核心素養(yǎng)視域下高中概率單元的教與學

林晴嵐 黃 勇 陳柳娟

（福建教育學院數(shù)學教育研究所，福建 福州 350025）

《普通高中數(shù)學課程標準（2017 年版2020 年修訂）》優(yōu)化了原有高中數(shù)學概率與統(tǒng)計主線課程內(nèi)容，將數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)作為高中數(shù)學課程概率與統(tǒng)計主線課程的重點培養(yǎng)目標，對概率單元的課程內(nèi)容進行整體重構(gòu).概率單元課程內(nèi)容由三個核心內(nèi)容重新構(gòu)建：第一個核心是圍繞對隨機現(xiàn)象認識展開研究學習；第二個核心是通過學習有限樣本空間（特別是古典概型），初步理解概率模型；第三個核心是通過學習幾個典型隨機變量分布（如二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布等），會用概率模型解決簡單的實際問題.［1］落實概率單元的整體學習要求思路是通過對生活的具體實例研究，認識概率這一研究復雜隨機現(xiàn)象規(guī)律的重要數(shù)學工具；認識和理解隨機事件和概率的意義；理解不確定性思維模式與確定性思維模式之間的差異；學會面對現(xiàn)實生活中各種各樣的隨機現(xiàn)象，合理利用隨機變量刻畫隨機現(xiàn)象建立概率模型解決實際問題，掌握從不確定性的角度認識客觀世界的基本方式方法，落實“使學生學會數(shù)學的思考方式”，也是提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)的關鍵.

一、概率單元學習內(nèi)容

《普通高中數(shù)學課程標準（2017 年版2020 年修訂）》課程內(nèi)容設置中概率大單元主要核心內(nèi)容總體構(gòu)建如圖1 所示.概率大單元總體構(gòu)建的主要核心內(nèi)容按照普通高中學業(yè)質(zhì)量標準不同進行劃分成兩部分，兩個不同的學習要求標準：一是以高中數(shù)學學業(yè)質(zhì)量標準設置數(shù)學必修課程內(nèi)容，意在通過相關內(nèi)容如隨機事件與其獨立性、概率的學習，能正確區(qū)別統(tǒng)計思維與確定性思維的差異，領悟統(tǒng)計判斷結(jié)果的或然性，有能力為相關事件現(xiàn)象進行科學決策；二是以進一步深入高校學習而必須參加全國統(tǒng)一高考選拔性測評應達到的數(shù)學學業(yè)質(zhì)量標準，設置數(shù)學選擇性必修課程內(nèi)容，重點選擇與隨機事件相關的主要內(nèi)容如條件概率、離散型、連續(xù)型（正態(tài)分布）的學習，從嚴謹、準確描述生活中隨機現(xiàn)象的視角，讓學生感悟科學分析隨機現(xiàn)象對促進社會發(fā)展的價值與重大作用，促進學生理性精神的形成與發(fā)展.

圖1

概率單元內(nèi)容新變化說明：

1.增加了有限樣本空間內(nèi)容.讓學生在有限樣本空間知識的基礎上學習古典概型，增強對概率的理解.［1］

2.增加了全概率公式和貝葉斯公式.讓學生借助初中已學樹狀圖梳理解決問題的思路，進一步學習利用全概率公式計算概率，感受在現(xiàn)實問題解決中，全概率公式更具有應用的普遍性，能更簡潔、更清晰、更有條理描述問題解決的思路；了解貝葉斯公式，是為了加強與信息技術的融合，加深對概率分布的理解，把握概率與統(tǒng)計聯(lián)系，以及系統(tǒng)的統(tǒng)計推理與決策方法，助力發(fā)展學習型人工智能.

3.減少了原有課程內(nèi)容的幾何概型.高中概率單元課程內(nèi)容的總體設計是要求滿足學生在中小學階段，通過初步學習概率單元課程內(nèi)容，掌握古典概型、幾何概型、二項分布、超幾何分布等，并在不斷地深入學習概率相關概念、公式、模型的過程中，進一步了解正態(tài)分布，理解有限樣本空間，提升用統(tǒng)計的眼光觀察現(xiàn)實中的隨機現(xiàn)象、用概率中的隨機思想思考現(xiàn)實問題、用概率公式嚴謹、準確地描述隨機現(xiàn)象的素養(yǎng)，為今后進一步深入學習概率空間奠定基礎.［2］

二、概率單元的教學思考

高中數(shù)學課程內(nèi)容概率與統(tǒng)計主線的概率單元學習是由三個問題將概率單元核心內(nèi)容串聯(lián)起來：一是對投擲骰子問題研究，認識隨機現(xiàn)象、樣本點、樣本量，理解樣本點與隨機事件的關系；二是通過古典概型的案例研究與學習，認識有限樣本空間，以及古典概型的特征，掌握建立概率模型的一般方法；三是借助二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布等幾個典型隨機變量分布，學習運用概率模型解決實際問題的基本方法；把握概率與統(tǒng)計主線整體知識框架和脈絡，打開研究概率問題的新視角，發(fā)展學生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

（一）概率必修單元的教學思考

圍繞必修單元學習主要內(nèi)容隨機事件與概率與隨機事件的獨立性的教學思考，把握好以下五個方面：一是從概率論的特點來把握整體的邏輯關系；二是在核心概念“隨機事件”的教學過程中，讓學生體驗用數(shù)學的抽象語言描述“隨機事件”的過程；三是加強概率思想與方法的教學，讓學生在概率問題解決過程中學習運用類比、歸納等數(shù)學思想，掌握概率的研究路徑，領會事件的關系與運算，［3］等等；四是關注統(tǒng)計與概率的聯(lián)系，理解概率是為統(tǒng)計的發(fā)展提供理論基礎，概率的模型、公式為統(tǒng)計的科學解釋提供重要的依據(jù)；五是加強在概率運算中融合信息技術應用，明確從統(tǒng)計的總體中有效選擇樣本，構(gòu)建概率模型嚴格、準確分析樣本中的隨機變量，借助樣本情況科學分析總體情況，信息技術是必備的先進且科學的應用工具.

教學時可通過典型的隨機現(xiàn)象（如拋擲硬幣、骰子等），從實例出發(fā)，讓學生經(jīng)歷對隨機現(xiàn)象分析與歸納，從中獲得研究對象即隨機現(xiàn)象特征的認識與理解，加強用數(shù)學語言描述隨機現(xiàn)象，在解決實際問題中學習構(gòu)建概率模型的一般方法，［3］領悟隨機思想和模型化思想.教學實踐時可從以下幾方面落實：一是以投擲骰子來提出問題，引導學生圍繞投擲骰子這一隨機事件的系列問題展開研究，從而學習隨機事件的相關概念，領會隨機事件發(fā)生的含義，理解古典概型；［1］二是讓學生思考連續(xù)投擲一枚均勻骰子兩次，學會如何正確表示該隨機事件的樣本點和樣本空間，經(jīng)歷隨機事件的概念從直觀描述到數(shù)學刻畫的精確化過程，［3］學會用不同的語言表達方式表示事件的樣本點和樣本空間；三是通過學習用語言表達隨機事件“第一次投擲骰子得到點數(shù)是i，第二次投擲骰子得到點數(shù)是j，(i、j∈{1,2,3,4,5,6})”的樣本點與樣本空間，加深學生對隨機現(xiàn)象、兩個隨機事件獨立性、關系與運算法則的理解，能結(jié)合實際問題構(gòu)建概率模型，計算隨機事件的概率；［1］四是從求隨機事件“兩次投擲骰子得到點數(shù)之和為6”的概率問題中，讓學生體會從特殊到一般、模型思想與隨機思想等，正確理解隨機事件的發(fā)生與否具有隨機性，但隨機事件的概率是確定的數(shù)值，明確現(xiàn)實問題處理過程中是采用隨機抽樣和用樣本推斷總體，所以在利用概率作決策時，應選擇大概率的方案，但要明白此方案未必是最好的.

（二）概率選擇性必修單元的教學思考

概率主題選擇性必修內(nèi)容.教與學中，重點借助具體實例引導學生學習用隨機變量刻畫隨機現(xiàn)象，會嚴謹、準確地表達隨機變量與隨機事件的關系.教學可從以下幾方面展開：一是在必修課程內(nèi)容中學習隨機事件的基礎上，進一步深入學習隨機事件的條件概率，掌握利用全概率公式求隨機事件的概率解決隨機現(xiàn)象問題的方法；二是通過具體的實例，幫助學生在了解離散型隨機變量的相關概念、伯努利實驗、超幾何分布及其均值的基礎上，掌握離散型隨機變量二項分布的數(shù)字特征，并能應用相關模型解決簡單的實際問題；［2］三是會根據(jù)具問題建立的誤差模型，展開對正態(tài)分布的隨機變量、均值、特征等相關概念的學習.［2］（如圖2）

圖2

教學時，以必修課程中概率知識技能、思想方法及學習活動經(jīng)驗積累為基礎，以發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)為宗旨，綜合典型問題進一步開展學習概率的教學活動.一是對于條件概率的概念學習，可以選擇問題“有一家庭有兩孩，若知該家庭有一女孩，那么這個家庭兩個孩子都是女孩的概率是多大”為研究案例，讓學生認識到，以“家庭已有一女孩”為事件A，“這個家庭兩個孩子都是女孩”為事件B，即在事件A 發(fā)生的條件下，事件B 發(fā)生的條件概率本質(zhì)就是在縮小的樣本空間A 上求積事件AB 的概率P(B│A)=(P(AB))/(P(A)).通過“問題情境—思考探究—抽象概括”的方式，讓學生認識條件概率的意義，領會隨機事件的獨立性與條件概率之間關系，掌握求條件概率的兩種方法.學習用全概率公式解決復雜事件概率的基本思路，可以通過“某企業(yè)有三臺車床加工同一型號零件，第一臺車床加工次品率為6%，第二、三臺車床加工的次品率均為5%，現(xiàn)有三臺車床零件混成一堆，在此堆零件中第一、二、三臺車床零件分別占總數(shù)的25%、30%、45%.問：從中任取一個零件是次品的概率是多少？”案例分析，使學生體會利用全概率公式解決問題的方法，思路更清晰、簡潔，更具有一般性.二是理解隨機變量的概念，可以從隨機試驗“拋擲一枚硬幣直到正面朝上為止，變量Y 表示需要拋擲的次數(shù)”出發(fā)，首先建立隨機試驗的樣本空間，認識每一隨機試驗作為樣本點所具有的隨機性，［4］領會到隨機變量是對隨機試驗可能結(jié)果的量化，明晰了隨機思想與數(shù)學確定思維之間的聯(lián)系，厘清研究離散型隨機變量的路徑“隨機現(xiàn)象（問題情境）—樣本空間—離散型隨機變量—分布列及其表示—分布列性質(zhì)”，［2］掌握用隨機變量構(gòu)建概率模型刻畫隨機現(xiàn)象規(guī)律的思想方法，感受到借助信息技術工具來完成連續(xù)型隨機變量的概率計算對決策體現(xiàn)出的重要作用.

總體要求，學生通過概率大單元課程內(nèi)容學習，厘清概率相關知識，以及概率的基本概念，清晰了解抽象概率的研究對象，掌握了概率的性質(zhì)、公式，學會了如何構(gòu)建研究具體隨機現(xiàn)象的思路和方法，積累了比較豐富概率研究路徑的經(jīng)驗，會根據(jù)實際問題構(gòu)建合理的概率模型來解決實際問題，［2］掌握了借助信息技術工具來完成有關概率的計算手段，增強數(shù)學抽象、直觀想象與推理能力.從嚴謹、準確描述生活中隨機現(xiàn)象的視角，讓學生感悟科學分析隨機現(xiàn)象對促進社會發(fā)展的價值與重大作用，促進學生理性精神的形成與發(fā)展.

三、概率單元所承載的育人價值

概率大單元的學習意義在于樹立“隨機思想”，認識客觀世界中各種不確定性現(xiàn)象——隨機現(xiàn)象，正確認識現(xiàn)實世界出現(xiàn)的各種現(xiàn)象中“隨機”特點，對隨機現(xiàn)象有能力從中抽象出相關的數(shù)學研究對象，把握事物發(fā)展的脈絡，會用科學的手段有條理、合乎邏輯解釋現(xiàn)實中的隨機現(xiàn)象，并對隨機現(xiàn)象進行科學分辨和提出科學的決策意見.學生通過概率與統(tǒng)計主線學習：一是明確了概率為“統(tǒng)計”的發(fā)展提供理論基礎，“隨機現(xiàn)象”作為概率的研究對象有著豐富的呈現(xiàn)形式（如天氣預報、生物制藥、種子培育、地質(zhì)勘探、產(chǎn)品檢測、病毒傳播等）.認識到對隨機現(xiàn)象的正確“分辨力”是基于對總體中有效選取樣本、合適的概率模型選擇、有效分析隨機現(xiàn)象、科學推斷隨機現(xiàn)象產(chǎn)生的可能性等各環(huán)節(jié)的有效把握，最終達到透過“隨機”現(xiàn)象探索客觀事物本質(zhì)和規(guī)律的過程，提升了主動分辨信息、科學定量分析的意識和能力；二是形成通過隨機現(xiàn)象認清事物的變化的不確定性的思維品質(zhì).能通過隨機思想去思考、去洞察事物的本質(zhì)和發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在規(guī)律性，尋求問題的解決的科學途徑，掌握用統(tǒng)計與概率的思想去分析客觀世界的變化和發(fā)展的技術手段；三是積累基于“隨機”現(xiàn)象分析的活動經(jīng)驗，從活動中感悟隨機思想是認知客觀世界的基本思想和數(shù)學方法，在現(xiàn)實生活中會有意識觀察與探索生活中隨機現(xiàn)象，能正確認識隨機事件中的偶然性與必然規(guī)律，掌握用確定的數(shù)學模型分析解釋隨機現(xiàn)象的思維模式和解決問題的方法，拓寬了認識與探索客觀世界規(guī)律的視野，培育學生用數(shù)學的眼光觀察看現(xiàn)實生活中的隨機現(xiàn)象，用數(shù)學的語言描述現(xiàn)實生活中的隨機現(xiàn)象，［1］提升對現(xiàn)實世界各種現(xiàn)象正確分辨能力.