提高安全性，人們對(duì)使用變參數(shù)混沌系統(tǒng)進(jìn)行保密通信產(chǎn)生了濃厚的興趣。王斌斌等研究了一種基于復(fù)合混沌系統(tǒng)變參數(shù)圖像加密新算法[18]，朱淑芹等研究了參數(shù)擾動(dòng)下的混沌的圖像加密方案[19]，常景輝和張雪鋒等研究了混沌系統(tǒng)參數(shù)擾動(dòng)方案及分析[20]，李震波等研究了變參數(shù)下的混沌同步控制及其保密通信方案[21]。該文提出了利用混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量來(lái)進(jìn)行參擾動(dòng)的思想，研究了混沌系統(tǒng)的參數(shù)在另一組混沌序列持續(xù)擾動(dòng)下的同步控制問(wèn)題并設(shè)計(jì)了保密通信方案。本文在文獻(xiàn)[21]的思想下，以四維Chen系統(tǒng)的狀態(tài)變量為擾動(dòng)項(xiàng)，構(gòu)造了一類(lèi)具有非周期參數(shù)激勵(lì)的四維Lorenz系統(tǒng)。相較于常參數(shù)系統(tǒng)和周期參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)而言，非周期激勵(lì)下的混沌系統(tǒng)蘊(yùn)含著更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，更難以被預(yù)測(cè)和還原。隨后，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)了單向多路耦合控制器，實(shí)現(xiàn)了上述變參數(shù)系統(tǒng)的混沌同步控制問(wèn)題，并基于該同步思想以及控制器的特點(diǎn)設(shè)計(jì)了相應(yīng)的保密通信方案。本方案首先利用擾動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)變量的數(shù)字特征，將信息信號(hào)分解為四組亂序信號(hào)，并將其分別注入加密系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)算以產(chǎn)生加密信號(hào)，此時(shí)的加密信號(hào)與信息信號(hào)有關(guān)；隨后，對(duì)上一步生成的加密信號(hào)再進(jìn)行可逆的非線性疊加來(lái)生成加密端與解密端之間的通信信號(hào)，比起直接將加密信號(hào)作為通信信號(hào)，非線性疊加后的通信信號(hào)更加難以破譯；最后，解密端從信道中接收到通信信號(hào)后，須先逆向剝離出加密信號(hào)，再將其作為驅(qū)動(dòng)信號(hào)注入解密系統(tǒng)后，方可驅(qū)動(dòng)解密系統(tǒng)完成同步并恢復(fù)全部信息信號(hào)。在數(shù)值模擬中，針對(duì)彩色圖片進(jìn)行了保密通信仿真，表明了該方案的保密性和有效性。該方案的優(yōu)點(diǎn)在于：1)所依賴的系統(tǒng)為高維變參數(shù)混沌系統(tǒng)，且參數(shù)的變化規(guī)律也是混沌的，使得保密性較之常參數(shù)系統(tǒng)和周期變參數(shù)系統(tǒng)而言有明顯增強(qiáng)，也正是因?yàn)榧用芟到y(tǒng)的參數(shù)是在另一組混沌序列的持續(xù)擾動(dòng)下來(lái)展開(kāi)運(yùn)算，使得該方法在邏輯上具有混沌調(diào)制方法的特性。2)利用擾動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)變量的數(shù)字特征，將信息信號(hào)分解為四組亂序信號(hào)，再對(duì)其進(jìn)行加密，而不是直接將信息信號(hào)注入加密系統(tǒng)，進(jìn)一步增大了密鑰空間，提高了方案的安全性。3)加密端與解密端之間的通信信號(hào)是經(jīng)過(guò)非線性疊加后的加密信號(hào)，而不是直接將加密信號(hào)作為通信信號(hào)。2)和3)兩點(diǎn)則表明該方法具有改進(jìn)的混沌掩蓋方法的特征。因此，邏輯上看，本文設(shè)計(jì)的保密通信方案同時(shí)具有混沌調(diào)制和混沌掩蓋的優(yōu)點(diǎn)，從而使該方案可更有效對(duì)抗基于噪聲削減、相空間重構(gòu)、回歸映射等方法的攻擊，具有較高的保密性和安全性。

1 非周期參數(shù)激勵(lì)下的混沌系統(tǒng)同步及其耦合控制器

考慮兩個(gè)結(jié)構(gòu)不同的混沌系統(tǒng)：

(1)

(2)

(3)

(4)

只要選取合適的耦合強(qiáng)度K的值，使得誤差系統(tǒng)(4)是Lyapunov穩(wěn)定的，則系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(3)可實(shí)現(xiàn)在系統(tǒng)(2)持續(xù)擾動(dòng)下的同步。以下令四維Lorenz系統(tǒng)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，四維Chen系統(tǒng)作為擾動(dòng)系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)上述同步。

四維Lorenz系統(tǒng)的表達(dá)式為：

(5)

式中:xi(i=1,2,3,4)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，a1,b1,c1,d1為系統(tǒng)參數(shù)，σi(i=1,2,3，4)為擾動(dòng)強(qiáng)度，zi(i=1,2,3，4)為參數(shù)擾動(dòng)且由以下四維的系統(tǒng)Chen提供：

(6)

式中：zi(i=1,2,3，4)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，a,b,c,d為系統(tǒng)的參數(shù)。為了使得系統(tǒng)(5)在系統(tǒng)(6)的持續(xù)擾動(dòng)下保持混沌，令σ1=σ2=σ3=0.01，再利用文獻(xiàn)[22-23]提出的方法來(lái)確定擾動(dòng)強(qiáng)度σ4的取值，即計(jì)算了系統(tǒng)(5)在系統(tǒng)(6)持續(xù)擾動(dòng)下的Lyapunov指數(shù)，如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)(5)的Lyapunov指數(shù)隨擾動(dòng)強(qiáng)度σ4變換的曲線圖Fig.1 The variation of Lyapunov exponent versus the perturbation parameter σ4 of system (5)

現(xiàn)考慮系統(tǒng)(5)在系統(tǒng)(6)持續(xù)擾動(dòng)下的同步控制問(wèn)題，設(shè)耦合強(qiáng)度矩陣K=diag{k1,k2,k3,k4}，則響應(yīng)系統(tǒng)為

(7)

式中：yi(i=1,2,3，4)為系統(tǒng)(7)的狀態(tài)變量，a1,b1,c1,d1為系統(tǒng)參數(shù)，σi(i=1,2,3，4)為擾動(dòng)強(qiáng)度，zi(i=1,2,3，4)為參數(shù)擾動(dòng)且仍由系統(tǒng)(6)提供，ui=yi-xi為單向耦合控制器，k1,k2,k3,k4為耦合強(qiáng)度。令系統(tǒng)(7)減去系統(tǒng)(5)可得到如下同步誤差系統(tǒng)

(8)

式中：ei=yi-xi(i=1,2,3，4)為同步誤差，為了確定合適的耦合強(qiáng)度ki(i=1,2,3，4)的值，計(jì)算系統(tǒng)(8)的Lyapunov指數(shù)，即先假設(shè)耦合強(qiáng)度ki(i=1,2,3，4)為某四個(gè)確定的值，然后再計(jì)算系統(tǒng)(8)的Lyapunov指數(shù)，如果Lyapunov指數(shù)全為負(fù)數(shù)，就說(shuō)明驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)在(5)與響應(yīng)系統(tǒng)(7)在擾動(dòng)系統(tǒng)(6)的擾動(dòng)下實(shí)現(xiàn)了同步，當(dāng)耦合強(qiáng)度取k1=250,k2=10,k3=200,k4=200時(shí)，通過(guò)計(jì)算的結(jié)果可知系統(tǒng)(8)的Lyapunov指數(shù)全為負(fù)數(shù)。為了證實(shí)所設(shè)計(jì)控制器的有效性，接下來(lái)進(jìn)行數(shù)值模擬。擾動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)：a=35,b=3,c=12,d=7,r=0.6，初值條件為z1(0)=2,z2(0)=1,z3(0)=-1,z4(0)=1。令驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的參數(shù)a1=10,b1=8/3,c1=28,d1=0.05,初值為x1(0)=1,x2(0)=0,x3(0)=0,x4(0)=-1,y1(0)=2,y2(0)=1,y3(0)=1,y4(0)=0,擾動(dòng)強(qiáng)度為σ1=σ2=σ3=0.01，σ4=0.001。圖2為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在同一擾動(dòng)系統(tǒng)下同步誤差曲線，可以看出誤差快速地收斂于0，表明了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在短時(shí)間內(nèi)迅速實(shí)現(xiàn)了同步，同時(shí)也證明了所設(shè)計(jì)的多路耦合控制器的有效性和可行性。

圖2 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(5)和響應(yīng)系統(tǒng)(7)的同步誤差曲線Fig.2 The synchronization error between the driven system (5) and response system (7)

2 保密通信方案

實(shí)現(xiàn)了變參數(shù)高維系統(tǒng)的同步控制以后，基于該同步思想以及控制器的特點(diǎn)設(shè)計(jì)保密通信方案，設(shè)待傳輸?shù)男畔⑿盘?hào)為M(t)。

表1 儲(chǔ)存狀態(tài)變量正負(fù)號(hào)向量的編號(hào)表Table 1 Number table for storing the sign vector of state variables

第二步，生成加密信號(hào)。將待傳輸?shù)乃慕M亂序信息信號(hào)mi(t)(i=1,2,3,4)分別注入加密系統(tǒng)：

(9)

其中εi(i=1,2,3,4)為信息信號(hào)的振幅控制因子，參數(shù)擾動(dòng)項(xiàng)zi由系統(tǒng)(6)提供。將待加密的信號(hào)注入加密系統(tǒng)，并參與加密信號(hào)的生成，使得加密系統(tǒng)輸出的狀態(tài)變量與信息信號(hào)有關(guān)，相較于傳統(tǒng)的混沌掩蓋而言，有效提高了保密性?；煦缦到y(tǒng)是確定的，但混沌系統(tǒng)對(duì)參數(shù)是極為敏感依賴地，利用非周期參數(shù)激勵(lì)下的高維混沌系統(tǒng)進(jìn)行通信保密比起常參數(shù)混沌系統(tǒng)以及普通的變參數(shù)混沌系統(tǒng)來(lái)說(shuō)具有更高的準(zhǔn)確性和保密性。此外，擾動(dòng)系統(tǒng)也是高維的超混沌系統(tǒng)，比起利用周期函數(shù)進(jìn)行參數(shù)擾動(dòng)，加密系統(tǒng)將會(huì)變得更加復(fù)雜，產(chǎn)生更加難以預(yù)測(cè)的動(dòng)力學(xué)行為。再隨著擾動(dòng)強(qiáng)度σi(i=1,2,3，4)的引入，增加了加密算法的密鑰空間，從而有效地保證了該算法的保密性。利用系統(tǒng)(9)可生成如下的驅(qū)動(dòng)信號(hào)，亦為加密端和解密端之間的通信信號(hào)：

(10)

圖3 信息信號(hào)分組示意圖Fig.3 Schematic diagram of information signal grouping

第三步，同步與解密。設(shè)解密系統(tǒng)為：

(11)

(12)

當(dāng)t→∞時(shí)，yi(t)→xi(t)，則

θi(t)=si(t)+φ(z1,z2,z3,z4;ω)

(13)

式中si(t)(i=1,2,3,4)為驅(qū)動(dòng)信號(hào)，φ(·)為非線性函數(shù)，ω為調(diào)幅參數(shù)。利用非線性疊加后的信號(hào)θi(t)作為通信信號(hào)，比直接傳輸驅(qū)動(dòng)信號(hào)更為安全，相當(dāng)于對(duì)驅(qū)動(dòng)信號(hào)又進(jìn)行了一次混沌掩蓋。整個(gè)保密通信方案的原理如圖4所示。

圖4 保密通信方案原理圖Fig.4 Schematic diagram of secure communication scheme

3 數(shù)值模擬

(14)

圖5 信息信號(hào)M(t)Fig.5 The information signal M(t)

圖6 待加密的四組信息信號(hào)mi(t)Fig.6 Four groups of information signals mi(t) to be encrypted

(15)

圖7 通信信號(hào)θi(t)的時(shí)間歷程Fig.7 Time evolution of the communication signal θi(t)

圖8 恢復(fù)后的信息信Fig.8 Recovered information signal

圖9 圖片信號(hào)恢復(fù)的誤差Fig.9 Error in picture signal recovery

4 討 論

本文以四維Chen系統(tǒng)的狀態(tài)變量為擾動(dòng)項(xiàng)，構(gòu)造了一類(lèi)具有非周期參數(shù)激勵(lì)的四維Lorenz系統(tǒng)。利用單向多路耦合控制器實(shí)現(xiàn)了該類(lèi)變參數(shù)高維混沌系統(tǒng)的同步，并基于該同步思想設(shè)計(jì)了相應(yīng)的保密通信方案。該方案有著較高的保密性和可行性，并具備以下特點(diǎn)。

2)分組后的信息信號(hào)被分別注入加密系統(tǒng)，參與了驅(qū)動(dòng)信號(hào)的生成，相較于傳統(tǒng)的混沌掩蓋而言，掩蓋信號(hào)與原信息信號(hào)有關(guān)，顯著提高了保密性。

3)信號(hào)傳輸時(shí)，不直接將驅(qū)動(dòng)信號(hào)作為通信信號(hào)，而是利用擾動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量對(duì)驅(qū)動(dòng)信號(hào)進(jìn)行可逆的非線性疊加，來(lái)生成新的通信信號(hào)。由于非線性函數(shù)φ(·)的種類(lèi)很多，加上疊加的信號(hào)是超混沌信號(hào)，使得從通信信號(hào)中剝離出驅(qū)動(dòng)信號(hào)本身就具有很高的難度。相較于直接傳輸驅(qū)動(dòng)信號(hào)的通信方案而言，本文提議的方法在驅(qū)動(dòng)信號(hào)的安全性上，具備明顯優(yōu)勢(shì)。

4)加密系統(tǒng)是非周期參數(shù)激勵(lì)下的高維混沌系統(tǒng)，且擾動(dòng)系統(tǒng)也是高維的混沌系統(tǒng)，相較于周期變參數(shù)以及常參數(shù)混沌系統(tǒng)而言，該系統(tǒng)蘊(yùn)含著更加豐富復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性。同時(shí)，也使得該方法具備了混沌調(diào)制方法的特征，能更有效地對(duì)抗基于噪聲削減、相空間重構(gòu)、回歸映射等方法的攻擊。

5)密鑰空間很大，暴力破解需耗費(fèi)大量時(shí)間。一個(gè)強(qiáng)的保密通信算法需要滿足密鑰空間k>2100?；煦缦到y(tǒng)對(duì)初值的敏感度約為10-10，混沌系統(tǒng)對(duì)參數(shù)的敏感度約為10-16。如果考慮擾動(dòng)系統(tǒng)的初值只在(0,10]區(qū)間上變化，則由擾動(dòng)系統(tǒng)初值構(gòu)成的密鑰空間大小約為1033，顯然1033>2100，然而加密系統(tǒng)的參數(shù)和初值也可在一定區(qū)間內(nèi)變化，故該算法密鑰空間大，能有效對(duì)抗暴力破解。

6)為提高同步時(shí)效，設(shè)計(jì)了單向四路耦合控制器，加密系統(tǒng)與解密系統(tǒng)的同步誤差在0.4 s左右即可達(dá)到10-11，相較于單路控制器而言，多路控制器同步的速率更快，同步誤差的精確度更高。針對(duì)控制器的特點(diǎn)，本文將信息信號(hào)也預(yù)處理為四組信號(hào)，并分別參與四路驅(qū)動(dòng)信號(hào)的生成。要完成解密，須同時(shí)獲得四路驅(qū)動(dòng)信號(hào)。若考慮利用不同的信道分別進(jìn)行傳輸?shù)脑?，“敵方”想截獲完整通信信號(hào)的難度也大大增加，從這一角度來(lái)看，該方案亦有效地增強(qiáng)了安全性。

7)密鑰的獨(dú)立性強(qiáng)。假設(shè)“敵方”已知加密解密過(guò)程中所有參數(shù)的取值，僅有解密系統(tǒng)的參數(shù)a1未知，若用a1=35+10-10來(lái)估計(jì)a1=35并進(jìn)行解密時(shí)，圖像信號(hào)的解密結(jié)果如圖10所示，可見(jiàn)解密失敗，從而驗(yàn)證了該方案的密鑰有著較強(qiáng)的獨(dú)立性。

5 結(jié) 論

本文以四維Chen系統(tǒng)的狀態(tài)變量為擾動(dòng)項(xiàng)，構(gòu)造了一類(lèi)具有非周期參數(shù)激勵(lì)的四維Lorenz系統(tǒng)，相較于常參數(shù)系統(tǒng)和周期參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)而言，非周期激勵(lì)下的混沌系統(tǒng)蘊(yùn)含著更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，更難以被預(yù)測(cè)和還原。隨后，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)了單向多路耦合控制器，實(shí)現(xiàn)了上述變參數(shù)系統(tǒng)的混沌同步控制問(wèn)題，并基于該同步思想以及控制器的特點(diǎn)設(shè)計(jì)了相應(yīng)的保密通信方案。在該方案中，首先利用擾動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)變量的數(shù)字特征，將信息信號(hào)分解為四組亂序信號(hào)，并將其分別注入加密系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)算以產(chǎn)生加密信號(hào)，此時(shí)的加密信號(hào)與信息信號(hào)有關(guān)；然后，對(duì)上一步生成的加密信號(hào)再進(jìn)行可逆的非線性疊加來(lái)生成加密端與解密端之間的通信信號(hào)，比起直接將加密信號(hào)作為通信信號(hào)，非線性疊加后的通信信號(hào)更加難以破譯；最后，解密端從信道中接收到通信信號(hào)后，須先逆向剝離出加密信號(hào)，再將其作為驅(qū)動(dòng)信號(hào)注入解密系統(tǒng)后，方可驅(qū)動(dòng)解密系統(tǒng)完成同步并恢復(fù)全部信息信號(hào)。在數(shù)值模擬中，針對(duì)彩色圖片進(jìn)行了保密通信仿真，表明了該方案的保密性和有效性，為構(gòu)造更多形式的變參數(shù)混沌系統(tǒng)和設(shè)計(jì)更安全的保密通信方案提供了新的思路和參考方法。