探析內(nèi)在邏輯 把握數(shù)學本質(zhì)*
——2022 年高考文科數(shù)學全國甲卷第19 題解法剖析與思考

云南師范大學數(shù)學學院;云南師范大學教育學部(650500) 華子艷

昆明市官渡區(qū)鐘英中學(650200) 黃賽春

云南師范大學數(shù)學學院(650500) 劉冰楠

《普通高中數(shù)學課程標準(2017 年版2020 年修訂)》(以下簡稱《標準》)提出: 立體幾何研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系[1]的要求.2022 年高考文科數(shù)學全國甲卷第19 題(以下簡稱“2022 年文科甲卷第19 題”)以封閉包裝盒設計呈現(xiàn)試題,相較于歷年立體幾何題,增加了現(xiàn)實情境的創(chuàng)設,體現(xiàn)理論聯(lián)系實際,落實新課程改革中綜合實踐活動在試題中的應用.此題解法多變,偏重基礎(chǔ)知識的靈活運用,注重通性通法和空間思維能力的考查,彰顯素質(zhì)教育“四翼”的要求以及高考命題穩(wěn)中求新的特點,利于學生思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力的培養(yǎng).

1 試題再現(xiàn)

題目(2022 年文科甲卷第19題) 小明同學參加綜合實踐活動,設計了一個封閉的包裝盒,包裝盒如圖1 所示: 底面ABCD是邊長為8(單位: cm)的正方形,?EAB,?FBC,?GCD,?HDA均為正三角形,且它們所在的平面都與平面ABCD垂直.

圖1

(1)證明:EF//平面ABCD;

(2)求該包裝盒的容積(不計包裝盒材料的厚度),

2 解法探析

高考是國家選拔人才的重要途徑,是實現(xiàn)立德樹人的重要載體和素質(zhì)教育的關(guān)鍵環(huán)節(jié)[2].相較于歷年立體幾何試題,2022 年文科甲卷第19 題在情境創(chuàng)設與圖形直觀呈現(xiàn)上有所創(chuàng)新,本質(zhì)上考查的仍是線面位置關(guān)系、圖形體積等數(shù)學核心主干知識,在解題過程中需對基礎(chǔ)知識進行綜合運用、融會貫通,利于數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的培養(yǎng),體現(xiàn)高考命題對素質(zhì)教育目標的考查.

第(1)問證明線面平行,屬常規(guī)問題.基本思路是將線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行或線線平行.方法有平行四邊形法、投影法、補形法、向量法等,利于提升學生空間思維感及解法綜合應用能力.第(2)問求多面體的體積,需對分割與補形法靈活應用,對抽象能力有較高要求,能幫助學生建立整體與局部的聯(lián)系,樹立空間模型觀念.

2.1 第(1)問解法探析

證法1(平行四邊形法)因為?EAB,?FBC均為正三角形,且底面ABCD為正方形,易得兩個三角形全等.如圖2 所示,分別取AB,BC中點記為E1,F1,連接EE1,E1F1,FF1,得EE1⊥AB,FF1⊥BC,EE1=FF1.因為三角形所在的平面都與底面ABCD垂直,且平面EAB,平面FBC與底面ABCD的交線分別為AB,BC,故EE1//=FF1,所以四邊形EE1F1F為平行四邊形,即得EF//=E1F1.又因為平面ABCD,E1F1?平面ABCD,所以EF//平面ABCD.

圖2

證法2(投影法)由題意得?EAB,?FBC均為正三角形,且?EAB,?FBC均垂直于底面正方形ABCD.如圖3所示,分別取AB,BC中點為E1,F1,連接EE1,E1F1,FF1,得EE1⊥正方形ABCD,FF1⊥正方形ABCD,即得E1F1為EF的投影.且E1,F1分別為AB,BC的中點.連接AC(如圖3),因為四邊形ABCD為正方形,所以E1F1//AC,即得EF//AC.又因為平面ABCD,AC ?平面ABCD,所以EF//平面ABCD.

圖3

證法3(面面平行法) 分別取AB,BC,CD,DA的中點為E1,F1,G1,H1,連接EG,HF,E1G1,H1F1(如圖4),再連接HH1,EE1,GG1,FF1(如圖5).根據(jù)解法1 可得EG//E1G1,HF//H1F1,因為EG,HF是平面EFGH內(nèi)兩條相交直線,E1G1,H1F1是平面ABCD內(nèi)兩條相交直線,故平面EFGH//平面ABCD,又因為EF ?平面EFGH,所以EF//平面ABCD.

圖4

圖5

證法4-1(補形法的綜合運用)如圖6 所示,過A,B,C,D分別作平面ABCD的垂線為A1A,B1B,C1C,D1D,再分別過E,F,G,H作AB,BC,CD,DA的平行線,交點為A1,B1,C1,D1,連接交點形成幾何體ABCD ?A1B1C1D1,依題意可知幾何體ABCD ?A1B1C1D1為長方體,且E,F,G,H分別為A1B1,B1C1,C1D1,A1D1的中點.連接A1C1,AC(如圖7),由長方體的性質(zhì)可得EF//A1C1,A1C1//AC.由平行的傳遞性得EF//AC.又因為平面ABCD,AC ?平面ABCD,所以EF//平面ABCD.

圖6

圖7

證法4-2(補形法的綜合運用)通過補形,可得在長方體ABCD ?A1B1C1D1中,EF所在的平面EFGH與平面ABCD平行,即得平面EFGH//平面ABCD,因為EF ?平面EFGH,所以EF//平面ABCD.

在當今世界政壇群星之中，拉加德絕對是極其獨特的存在：她是國際貨幣基金組織歷史上的第一位女總裁，上任前卻飽受爭議，但憑借多種因素成功連任；她曾被譏諷為“失言部長”，后來卻成為法國近代以來任職時間最長的財政部長；她是地道的法國人，學業(yè)卻在美國完成，更曾在美國工作了幾十年，思維方式嚴重“美國化”。

證法5(向量法)如圖8 所示,分別取AB,CD中點為O,G1.以O為原點,OB為x軸,OG1為y軸,OE為z軸建系.

圖8

依題意可得OB⊥OG1⊥OE,OE==(4,4,0),因為平面ABCD在坐標平面xoy內(nèi),故設平面ABCD的法向量n=(0,0,1),所以·n=0,所以EF//平面ABCD.

其他建系方法大同小異,不再贅敘.

評析以上解題思路呈現(xiàn)如圖9 所示.線線平行、線面平行、面面平行是立體幾何的三種基本位置關(guān)系,可相互推導.第(1)問需證線面平行,基本思路是將線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行或線線平行.多數(shù)學生最先能想到的是平行四邊形法(解法1),該法為高中立體幾何最常用的“通法”之一.其內(nèi)在邏輯是尋找線線平行,證明線面平行,難點在于選擇恰當位置進行平行四邊形構(gòu)造.投影法(解法2)也可輔助尋找線線平行,將直線投影至所證平面,轉(zhuǎn)化空間問題為平面問題,有效降低解題難度,滲透降維思想.當線線平行證明出現(xiàn)困難時,可轉(zhuǎn)換思路至尋找面面平行,利用面面平行(解法3)的性質(zhì)構(gòu)造相交輔助線簡潔進行證明.以上三種解法注重空間想象能力與邏輯思維能力的考查,利于學生數(shù)學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

圖9

鑒于本題幾何體形狀較為特殊,學生在選擇解法1、2、3時,會受制于自身的空間感與想象力.《標準》提出: 借助長方體,直觀認識空間點、直線、平面的位置關(guān)系[1]的指導.因此可將復雜圖形補形為規(guī)則的長方體(解法4),利用長方體自身性質(zhì)輔助證明,將復雜空間位置關(guān)系簡單化,有助于提高學生圖形思維意識,感悟轉(zhuǎn)化與化歸思想.

以上方法均屬幾何解法,事實上,將幾何問題化為代數(shù)求解也是學生在解題中常用的方法,如向量法(解法5)通過建立直角坐標系,以代數(shù)形式表示線與面的關(guān)系,既降低空間想象難度,又有效考查邏輯思維與運算求解能力,利于滲透數(shù)形結(jié)合思想.

2.2 第(2)問解法探析

解法1 (補形: 長方體)同第一問解法4,如圖6 所示,作輔助線得長方體ABCD ?A1B1C1D1.由第(1)問解法5 得該長方體的高為AA1=,故

圖10

圖11

解法4(分割: 三棱錐+四棱錐)如圖12 所示,連接AC,BD交于點O,再連接OE,OF,OG,OH.則該幾何體的體積由四棱錐O ?EFGH的體積和4 倍三棱錐A ?OEH的體積以及4 倍三棱錐E ?OAB的體積組成.依題意易得OE=OF=OG=OH=8,取EH的中點P,AB的中點E1,連接AP,OP,EE1,則EH垂直平面APO.由圖可知,三角形APO,四棱錐O ?EFGH與三棱錐E ?OAB的高均為EE1的長.故

圖12

評析以上解法為我們提供立體幾何的研究與求解思路: 可從空間幾何體的整體觀察入手,抽象出組成空間圖形的基本元素——點、線、面,并結(jié)合長方體直觀認識這些組成元素的位置關(guān)系[3].綜觀分割法與補形法,提煉出內(nèi)在邏輯.即把不熟悉的幾何體轉(zhuǎn)化為熟悉的基本幾何體,如長方體、三棱錐、三棱柱、四棱錐等,學生需要洞察隱藏在圖形中與解決問題相關(guān)的子圖形,按求解需求添加輔助線[4].因此分割與補形法的使用能加強學生有機聯(lián)系整體和局部的意識,聚焦數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的培養(yǎng),滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想.

3 錯因分析與變式訓練

3.1 錯因分析針對學生錯因進行分析,有助于深化對問題本質(zhì)的理解,發(fā)現(xiàn)解決問題的新視角與新思路.基于廣泛調(diào)研,可將學生的錯因歸結(jié)為以下兩點: 能力性失誤與心態(tài)性失誤.其中,第一類失誤主要緣于學生對基礎(chǔ)知識和基本技能掌握的不扎實,導致知識遷移能力較弱,無法靈活運用題干中的關(guān)鍵性條件.如無法由題干推知長方體補形條件、空間位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化不合理等.第二類失誤偶然性較大,考場中受到環(huán)境以及心理等因素制約,學生易出現(xiàn)遺漏條件、計算失誤、邏輯混亂等問題致使失分,如試題第(2)問體積計算中,存在考生輔助線繪制模糊,導致數(shù)據(jù)運算出錯等.

3.2 變式訓練在對題目進行錯因分析后,設計試題變式,利于教師對學生易錯點進行正確歸因,進而明晰教學要點,提高教學質(zhì)量.同時,通過多組變式訓練,學生也能體會條件與問題間的聯(lián)系,深刻把握知識的內(nèi)在邏輯,加深對數(shù)學知識的本質(zhì)理解.有助于學生分析問題和解決問題能力的提升,增強思維的靈活性、拓展性和發(fā)散性.因此,可在試題情境不變的情況下,對題目進行如下變式:

小明同學參加綜合實踐活動,設計了一個封閉的包裝盒,包裝盒如圖1 所示:

變式1(針對思維靈活性)底面ABCD是邊長為8(單位: cm)的正方形,?EAB,?FBC,?GCD,?HDA所在的平面都與平面ABCD垂直,且EF=GF=GH=HE.求直線EF與平面ABCD所成角的余弦值.

變式2(針對思維拓展性)底面ABCD是邊長為8(單位: cm)的正方形,?EAB,?FBC,?GCD,?HDA均為正三角形,且它們所在的平面都與平面ABCD垂直.求平面ABE、平面EFGH與平面EFB夾角的余弦值.

變式3(針對思維發(fā)散性)底面ABCD是邊長為8(單位: cm)的正方形,?EAB,?FBC,?GCD,?HDA均為正三角形,且它們所在的平面都與平面ABCD垂直.請利用至少四種以上的方法證明:EF//平面ABCD.

變式探析變式過程須把握不同內(nèi)容間的核心關(guān)聯(lián),做到“萬變不離其宗”,“宗”即指順應并適合每個學生達到數(shù)學學習的目標[5].變式1 同時改變了題目條件與提問方式,但結(jié)果仍與原試題相同,能訓練學生把握試題中“變”與“不變”的本質(zhì),考查學生思維的靈活性;變式2 將問題改編為求二面角余弦值,此類求解多出現(xiàn)于理科試題中,有助于增加立體幾何知識考查的深度和廣度,提升思維的拓展性;變式3將“一題多解”直接融入提問,在解題過程中精準而直接地發(fā)散學生思維,實現(xiàn)知識的融會貫通.三種變式分別針對學生思維的不同角度進行設計,層層遞進,可有效對不同學生進行不同方向的提升,體現(xiàn)變式題中的差異化,也為教師課堂多樣性提供途徑.

4 教學建議

通過對2022 年文科甲卷第19 題的思路探索,探究其思想方法和轉(zhuǎn)化策略,管窺高考命題的考查方向與核心功能,以期發(fā)揮高考的選拔與引導功能,為教師教學提供參考與借鑒.

4.1 探析內(nèi)在邏輯,錘煉數(shù)學思維.立體幾何題雖千變?nèi)f化,總蘊含其內(nèi)在邏輯.通過解法探析,能明確基礎(chǔ)知識間存在的邏輯聯(lián)系,如本題第(1)問中線線、線面、面面平行的轉(zhuǎn)化與推導,由幾何到代數(shù)、整體到局部的思路追溯,完成知識網(wǎng)絡與解題框架的構(gòu)建.因此在解題訓練時,可引導學生多角度思考,拓寬解題思路,有效內(nèi)化知識并將其靈活運用.教師在教學中巧用一題多解與變式訓練,也能有效破除學生思維定勢,錘煉其思維的靈活性與開放性,培養(yǎng)學生綜合分析問題、解決問題的能力.

4.2 把握數(shù)學本質(zhì),增強教學成效.理解數(shù)學把握本質(zhì)就是要深刻剖析概念內(nèi)涵,準確理解數(shù)學思想[6].立體幾何題型靈活多變,教師采用套路式教學會導致學生在考場上“動一發(fā)而潰全軍”.因此解題訓練需注重數(shù)學本質(zhì)與通性通法,提升學生核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力.近年來高考命題趨于基礎(chǔ)性、綜合性與創(chuàng)新性,在教學實踐過程中,教師可精選試題內(nèi)容,而后進行深度剖析,再加以變式訓練,學生由此能舉一反三、觸類旁通,充分發(fā)揮試題訓練“減負增效”的功能之助.

4.3 理論聯(lián)系實際,發(fā)揮育人價值.當前教育面臨的最大困境恰是學校教育和現(xiàn)實世界的隔離,學生既不能充分運用生活中既有的經(jīng)驗,也不能將學校所學遷移到未來的問題解決中去[7].2022 年文科數(shù)學甲卷在立體幾何21 題中創(chuàng)設現(xiàn)實問題情境,將數(shù)學真正用到實處,也使學生真正學到實處,落實立德樹人根本任務,凸顯命題的應用性.試題幾何圖形新穎,解題路徑多樣,利于滲透數(shù)學思想方法,提升核心素養(yǎng)考查的有效性.因此,教師在立體幾何教學中可將現(xiàn)實情境引入,不但能激發(fā)學生學習興趣,也能有效考查學生分析和解決問題的能力,增強其空間思維能力,培養(yǎng)學生在數(shù)學中觀察、思考、表達現(xiàn)實世界的學習習慣.