一道高中數(shù)學會考題蘊含的多種解法與分析

夏順友，仲崇軼，王常春，陳治友

（1.貴州師范學院 數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院，貴州 貴陽 550018；2.遵義師范學院 數(shù)學學院，貴州 遵義 563006；3.貴陽學院 數(shù)學與信息科學學院，貴州 貴陽 550005）

貴州省2021 年12 月第43 題是以解析幾何中圓為背景的最優(yōu)化問題。題目如下：

已知圓O:x2+y2=r2(r＞0)過點。

（1）求圓O的方程；

（2）已知點A(-40)，，B(2,0) 點M是圓O上任意一點，求的最大值，并求出此時點M的坐標。

該題蘊含了一類線性目標函數(shù)在二次約束條件下的最大值問題。

該題第一問略去分析，針對第二問蘊含的類似問題以及一般問題的多種解法進行陳述并解析，再對題目蘊含的一般二次約束條件下的線性目標函數(shù)的最大值問題的多種一般解法進行論述。

1 多種解法與分析

本節(jié)不針對原題進行多種解法陳述與分析，只對下面類似問題進行。

已知圓O:x2＋y2=4上任意一點M，和點A(-2，0)，B(4，0)，求的最大值，并求出此時點M的坐標。

設M的坐標為(x,y)，則x2＋y2=4，則

解法一：利用均值不等式求解

20-8x=12，8+4x=12

由此得x=1代入x2+y2=4得y=。

注1.1 均值不等式主要對“等積問題”、“等周問題”，即“n個正數(shù)的乘積為常數(shù)，則當它們相等時它們的和有最小值”“n個正數(shù)的和為常數(shù)，則當它們相等時它們的乘積有最大值”。該題所使用的方法和針對的問題有較好技巧。下面給出一個較一般例子與做法。

求約束條件 6u2+4v2＝25下z=3u+2v的最大值。

解法二：化為一元函數(shù)最值求解

其中－2≤x≤2，z是x的函數(shù)，為求z的最大值，先求z對x的一階導數(shù)

解法三：拉格朗日乘數(shù)法

拉格朗日函數(shù)為：

注1。2 作為 2u2+v2=36約束下對二元目標函數(shù)f(u,v)=2u＋v最大值求解通用方法就是拉格朗日乘數(shù)法。如果不整體代換，直接對下述問題：

約束條件x2＋y2=4下，求解目標函數(shù)

的最大值，也可以直接利用拉格朗日乘數(shù)法，此處不做求解。

解法四：判別式法求解

解法五：凸規(guī)劃結合判別式求解

注1.3 解法四和解法五都用判別式法，但是解法四是利用有解做，而解法五是利用凸規(guī)劃思想，再利用幾何意義的相切而做。

解法六：利用三元柯西不等式求解

解法七：利用二元柯西不等式求解

解法八：參數(shù)換元結合三角函數(shù)求解

注1.5 該解法先代換一次，再利用參數(shù)方程化為三角函數(shù)求解，問題變得簡化。如果不做第一次代換，直接對問題：

約束條件x2＋y2=4下，求解目標函數(shù)

的最大值。

令x=2cosθ,y=2sinθ把目標函數(shù)轉化為三角函數(shù)求解也可以，會復雜得多。

解法九：化為一元函數(shù)最值求解

注1.6 該方法與解法二有一些不同之處。解法二在原問題上進行，而解法九是做代換后做。

解法十：梯度法求解

注1.7 梯度反映了多元函數(shù)值遞增最快的方向。因為目標函數(shù)是二元線性函數(shù)是平面，約束是橢圓柱面，它們的交線是封閉的橢圓。顯然有最高點和最低點，對應相應的最大值與最小值。

2 一般問題與解法

本節(jié)對原題所蘊含的更一般的多元線性目標函數(shù)在二次約束條件下的最大值問題模型和求解方法進行闡述。

一般數(shù)學模型：

其中b＞0，a1≠0,a2≠0,...,an≠0，且

b1＞0,b2＞0,...,bn＞0

該模型求解的方法一是拉格朗日乘數(shù)法，其次是柯西不等式方法，再是利用均值不等式方法。

3 會考情況與解題教學實踐情況

該會考題兩問，每問5 分，參加人數(shù)70064，本題平均得分在包含零分卷時是3.45 分，如果不包含零分卷，則平均得分是5.19 分，這說明考生們基本上都掌握了圓的標準方程的初步知識，但對圓外兩點與圓上一點的距離之和取最大值的求法掌握得普遍差一些。得分情況見下表：

該題在數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)本科生解題教學訓練課程中有很好的培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力（見［6］）。另外文獻［4］和文獻［5］中的題也可以增加本文中的梯度法和拉格朗日乘數(shù)法，此處不再詳述。