審慎求解二項展開式中系數(shù)的絕對值之和問題

湖南省長沙市周南梅溪湖中學(xué)(410205) 朱賢良

在高中數(shù)學(xué)課程中,二項式定理被安排在計數(shù)原理與排列組合知識之后、隨機變量及其分布列之前,它既是計數(shù)原理和組合知識的應(yīng)用,又是探究相關(guān)概率公式的基礎(chǔ),是培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的重要載體,也是高考命題的熱點內(nèi)容.其中,二項展開式的各項系數(shù)之和是高考與模擬考試命題中的常見考查內(nèi)容,與此相關(guān)的變式問題——系數(shù)的絕對值之和,也頻頻見于各類考試的試卷之中.但是,一類不易察覺的錯誤在試題命制與求解時,因其自身的隱蔽性,往往真假難辨,是非難分,常常被當成“真經(jīng)”,以訛傳訛.

1 通性通法

我們從以下常見且并不復(fù)雜的試題為例,以呈現(xiàn)二項展開式中各項系數(shù)的絕對值之和的求解策略.

例1(2016 年聯(lián)賽黑龍江預(yù)賽第7 題)設(shè)(2x ?1)6=a6x6+a5x5+···+a1x+a0,則|a0|+|a1|+|a2|+···+|a6|的值為()

A.26B.36C.56D.76

分析若是求二項展開式的系數(shù)和,直接由賦值法,令x=1,即可得到系數(shù)之和a0+a1+···+a6=(2?1)6=1.對于系數(shù)的絕對值之和,難點在于處理絕對值,其通性通法有兩種.

方法一(弄清楚各項系數(shù)的正負情況,去掉絕對值符號) 根據(jù)二項式定理,將(2x ?1)6展開后的通項公式 為Tk+1=(2x)6?k(?1)k,其 中k=0,1,2,···,6.顯然,奇次項的系數(shù)為負數(shù),偶次項的系數(shù)為正數(shù),故|a0|+|a1|+|a2|+···+|a6|=a0?a1+a2?a3+a4?a5+a6.賦值,令x=?1,即得其和|a0|+|a1|+|a2|+···+|a6|=a0?a1+a2?a3+a4?a5+a6=(?2?1)6=36.

方法二(將展開式中各項系數(shù)都轉(zhuǎn)化為正數(shù),擺脫絕對值的束縛) 倘若二項展開式中各項系數(shù)均為正數(shù),則系數(shù)的絕對值之和與系數(shù)之和就無差異了.比如本題的二項式中,a=2x,b=?1,先將各項的符號變?yōu)椤罢?即將(2x ?1)6改為(2x+1)6,而(2x+1)6的展開式中各項的系數(shù)均這正數(shù),賦值令x=1,可得各項的系數(shù)和為(2+1)6=36,此即(2x ?1)6的展開式中各項系數(shù)的絕對值之和|a0|+|a1|+|a2|+···+|a6|.

評注方法二先將二項式中系數(shù)符號變“正”后,再賦值x=1 求得其展開式的系數(shù)之和,此即原二項展開式的各項系數(shù)的絕對值之和.

（1）在進行面板堆石壩填料施工過程中，首先應(yīng)對料場的填料進行取樣試驗，測定填料的含水量，篩分、擊實等指標，并經(jīng)監(jiān)理工程師確認，然后采用自卸汽車倒車卸料攤鋪，推土機整平。此外，為了保證虛鋪厚度的均勻、準確，在碾壓試驗條帶兩側(cè)邊線處插鋼筋棍拉線。整平過程中，對局部不平及集料處用人工進行整平，確保填料均勻、平整。

評注此法無須區(qū)分展開式中各項系數(shù)的正負,解題過程雖然“簡單粗暴”,但運算量小,效率更高.

2 深層邏輯

相比較而言,上述方法二無須事先判斷展開式中各項系數(shù)的正負情況,只需要先將二項式中兩項系數(shù)符號改為“正”,再賦值求改“正”后的二項展開式的各項系數(shù)之和.這樣,就將原二項展開式中各項系數(shù)的絕對值之和轉(zhuǎn)化為新二項展開式中的各項系數(shù)之和.但是,如此轉(zhuǎn)化的依據(jù)是什么? 本節(jié)我們解釋符號改“正”后賦值求得展開式各項系數(shù)的絕對值之和的合理之處——深層邏輯.

應(yīng)用此法,在面對更為復(fù)雜的展開式中各項系數(shù)的絕對值之和時,同樣有效.

例3(2x ?3y+z)10展開式中各項系數(shù)的絕對值之和為____.

分析先將(2x ?3y+z)10改“正”為(2x+3y+z)10,再求其展開式中各項系數(shù)之和.賦值,令x=1,y=1,z=1,則可得(2x+3y+z)10展開式中各項系數(shù)之和為(2+3+1)10=610,故(2x ?3y+z)10展開式中各項系數(shù)的絕對值之和為610.

評注根據(jù)二項式定理知識,(2x ?3y+z)10的展開式共有66 項,此法不必判斷展開式中各項系數(shù)的正負,從而避開了麻煩.

例4 (多選題)(江蘇省揚中市第二高級中學(xué)2020 年檢測第12 題)已知的展開式中各項系數(shù)的和為2,則下列結(jié)論正確的有()

A.a=1

C.展開式系數(shù)的絕對值的和1458

D.若r為偶數(shù),則展開式中xr和xr?1的系數(shù)相等

3 變式有“變”審慎解題

上述求展開式中各項系數(shù)的絕對值之和的步驟可以概括為兩步: 一改“正”,二賦“1”.一直以來,許多課外輔導(dǎo)資料上都是這般地介紹,師生之間也如此口口相傳.在解答相關(guān)變式(非簡單的二項式)的時候,這種常規(guī)方法真的有效嗎? 直到有一天,給學(xué)生講解資料上的一道試題(本文例5)時,筆者隱隱覺得有點問題,但一時又說不清楚問題的癥結(jié)所在.課后思索再三,才發(fā)現(xiàn)其中的端倪.

例5(多選題)關(guān)于多項式(1+?x)6的展開式,下列結(jié)論正確的是()

A.各項系數(shù)之和為1 B.各項系數(shù)的絕對值之和為212

C.存在常數(shù)項 D.x3的系數(shù)之和為40

當然,即便出現(xiàn)了同類項,但同類項的系數(shù)符號同正或同負,則也不會產(chǎn)生上述相互“抵消”的現(xiàn)象,利用前述先改“正”后賦“1”的方法求得展開式中各項系數(shù)的絕對值之和也不會導(dǎo)致錯誤.本題中沒有出現(xiàn)這樣的項.

事實上,上述參考答案中所犯的錯誤也見于學(xué)生常用的搜題軟件,如某度作業(yè)幫、某猿搜題等.

至此,真相已明! 但筆者尚存一問: 本題中的絕對值之和如何求解為妥? 筆者經(jīng)筆算求得答案為1418,敬請讀者朋友指教.

查閱資料,筆者又在一本頗為知名品牌的教輔用書中看到了下例,將參考答案摘錄附后,供讀者研討:

例6(多選題)已知(1+ax2)(?x)6的展開式中所有項的系數(shù)和為3,則下列結(jié)論正確的是()

A.a=1

B.展開式中的常數(shù)項為320

C.展開式中所有項的系數(shù)的絕對值的和為2187

D.展開式按x的升冪排列時第2 項的系數(shù)為?192

參考答案(請讀者自行斷定其正誤!) 先根據(jù)條件求得a=2,以下僅摘抄C 選項的判斷過程: (1+2x2)(?x)6的展開式中所有項的系數(shù)的絕對值之和與的展開式中所有項的系數(shù)之和相等.在中,令x=1 得(1+2)(2+1)6=37=2187,所以選項C 正確.

人類認識事物的過程,是從局部到整體、從片面到全面、從錯誤到正確、從零碎到完整、從孤立到聯(lián)系的波浪式發(fā)展的過程.在掌握新的定義定理公式、領(lǐng)悟知識內(nèi)涵的過程中,“錯誤”是必經(jīng)的關(guān)卡.發(fā)現(xiàn)“錯誤”,用好“錯誤”,有益于我們更好地理解知識,更清晰地把握概念與方法的本質(zhì).