幾何直觀素養(yǎng)表現(xiàn)與表現(xiàn)性任務(wù)設(shè)計(jì)

浙江寧波市奉化區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校（315000）宋煜陽(yáng)

一、幾何直觀的內(nèi)涵變化

幾何直觀，既是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（下稱“2011年版課程標(biāo)準(zhǔn)”）的核心詞之一，又是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（下稱“2022年版課程標(biāo)準(zhǔn)“）提出的核心素養(yǎng)之一。雖然名稱沒(méi)有發(fā)生變化，但在概念表述上發(fā)生了變化，具體內(nèi)容對(duì)照如表1所示。

表1 “幾何直觀”概念表述的對(duì)比

什么是幾何直觀？2011年版課程標(biāo)準(zhǔn)中定義為“利用圖形描述和分析問(wèn)題”，2022年版課程標(biāo)準(zhǔn)中定義為“運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題的意識(shí)與習(xí)慣”。在概念內(nèi)涵上，原先的“利用圖形”調(diào)整為了“運(yùn)用圖表”，這意味著什么？說(shuō)明直觀的手段豐富了，除了圖形，還可以是表格。而列表解決問(wèn)題，就充分發(fā)揮了表格在一一列舉、有序思考中的直觀作用。

人教版教材中還有許多幫助學(xué)生體會(huì)列表的直觀性的素材。如，一年級(jí)連加問(wèn)題“3個(gè)同學(xué)一起折小星星，每人折了6個(gè)。他們一共折了多少個(gè)小星星？”（如圖1），本質(zhì)是解決“幾個(gè)6相加”。教學(xué)中，教師在組織學(xué)生自主畫(huà)圖、列式表征的同時(shí)，引入表格并給出部分信息，就能讓學(xué)生解讀表格信息后繼續(xù)填寫，體會(huì)表格的直觀性。此外，三年級(jí)的“正好問(wèn)題”“長(zhǎng)方形和正方形拼組后的周長(zhǎng)最短問(wèn)題”等，也都突出列表法在一一列舉時(shí)不重復(fù)、不遺漏的特點(diǎn)，使學(xué)生感受到列表法的有序性。

圖1

幾何直觀概念內(nèi)涵發(fā)生變化的是，要求更高了，更強(qiáng)調(diào)意識(shí)與習(xí)慣的養(yǎng)成。這一要求凸顯了幾何直觀作為培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的整體性、一致性和階段性。為此，幾何直觀培養(yǎng)的目標(biāo)，不僅僅是形成描述和分析問(wèn)題的手段技能，更重要的是形成意識(shí)、養(yǎng)成習(xí)慣。

二、幾何直觀的素養(yǎng)表現(xiàn)

幾何直觀的素養(yǎng)表現(xiàn)主要包括圖形的特征與分類、圖形的描述與性質(zhì)、建立數(shù)與形的聯(lián)系、利用圖表探索思路四個(gè)部分。

1.圖形的特征與分類

圖形的特征與分類，要求“能夠感知各種幾何圖形及其組成要素，依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類”，要點(diǎn)是圖形與要素感知、根據(jù)圖形特征分類。

史寧中教授指出，幾何直觀表現(xiàn)形式包括實(shí)物直觀、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀、圖形直觀、替代物直觀四種形式。這里強(qiáng)調(diào)的是圖形直觀這種表現(xiàn)形式，重點(diǎn)感知圖形要素和特征分類。如圖2所示的選擇題就是考查學(xué)生對(duì)圖形特征的理解，以及梳理圖形概念之間的關(guān)系的能力。

圖2

2.圖形的描述與性質(zhì)

圖形的描述與性質(zhì)，要求“根據(jù)語(yǔ)言描述畫(huà)出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì)”。2022年版課程標(biāo)準(zhǔn)新增了“尺規(guī)作圖”，要求學(xué)生運(yùn)用語(yǔ)言描述圖形，并利用尺規(guī)工具畫(huà)出相應(yīng)圖形，促使學(xué)生體會(huì)或探索圖形的性質(zhì)。

比如，借助用直尺和圓規(guī)作圖的方法，引導(dǎo)學(xué)生自主探索三角形的周長(zhǎng)，感知線段長(zhǎng)度的可加性，以及線段的長(zhǎng)度就是三角形的周長(zhǎng)。在這個(gè)過(guò)程中，實(shí)踐操作、直觀演示都能幫助學(xué)生進(jìn)一步理解三角形的周長(zhǎng)就是三條線段首尾相連的總長(zhǎng)度，對(duì)圖形周長(zhǎng)的本質(zhì)屬性有更為清晰的認(rèn)識(shí)。

又如，在三角形三邊關(guān)系的探索中，關(guān)于“兩邊之和等于第三邊”“兩邊之和小于第三邊”時(shí)能否圍成三角形的情形歷來(lái)是教學(xué)的難點(diǎn)。以往教學(xué)中，教師一般是借助小棒等實(shí)物操作（也就是實(shí)物直觀的手段）來(lái)驗(yàn)證，而小棒由粗細(xì)造成的誤差，以及小棒固定的長(zhǎng)度限制了學(xué)生自主探索的空間，會(huì)造成學(xué)生感悟不深。現(xiàn)在借助尺規(guī)工具，在三角形三邊關(guān)系探索中能夠體現(xiàn)幾何直觀的優(yōu)勢(shì)，學(xué)生可以自主探索，任意調(diào)整圓規(guī)，畫(huà)出不同長(zhǎng)短的線段，不拘泥于教師給定的長(zhǎng)度；可以通過(guò)用圓規(guī)畫(huà)弧線，體會(huì)線段圍不成三角形的原因——兩條短的弧線沒(méi)有交點(diǎn)，也就不能圍成三角形。

3.建立數(shù)與形的聯(lián)系

建立數(shù)與形的聯(lián)系，要求“建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型”。這部分主要表現(xiàn)為數(shù)的概念和數(shù)的運(yùn)算的表征與理解、數(shù)量關(guān)系的表征。

比如，十進(jìn)制是數(shù)的認(rèn)識(shí)核心要素。不僅是整數(shù)的認(rèn)識(shí)，小數(shù)的認(rèn)識(shí)也強(qiáng)調(diào)“相鄰計(jì)數(shù)單位是10”。因此，可以利用直觀圖幫助學(xué)生體會(huì)相鄰計(jì)數(shù)單位之間的十進(jìn)制關(guān)系。在“千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，教師可以依次出示如圖3所示的直觀圖，讓學(xué)生體會(huì)相鄰計(jì)數(shù)單位之間的十進(jìn)制關(guān)系：10個(gè)一是1個(gè)十，10個(gè)十是1個(gè)百，10個(gè)百是1個(gè)千。當(dāng)然，在認(rèn)識(shí)小數(shù)時(shí)，可以借助圖形之間的聯(lián)系進(jìn)一步理解計(jì)數(shù)單位之間的十進(jìn)制關(guān)系，例如逆向推算：把立方體看成1，那么一個(gè)面、一條、一個(gè)小方塊分別是它的

圖3

幾何直觀在數(shù)的運(yùn)算中的運(yùn)用，主要體現(xiàn)在對(duì)算理的表征與理解。對(duì)于抽象思維水平不夠的學(xué)生，通過(guò)幾何直觀來(lái)理解相對(duì)抽象的算理是非常有必要的。比如，在“異分母分?jǐn)?shù)加減法”教學(xué)中，為了解釋說(shuō)明“對(duì)于為什么要先通分再計(jì)算”，教師可利用分?jǐn)?shù)墻，讓學(xué)生直觀看到的分?jǐn)?shù)單位不同，不能直接相加；用作為分?jǐn)?shù)單位，既可以表示的大小，也可以表示的大小；也就是3個(gè)與2個(gè)相加，得出5個(gè)，結(jié)果為在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生直觀理解了“計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)化、計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)合并”，從而理解異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理。

在解決問(wèn)題的過(guò)程中，幾何直觀主要體現(xiàn)在題意的理解與數(shù)量關(guān)系的分析上。比如，人教版教材中的“例8媽媽買3個(gè)碗用了18元。如果買8個(gè)同樣的碗，需要多少錢？”，強(qiáng)調(diào)畫(huà)圖是解決問(wèn)題的有效策略，培養(yǎng)學(xué)生借助直觀圖理解問(wèn)題、解釋算法的能力。因此，在組織學(xué)生讀題、明確信息和問(wèn)題后，可以提出以下要求：如果你解決這個(gè)問(wèn)題有困難，可以嘗試畫(huà)圖來(lái)分析；如果你能夠直接列式，請(qǐng)畫(huà)圖解釋算式的含義或道理。通過(guò)比較實(shí)物圖、示意圖和線段圖，學(xué)生不僅分析了兩步計(jì)算的數(shù)量關(guān)系，感知了“單一量不變”的問(wèn)題特征，還體會(huì)到線段圖在幾何直觀層面更為抽象、更為便捷。

4.利用圖表探索思路

利用圖表探索思路，要求“利用圖表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問(wèn)題，探索解決問(wèn)題的思路”。比如，能在熟悉的情境中描述簡(jiǎn)單的路線圖：描述從學(xué)?；丶业穆肪€示意圖，注明方向和途中的主要參照物?？梢宰寣W(xué)生先用日常語(yǔ)言描述回家的路線，然后在圖上標(biāo)出方位，畫(huà)出路線圖，標(biāo)明主要參照物，從而建立幾何直觀。

三、幾何直觀的表現(xiàn)性任務(wù)設(shè)計(jì)

因?yàn)閹缀沃庇^是指運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題的意識(shí)和習(xí)慣，所以就意識(shí)和習(xí)慣而言，幾何直觀評(píng)價(jià)的關(guān)鍵在于學(xué)生應(yīng)用幾何直觀的自主性、自覺(jué)性和自省性，這種以自我調(diào)控為特征的意識(shí)形態(tài)，很難用操作層面的學(xué)習(xí)任務(wù)來(lái)衡量。但是，圍繞識(shí)圖、畫(huà)圖兩個(gè)維度設(shè)計(jì)表現(xiàn)性任務(wù)，就能考查學(xué)生對(duì)“圖表描述和分析問(wèn)題”的表現(xiàn)水平。

1.識(shí)圖表現(xiàn)性任務(wù)設(shè)計(jì)

所謂識(shí)圖，就是借助提供的圖示或部分圖示，通過(guò)直觀辨認(rèn)、動(dòng)態(tài)想象、變式比較、推理分析等活動(dòng)，理解概念的本質(zhì)屬性和算理算法，簡(jiǎn)化思路，發(fā)現(xiàn)和解釋數(shù)學(xué)規(guī)律。

（1）從各類圖示中識(shí)別概念

①?gòu)年P(guān)系圖中識(shí)別圖形的分類

例1下面集合圖中表示的關(guān)系正確的有（）。

主要通過(guò)識(shí)別關(guān)系圖，梳理圖形之間的關(guān)系，進(jìn)一步明確復(fù)合概念的特征。

例1就是通過(guò)集合圖來(lái)考查學(xué)生對(duì)圖形之間的關(guān)系是否了解。題中涉及圖形之間一般與特殊的關(guān)系，如長(zhǎng)方形和平行四邊形、等邊三角形與等腰三角形；還涉及圖形定義與特征之間的關(guān)系，如梯形與四邊形、等腰直角三角形與直角三角形的關(guān)系都可以從定義、特征等方面進(jìn)行梳理。

②從復(fù)雜圖形中識(shí)別圖形的概念

例2在平面圖形中，四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形。那么，圖中共有（）個(gè)梯形。

在復(fù)雜的圖形中識(shí)別圖形，側(cè)重考查學(xué)生有序觀察的能力。通過(guò)變式活動(dòng)，剔除概念的非本質(zhì)屬性，凸顯概念的本質(zhì)屬性。

對(duì)于例2，既需要從不同方位來(lái)辨認(rèn)哪個(gè)四邊形只有一組對(duì)邊平行，又需要對(duì)非常規(guī)的梯形CDEF進(jìn)行識(shí)別，進(jìn)一步強(qiáng)化了梯形對(duì)邊平行的本質(zhì)屬性。

③從圖形的操作中想象結(jié)果

例3一塊長(zhǎng)方形的硬紙板被折疊起來(lái)，如圖所示，其中涂色部分形狀為正方形。圖中a，b分別表示多少厘米？（）

例4聰聰先將一個(gè)正方形彩紙按下圖所示的方式對(duì)折后沿虛線裁剪，最后將彩紙展開(kāi)鋪平，得到的圖形是（）。

在折疊、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等圖形運(yùn)動(dòng)中展開(kāi)動(dòng)態(tài)想象，辨認(rèn)展開(kāi)圖或立體圖，重在通過(guò)直觀想象活動(dòng)進(jìn)一步鞏固圖形的特征與性質(zhì)。

例3是折疊一塊長(zhǎng)方形的硬紙板，觀察和分析折疊前后的兩個(gè)圖形，本質(zhì)上就是對(duì)正方形特征、長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬關(guān)系的辨析。例4是兩次翻折正方形，想象軸對(duì)稱變換后的整個(gè)圖形，重在考查學(xué)生的空間想象能力。

（2）從圖示表征中理解概念

例5下面4幅圖中，有（）幅可以解釋乘法分配律。

在概念教學(xué)中，可采用數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)表征概念，從而幫助學(xué)生理解定義、定律、性質(zhì)等。

例5是在選擇圖示中幫助學(xué)生理解乘法分配律的內(nèi)涵，使學(xué)生對(duì)乘法分配律的外部表現(xiàn)和內(nèi)部要義有了更清晰的理解。

（3）利用動(dòng)態(tài)想象簡(jiǎn)化思路

幾何直觀要善于從問(wèn)題的本質(zhì)出發(fā)，巧妙利用平移、旋轉(zhuǎn)等能夠簡(jiǎn)化解決問(wèn)題的思路，獲得更為便捷的方法。

例6梯形上底AB長(zhǎng)為3 cm，下底DC長(zhǎng)為7 cm，高為4 cm，P為DC邊上任意一點(diǎn)，求陰影部分的面積。

常規(guī)解題思路有兩種：第一種思路是“梯形面積-空白三角形面積”；第二種思路是直接求兩個(gè)陰影部分的三角形面積，利用創(chuàng)新的思路是使P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)位置，與C點(diǎn)重合，就可以直接求得陰影部分三角形的面積。

（4）利用圖形直觀解釋數(shù)學(xué)事實(shí)

利用圖形直觀解釋數(shù)學(xué)事實(shí)，主要包括探索、解釋規(guī)律，驗(yàn)證或證明定律、性質(zhì)或定理。

例7觀察下列等式：1+3=4，4+5=9，9+7=16，

16+9=25……

①用4個(gè)圖形分別表示上面的等式，你能寫出第6個(gè)算式并畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖，再在圖中表達(dá)出這種對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？

②你能用含有n（n≥1）的等式表示這個(gè)規(guī)律嗎？

③你還能找到其他規(guī)律并用含n的等式表示出來(lái)嗎？

對(duì)于問(wèn)題①②，可引導(dǎo)學(xué)生借助圖形進(jìn)行圈圈畫(huà)畫(huà)，以感知規(guī)律。

從陰影部分來(lái)看，即1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42。一般規(guī)律為1+3+5+7+…+（2n-1）=n2。

再來(lái)看問(wèn)題③，需要換個(gè)角度來(lái)畫(huà)一畫(huà)、看一看、想一想。可以從斜的方位進(jìn)行思考。

經(jīng)過(guò)不同角度的圈畫(huà)、觀察，就能有新的發(fā)現(xiàn)：1+2+3+…+n+…+3+2+1=n2。

當(dāng)然，幾何直觀除了可以解決代數(shù)的規(guī)律問(wèn)題，還可以直觀解釋圖形的相關(guān)定理。

2.畫(huà)圖表現(xiàn)性任務(wù)設(shè)計(jì)

（1）用圖來(lái)表征題意和數(shù)量關(guān)系

通過(guò)圖來(lái)表征運(yùn)算的意義和數(shù)量關(guān)系，是評(píng)價(jià)畫(huà)圖表現(xiàn)性的常見(jiàn)任務(wù)。重在考查算理理解、數(shù)量關(guān)系分析表征和簡(jiǎn)化思路等水平。

例8畫(huà)一畫(huà)，涂一涂，算一算。

畫(huà)出乘法意義，本質(zhì)上是對(duì)分?jǐn)?shù)意義“分了又分，取了又取”的過(guò)程理解，也是對(duì)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)算理的理解。

例9聰聰家離圖書(shū)館1600米，他從家步行到圖書(shū)館，每分鐘走50米，走了8分鐘。

①聰聰現(xiàn)在大約在什么位置？請(qǐng)用▲在線段圖上標(biāo)出來(lái)。

②聰聰還要走多少米才能到圖書(shū)館？

例9結(jié)合具體情境，在考查常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系“速度×?xí)r間=路程”的同時(shí)，還要求學(xué)生對(duì)已走的路程與全程關(guān)系進(jìn)行直觀判斷，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解行程問(wèn)題中的元素以及數(shù)量關(guān)系。

例10方老師要買一臺(tái)打印機(jī)，李老師要買一件毛衣。打印機(jī)是800元/臺(tái)毛衣是200元/件。商場(chǎng)有促銷活動(dòng)，如果購(gòu)買500元以上的商品就把超出500元的部分打八折。兩位老師合起來(lái)買比分開(kāi)買能省多少錢？

方法1：分開(kāi)買，（800-500）×80%+500+200=940（元）。合起來(lái)買，（800+200-500）×80%+500=900（元）。省的錢數(shù)為940-900=40（元）。

方法2：200×（1-80%）=40（元）。

方法2為什么如此簡(jiǎn)單呢？教師組織學(xué)生畫(huà)圖后分析，得出利用幾何直觀簡(jiǎn)化了解決問(wèn)題的思路。

（2）用圖來(lái)表達(dá)問(wèn)題過(guò)程和結(jié)果

畫(huà)圖是解決問(wèn)題的重要策略。其中，用圖來(lái)表達(dá)解決問(wèn)題的過(guò)程和結(jié)果是畫(huà)圖策略的主要手段。

例11聰聰在排隊(duì)，他的前面有8個(gè)人，后面有5個(gè)人。這個(gè)隊(duì)伍里一共有多少人？

先請(qǐng)學(xué)生猜測(cè)結(jié)果，然后組織學(xué)生嘗試畫(huà)圖表征；再提出問(wèn)題：題目中沒(méi)有1，怎么會(huì)加1呢？最后小結(jié)：在解題遇到困難時(shí)，采用畫(huà)圖的方法可以把復(fù)雜的問(wèn)題變得直觀，便于解決。

類似地，有余數(shù)除法解決問(wèn)題、找次品等都可以通過(guò)畫(huà)圖尋找答案，同時(shí)也展現(xiàn)了解決問(wèn)題的過(guò)程。

（3）用圖表解決開(kāi)放性問(wèn)題

面對(duì)開(kāi)放性問(wèn)題，教師要鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)列表、畫(huà)圖進(jìn)行有序思考。

例12“五一”期間，聰聰、明明等小朋友隨家長(zhǎng)到某景區(qū)游玩。下面是購(gòu)買門票時(shí)，聰聰和明明的對(duì)話。請(qǐng)根據(jù)圖中信息算一算、比一比，說(shuō)一說(shuō)采用哪種方案更劃算。

通過(guò)“大人和兒童共10人”這條信息進(jìn)行列表，就能不遺漏、不重復(fù)地得出結(jié)果，且學(xué)生容易理解。

例13聰聰家距離學(xué)校500米，明明家距離學(xué)校900米，聰聰家距離明明家有多少米？請(qǐng)畫(huà)圖計(jì)算并說(shuō)明。

通過(guò)畫(huà)圖進(jìn)行分類討論，得到“900”“1400”“介于900至1400之間”三種情形，考查了學(xué)生全面思考問(wèn)題的意識(shí)與能力。

幾何直觀，重在意識(shí)與習(xí)慣的養(yǎng)成。教師要緊扣幾何直觀素養(yǎng)的內(nèi)涵與主要表現(xiàn)，將識(shí)圖、畫(huà)圖的表現(xiàn)性任務(wù)一以貫之；要緊扣第一、二學(xué)段“初步形成幾何直觀”、第三學(xué)段“形成幾何直觀”的學(xué)段目標(biāo)，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀核心素養(yǎng)。