基于分型布朗運(yùn)動(dòng)的股票價(jià)格趨勢(shì)預(yù)測(cè)

占大衛(wèi)

(西安財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 陜西西安 710100)

2020年，黨中央在十九屆五中全會(huì)《(中共中央關(guān)于制定國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展第十四個(gè)五年規(guī)劃和二○三五年遠(yuǎn)景目標(biāo)的建議》)強(qiáng)調(diào)，我國(guó)的防范風(fēng)險(xiǎn)工作取得了關(guān)鍵進(jìn)展，“十四五”時(shí)期要繼續(xù)統(tǒng)籌發(fā)展與安全，推動(dòng)我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，風(fēng)險(xiǎn)防范對(duì)度過(guò)風(fēng)險(xiǎn)至關(guān)重要。在國(guó)家發(fā)展中，防范金融風(fēng)險(xiǎn)是一個(gè)巨大的課題，尤其是股票市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)表現(xiàn)更為直接明顯，通過(guò)研究股價(jià)波動(dòng)既可以看出股市受重大風(fēng)險(xiǎn)的影響程度，又可以預(yù)測(cè)股價(jià)的趨勢(shì)。因此，股價(jià)波動(dòng)的預(yù)測(cè)研究一直是一個(gè)熱門(mén)話題。由于股市復(fù)雜，學(xué)者提出很多方法對(duì)其進(jìn)行研究，如有效市場(chǎng)假說(shuō)理論、分型市場(chǎng)假說(shuō)理論在股價(jià)波動(dòng)研究中被廣泛應(yīng)用。

在過(guò)去的研究中，有效市場(chǎng)假說(shuō)不斷完善，逐漸形成了現(xiàn)在的以線性均衡思維和標(biāo)準(zhǔn)計(jì)量模型最優(yōu)解為特征的資本市場(chǎng)理論體系。它對(duì)資本市場(chǎng)做的假設(shè)如下：對(duì)于一些投資比較理性的公民，產(chǎn)品價(jià)格反映了該產(chǎn)品的所有信息；價(jià)格變動(dòng)與其他信息無(wú)關(guān)；未來(lái)的價(jià)格變化是不可預(yù)測(cè)的；產(chǎn)品的相對(duì)收益率服從隨機(jī)游走理論的一些假設(shè)，其概率分布為高斯分布或?qū)?shù)高斯分布?？傊?，理性投資者、有效市場(chǎng)和隨機(jī)游走模型描述了理想的資本投資市場(chǎng)，然而近20年來(lái)，一些學(xué)者發(fā)現(xiàn)資本市場(chǎng)存在一些不良現(xiàn)象(如日歷效應(yīng)、羊群效應(yīng)、小公司效應(yīng)等)。人們發(fā)現(xiàn)，有效市場(chǎng)假說(shuō)并不能客觀地解釋現(xiàn)實(shí)生活中資本市場(chǎng)的連續(xù)性和復(fù)雜性。

基于上述背景，學(xué)者提出了資本市場(chǎng)分形理論，并建立了分形市場(chǎng)假說(shuō)(FMH)，有效地彌補(bǔ)了EMH的不足。與EMH相比，F(xiàn)MH是一種基于非線性動(dòng)力學(xué)背景所建立的模型，這種模型能夠更合理地解釋資本市場(chǎng)。其主要思想如下：第一，資本市場(chǎng)由投資者組成，每個(gè)投資者有不同的投資偏好和投資期限。第二，價(jià)格是短期技術(shù)分析和長(zhǎng)期基本面分析的結(jié)合。因此，短期價(jià)格比長(zhǎng)期價(jià)格波動(dòng)更大，而長(zhǎng)期價(jià)格在技術(shù)上更具噪音。第三，如果一項(xiàng)資產(chǎn)與經(jīng)濟(jì)周期沒(méi)有聯(lián)系，它就沒(méi)有長(zhǎng)期趨勢(shì)，其價(jià)格變化主要由交易量、流動(dòng)性和短期信息決定。在對(duì)投資者的行為影響因素研究上，F(xiàn)MH理論充分利用市場(chǎng)流露出的信息、流動(dòng)性和投資期限對(duì)投資者行為的影響，提出了一個(gè)關(guān)于投資者在市場(chǎng)中的投資行為和市場(chǎng)本身價(jià)格的模型，這個(gè)模型更貼近實(shí)際市場(chǎng)情況。布朗運(yùn)動(dòng)假設(shè)是現(xiàn)代資本市場(chǎng)理論的核心假設(shè)，現(xiàn)代資本市場(chǎng)理論認(rèn)為證券期貨價(jià)格具有隨機(jī)特征。此所謂隨機(jī)性指的是數(shù)據(jù)的無(wú)記憶性，即過(guò)去的數(shù)據(jù)不構(gòu)成對(duì)未來(lái)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)基礎(chǔ)，同時(shí)不會(huì)出現(xiàn)驚人的反復(fù)相似。

1 分型布朗運(yùn)動(dòng)(FBM)

FBM模型(分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型)是由Kolmogorov于1940年在Hilbert空間框架中首次提出；Benoit Mandelbrot and Van Ness于1968年提出的一種無(wú)相關(guān)性的隨機(jī)行走模型，也被稱作分形布朗運(yùn)動(dòng)、有偏的隨機(jī)游走(Biased Random walk)、分形時(shí)間序列(Fractional time serial)、分形維納過(guò)程等。其滿足統(tǒng)計(jì)自相似性，即具有隨機(jī)分形的特征，并且其軌跡處處沒(méi)有切線，粒子移動(dòng)互不相關(guān)。該過(guò)程具有零均值與相關(guān)函數(shù)：

式中，H被稱為Hurst指數(shù)，其取值范圍為H∈ (0,1)。

該模型的定義如下：

其中，參數(shù)H滿足0＜H＜ 1；若t＜ 0，則積分應(yīng)變?yōu)?，在上式中，若H=1/2，則該模型就變?yōu)槠胀ǖ牟祭蔬\(yùn)動(dòng)，即B1/2(t) =B(t)。

Mandekbrort和Van Ness同時(shí)引入了分?jǐn)?shù)高斯噪聲模型(FGN)來(lái)模擬分?jǐn)?shù)維的隨機(jī)噪聲。一個(gè)單位分?jǐn)?shù)高斯噪聲可以看作單位分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的形式導(dǎo)數(shù)，即

其相關(guān)函數(shù)為

當(dāng)H=1/2時(shí)，自相關(guān)函數(shù)R(τ) 退化為Dirac函數(shù)δ(τ)，即高斯噪聲的自相關(guān)函數(shù)。

2 實(shí)證分析

2.1 基于分型布朗運(yùn)動(dòng)的股票價(jià)格趨勢(shì)預(yù)測(cè)

在此，本文需要將μ和σ估計(jì)出來(lái)，令 Δt=T/M，其中T=1，M=240。因此，μ和σ分別表示股票一天的預(yù)期收益率及股票一天預(yù)期收益率的標(biāo)準(zhǔn)差。由之前的公式我們可進(jìn)行計(jì)算。

本文使用網(wǎng)易財(cái)經(jīng)中公布的股票代碼為000541佛山照明2020年5月6日—2021年5月1日的收盤(pán)價(jià)格數(shù)據(jù)來(lái)模擬股票價(jià)格走勢(shì)。通過(guò)計(jì)算，我們得到μ= 0.0013,σ= 0.0237。

在估計(jì)出均值和方差之后，本文要得到一組服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)ε，使用計(jì)算機(jī)軟件對(duì)ε～N(0,1)進(jìn)行隨機(jī)抽樣。在模擬過(guò)程中，由于需要進(jìn)行五次蒙特卡洛模擬，所以本文收集整理了100個(gè)ε樣本集，并且可以發(fā)現(xiàn)隨機(jī)抽樣的樣本基本服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，這也符合關(guān)于ε服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的假設(shè)。

在得到隨機(jī)項(xiàng)ε之后，本文以2020年1月2日的佛山照明股票收盤(pán)價(jià)為初值S0，采用隨機(jī)微分方程：

使用上述估計(jì)值對(duì)FBM模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，其中Hurst指數(shù)從[0，1]范圍內(nèi)分別以0.1為間隔選取，對(duì)其分別進(jìn)行100次蒙特卡洛模擬，并計(jì)算每個(gè)Hurst指數(shù)對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)的平均標(biāo)準(zhǔn)差，具體結(jié)果如表1所示。

由表1可知，當(dāng)Hurst指數(shù)為0.3時(shí)，股票價(jià)格預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差最小，所以將Hurst指數(shù)的范圍縮小至(0.2，0.3)。在此范圍內(nèi)，同樣使用蒙特卡洛模擬100次，其對(duì)應(yīng)預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的平均標(biāo)準(zhǔn)差如表2所示。

表1 Hurst指數(shù)對(duì)應(yīng)預(yù)測(cè)與真實(shí)數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果

由表2可知，H=0.34時(shí)，預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差最小，則選擇其為本文的預(yù)測(cè)值。從中隨機(jī)選擇一組數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)結(jié)果如圖1所示。

表2 Hurst指數(shù)縮小范圍后調(diào)整預(yù)測(cè)與真實(shí)數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果

圖1中黑色實(shí)線的是蒙特卡洛模擬所模擬出來(lái)的股票價(jià)格，橙色實(shí)線是真實(shí)股票價(jià)格。圖1虛線表示使用蒙特卡羅方法第一次股票價(jià)格數(shù)據(jù)模擬結(jié)果，實(shí)線表示真實(shí)股票價(jià)格數(shù)據(jù)，將蒙特卡洛模擬獨(dú)立重復(fù)100次，得到的數(shù)據(jù)均值為5.11，實(shí)際股票價(jià)格均值為5.93，多次實(shí)驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.76，而真實(shí)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.463。通過(guò)對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析可以發(fā)現(xiàn)，通過(guò)FBM模型所預(yù)測(cè)的股票價(jià)格波動(dòng)符合布朗運(yùn)動(dòng)的基本假設(shè)。

圖1 H=0.34股票預(yù)測(cè)價(jià)格與真實(shí)價(jià)格對(duì)比

將蒙特卡洛法模擬股票價(jià)格數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)分析可得結(jié)果如表3所示。

表3 蒙特卡洛法模擬價(jià)格與真實(shí)價(jià)格顯著檢驗(yàn)結(jié)果

并且得到其相對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)R=0.6228，說(shuō)明該模擬結(jié)果能有效說(shuō)明股票價(jià)格的真實(shí)走勢(shì)。

2.2 正態(tài)性檢驗(yàn)

為了驗(yàn)證股票價(jià)格波動(dòng)是否嚴(yán)格服從分型布朗運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)形式，本文對(duì)真實(shí)股票價(jià)格的對(duì)數(shù)收益率進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。先對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證其是否服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，在進(jìn)行Q-Q圖檢驗(yàn)后，本文得到如圖2所示結(jié)果。

圖2 真實(shí)股票價(jià)格的對(duì)數(shù)收益率正態(tài)性檢驗(yàn)結(jié)果

由圖2可知，實(shí)際股票價(jià)格的對(duì)數(shù)收益率基本在對(duì)角線上，因此可以認(rèn)為實(shí)際股票價(jià)格對(duì)數(shù)收益率基本符合正態(tài)分布。本文再對(duì)實(shí)際股票價(jià)格對(duì)數(shù)收益率進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)，得到如表4所示結(jié)果。

表4 實(shí)際股票價(jià)格對(duì)數(shù)收益率描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果

由表4可知，偏度值為4.149＞0，說(shuō)明數(shù)據(jù)具有右偏的趨勢(shì)；峰度為0.648＜3，說(shuō)明數(shù)據(jù)比正態(tài)分布更加扁平。由此可知，股票價(jià)格基本符合正態(tài)分布假設(shè)。

3 結(jié)語(yǔ)

布朗運(yùn)動(dòng)作為非線性動(dòng)力學(xué)模型，在股票價(jià)格的預(yù)測(cè)上效果顯著，但其預(yù)測(cè)結(jié)果過(guò)于理想化。當(dāng)整個(gè)國(guó)家的利率上漲時(shí)，股票價(jià)格的預(yù)計(jì)增長(zhǎng)率也會(huì)有上漲的趨勢(shì)。股票價(jià)格的相對(duì)跳高與引起跳高的重要信息的相對(duì)重要性有關(guān)，一般來(lái)說(shuō)，相對(duì)跳高的大小取決于重要信息的相對(duì)重要性。用FBM模型代替GBM模型，可以彌補(bǔ)用GBM模型描述股票價(jià)格趨勢(shì)過(guò)程中的一些不足。

基于上述分析可以發(fā)現(xiàn)，實(shí)際股票價(jià)格的波動(dòng)形式并不是嚴(yán)格服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以股票價(jià)格并不是完全服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，反而更加服從分型布朗運(yùn)動(dòng)。本文只基于分型布朗運(yùn)動(dòng)模型對(duì)股票價(jià)格趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，相信隨著金融市場(chǎng)研究的深入，會(huì)有更加合理的模型來(lái)模擬股票價(jià)格及其運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。