二面角的平面角的求法面面觀

張 平

(廣東省珠海市實(shí)驗中學(xué))

二面角的平面角是立體幾何中的一個核心概念,也是高考的重點(diǎn)考查目標(biāo).因此厘清如何求解二面角的平面角,明晰求解二面角平面角的常用途徑與方法便顯得尤為重要.本文在歸納總結(jié)二面角的平面角問題求解的主要方法與解題步驟的基礎(chǔ)上,結(jié)合一道相關(guān)試題對每種方法進(jìn)行了具體分析應(yīng)用,以期在豐富與完善讀者解決此類問題的方法的同時,培養(yǎng)結(jié)合題目條件靈活選擇方法的意識,提升解決問題的能力.

1 二面角平面角的定義

從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫二面角的棱,這兩個半平面叫做二面角的面.在二面角的棱上任取一點(diǎn)O,以點(diǎn)O為垂足,分別在兩個半平面內(nèi)作垂直于棱的射線OA,OB,則射線OA,OB構(gòu)成的角∠AOB叫做二面角的平面角.根據(jù)二面角平面角的定義知∠AOB∈[0,π].

2 二面角平面角的常用求法

2.1 射影面積法

已知平面α內(nèi)的平面圖形Γ的面積為S,它在平面β內(nèi)的射影Γ′的面積為S′,設(shè)平面α與平面β所成二面角的平面角為θ,則當(dāng)時,當(dāng)時,cosθ＝

圖1

2.2 幾何法

1)定義法

用定義法求解二面角平面角的基本步驟為“一找、二算、三得出結(jié)論”,首先,結(jié)合已知條件及線面垂直關(guān)系,作出二面角的平面角,如圖1中的∠CED;其次,利用直角三角形計算求解,即求∠CED的三角函數(shù)值或角度;最后,根據(jù)題目要求得出結(jié)論.

2)距離法

由圖1知在Rt△DEC中,sin∠CED＝,進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為分別求平面α內(nèi)一點(diǎn)C到平面β的距離與到棱l的距離即可.

2.3 坐標(biāo)法(法向量法)

設(shè)平面α與平面β所成二面角的平面角為θ,平面α與平面β的法向量分別為m,n,則|cosθ|＝|cos〈m,n〉|,若θ∈[0],則cosθ＝|cos〈m,n〉|;若θ∈,π],則cosθ＝－|cos〈m,n〉|.坐標(biāo)法求解二面角的一般步驟:首先,根據(jù)題目條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,并準(zhǔn)確表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo);其次,求出兩個平面的法向量,并計算兩個法向量夾角的余弦值;最后,結(jié)合圖形及題目要求得出結(jié)論.

2.4 向量法(空間向量法)

根據(jù)此公式知要求二面角平面角的余弦值,只需在兩個半平面內(nèi)分別“找出”不在棱上的一點(diǎn),如圖2中的點(diǎn)C,D,再分別求出CD,以及點(diǎn)C,D到棱l的距離AC,BD及棱l上兩垂足間的距離AB即可.

圖2

3 應(yīng)用舉例

題目如圖3所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,PD＝PA＝,PC＝3.

圖3

(1)證明:平面PAD⊥平面ABCD;

(2)求二面角B-PD-A的余弦值.

分析第(1)問較為簡單,證明過程略.本文用上述方法重點(diǎn)求解第(2)問.

解法1射影面積法

解法2定義法

由解法1 知AB⊥平面PAD,則AB⊥PD.如 圖4所示,過點(diǎn)A作AM⊥PD于M,連 接BM,則AB⊥AM.易證PD⊥平面MAB,從而PD⊥BM,則∠AMB為二面角B-PD-A的平面角.在△PAD中,PD＝PA＝,AD＝2,所以S△APD＝2,AM＝,在Rt△BAM中,有

圖4

解法3距離法

由解法1 知AB⊥平面PAD,則點(diǎn)B到平面PAD的距離AB＝2,由解法2知BM⊥PD于M,且BM＝,結(jié)合圖形知二面角B-PD-A為銳二面角,設(shè)二面角B-PD-A的平面角為θ,則

點(diǎn)評解法1～解法3主要是從幾何的角度進(jìn)行求解,而前提是挖掘了“AB⊥平面PAD”這一關(guān)鍵信息,但對這一信息如何使用,有不同的思考與選擇.不同的使用方式導(dǎo)致解題方法的區(qū)別,體現(xiàn)思維的發(fā)散性.

解法4坐標(biāo)法

圖5

結(jié)合圖形知二面角B-PD-A為銳二面角,則二面角B-PD-A的余弦值為.

點(diǎn)評解法4 是利用坐標(biāo)法進(jìn)行求解,首先是將“平面PAD⊥平面ABCD”轉(zhuǎn)化為線面垂直關(guān)系,實(shí)現(xiàn)建立空間直角坐標(biāo)系的基本要求,其次是坐標(biāo)原點(diǎn)與坐標(biāo)軸的選擇,要便于點(diǎn)的坐標(biāo)表示.其好處在于將幾何問題“代數(shù)化”,“弱化”了對空間想象能力的考查.

解法5空間向量法

解法6空間向量法

如圖6 所示,在△PAD中,過點(diǎn)A作AM⊥PD于M,由解法2可 知AM＝,在Rt△PAM中,有

圖6

點(diǎn)評解法5～解法7均是利用空間向量法進(jìn)行求解,雖側(cè)重點(diǎn)有所不同,但均是以“在兩個半平面內(nèi)找與棱垂直的向量”為中心,借助平面向量基本定理、空間向量基本定理及相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)求解.解法5結(jié)合坐標(biāo)法進(jìn)行運(yùn)算,簡捷快速,解法6與解法7則凸顯向量運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用.

求解二面角的平面角方法眾多,首先,要理解掌握常用的求解方法與策略,其次,要具體問題具體分析,通過對題目條件的深入分析、思考與挖掘,找到已知信息與求解方法之間聯(lián)系的橋梁.同時結(jié)合圖形特點(diǎn)確定最優(yōu)求解路徑,使用最便捷的方法,快速求解,在提升解題能力的同時完善與發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

(完)