Banach空間中廣義混合擬變分不等式解的存在性

鄭瓊悅,林惠玲

(福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,福建福州 350117)

§1 引言

變分不等式最早由Hartman-Stampacchi[1]于1966年首次提出,隨后眾多學(xué)者對其進行研究并推廣,目前的研究成果主要集中在擬變分不等式[2-3],廣義變分不等式[4-5],以及混合變分不等式[6-7].同時,變分不等式及其推廣形式被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟均衡,控制論,對策論,金融,交通,工程科學(xué)等領(lǐng)域.

設(shè)B為Banach空間,B?為其對偶空間,K:B →2B為集值映射,F:B →為集值映射,f:B →R∪{+∞}為真凸下半連續(xù)泛函.本文考慮如下廣義混合擬變分不等式問題(簡記為(GMQVI(K,F,f)),即找到x ∈K(x),v ∈F(x),使得

下面介紹GMQVI(K,F,f)的一些特殊形式.

若C是B中的非空閉凸集,K(·)≡C,則GMQVI(K,F,f)就退化為廣義混合變分不等式(記為GMVI(C,F,f)[4]),即找到x ∈C,使得

若?x ∈B,f(x)=0,則GMQVI(K,F,f)就退化為廣義擬變分不等式(記為GQVI(K,F))[8],即找到x ∈K(x),v ∈F(x),使得

若?x ∈B,f(x)=0,C是B中的非空閉凸集,K(·)≡C,F為單值映射,則GMQVI(K,F,f)就退化為經(jīng)典變分不等式(記為VI(C,F)[1]),即找到x ∈C,使得

當(dāng)C=K為閉凸錐時,變分不等式問題就變?yōu)榛パa問題,因此變分不等式問題和互補問題有著密切聯(lián)系,很多學(xué)者對兩者解的存在性都進行了研究,見文獻[9-12].變分不等式的研究方法有很多,例如憑借KKM原理以及變分方法[13],Browder不動點定理,拓?fù)涠壤碚揫14-16],或極小極大理論,或是構(gòu)造強制性條件以及例外簇[17-18]等,其中引入例外簇來研究變分不等式及其推廣形式是一種新穎且應(yīng)用廣泛的方法.

1984年,Smith[19]首次提出例外簇和例外序列的概念,并將其應(yīng)用于單值的互補問題解的存在性研究中.隨后很多學(xué)者也逐漸用例外簇來研究VI(K,F)的解的存在性.例如Isac[18]在閉凸錐上定義集值映射的例外簇,用Leray-Schauder擇一定理代替拓?fù)涠?證明了在Hiblert空間中互補問題要么存在例外簇,要么有解.由于互補問題與變分不等式有密切聯(lián)系,Zhou[20]等人通過定義新的例外簇,將此方法推廣到了無限維Hilbert空間,并得到變分不等式不存在例外簇則必定有解.2005年,Li和Whitaker[21]在Banach空間的閉凸錐上給出完全連續(xù)場例外簇的概念,并定義廣義的(θ)條件,從而得到變分不等式或者有解或者完全連續(xù)場關(guān)于閉凸錐有例外簇.2010年,劉智[22]等人通過引入新的例外簇,在集值映射具有緊收縮值的條件下,研究Banach空間中廣義變分不等式解的存在性,將文獻[23]應(yīng)用于單值映射的結(jié)果推廣到集值映射.因此,通過引入例外簇概念,利用拓?fù)涠然騆eray-Schauder擇一定理,得到解的存在性與例外簇的關(guān)系,并探究強制性條件來確保解的存在性的研究方法已受到國內(nèi)外許多學(xué)者的關(guān)注.

對于GMQVI問題,除了Wang等人[16]通過在有限維空間建立度理論來研究GMQVI解的存在性外,極少有文獻對Banach空間的GMQVI問題進行研究.甚至據(jù)作者所知,當(dāng)K為集值映射時,尚未有文獻利用例外簇來研究該問題.受以上文獻的啟發(fā),本文將在自反的Banach空間中,在一定條件下,證明當(dāng)GMQVI的可行集S為有界集時,GMQVI 有解;當(dāng)S為無界集時,提出新的例外簇概念,并通過Leray-Schauder擇一定理證明廣義混合擬變分不等式不存在例外簇,則必定有解.最后,分析不存在例外簇的充分條件,各充分條件間的關(guān)系并且得到GMQVI 解存在的必要性.

本文用到如下符號.

“→”和“?”分別表示序列的強收斂與弱收斂.C ?B表示B中的非空子集,A ?C表示集合C包含集合A.intC,分別表示C的內(nèi)部,邊界,閉包.B(x,r)和(x,r)分別表示B中以x為中心,r為半徑的開球和閉球,用Graph(F)={(x,y)∈B ×B?,x ∈B,y ∈F(x)}表示映射F的圖像.記S={x ∈B:x ∈K(x)}為廣義混合擬變分不等式GMQVI(K,F,f)的可行集,它也是K的所有不動點集合.任意的x,x′ ∈B,則K(x)在x′的廣義f-正規(guī)錐定義為

§2 預(yù)備知識

本節(jié)介紹本文所需要的一些基本概念及其性質(zhì),并探討GMQVI(K,F,f)解的等價刻畫.下面介紹集值映射的相關(guān)概念.

定義2.1(見[2,24]) 設(shè)X,Y為Banach空間,F:X →2Y為非空集值映射,泛函f:X →R∪{+∞}.

(1) 若對Y中任意包含F(xiàn)(x)的開集W,存在X中包含x的一個開鄰域U,使得F(U)?W,則稱F為在x ∈X處的上半連續(xù)映射.若F在每一點x ∈X處為上半連續(xù)映射,則稱F為X上的上半連續(xù)映射.

(2) 若Graph(F)為X ×Y上的凸集,則稱F為凸圖像映射.

(3) 若對任意一個有界子集A ?X,F(A)為Y中的相對緊集,則稱F為緊映射.

(4) 若C ?X為非空子集,?(x,v),(y,w)∈Graph(F),有

則稱F在C上是f-偽單調(diào).

除非特殊說明,在本文中總假設(shè)集值映射K:B →2B為B上的凸圖像及連續(xù)映射,可行集S為非空集,則類似文獻[8]中定理2.1.1證明可知,可行集S是非空閉凸集.下面介紹正規(guī)對偶映射及其性質(zhì).

定義2.2正規(guī)對偶映射J:B →,定義為

其中‖x‖和‖j(x)‖分別表示Banach空間B及其對偶空間B?中的范數(shù).

正規(guī)對偶映射[25-26]具有較為豐富的性質(zhì),下面列舉幾個本文所需的性質(zhì).

(1) 任意Banach空間中,J為單調(diào)有界的.

(2)B為自反Banach空間,則對任意x ∈B,J(x)為非空有界閉凸的,且J(αx)=αJ(x).

(3)B為光滑的Banach空間,則J:B →B?為單值,連續(xù)映射.

(4)B為自反光滑,嚴(yán)格凸的Banach空間,J?:B?→B為B?上的正規(guī)對偶映射,則J?1=J?,JJ?=IB?,J?J=IB,其中IB?,IB分別表示B?和B上的單位映射.

Wu和Huang[26]定義了如下泛函V(?,x):B?×B →R∪{+∞},

其中ρ>0,? ∈B?,x ∈B,f:B →R∪{+∞}為下半連續(xù)的真凸泛函.

廣義f-投影算子具有如下特殊形式.

(1) 當(dāng)K(x)≡K ?B為非空閉凸集且f(x)≡0時,廣義f-投影算子退化成文獻[27]中的

其中對任意的? ∈B?,x ∈K,G(?,x)=‖x‖2?2〈?,x〉+‖?‖2.

(2) 當(dāng)B為Rn空間,K為Rn中的非空閉凸集,f(x)≡0,則廣義f-投影算子退化成文獻[16]中的度量投影算子,定義為

注2.2定理2.1將文獻[8]中定理2.2.4的結(jié)果從GQVI(K,F)推廣到GMQVI(K,F,f)上,并利用廣義投影算子的性質(zhì)簡化了文獻[8]中的證明.

§3 廣義混合擬變分不等式的解的存在性

本節(jié)主要利用不動點定理研究廣義混合擬變分不等式解的存在性.通過Fan-KKM定理,證明了可行集為有界集時,廣義混合擬變分不等式問題存在解;當(dāng)可行集為無界集時,給出新的例外簇定義,利用Leray-Schauder型不動點定理,證明了GMQVI(K,F,f)不存在例外簇則存在解.

由文獻[28]的定理4.2可得,當(dāng)B為自反Banach空間,有界閉集為弱緊集,結(jié)合文獻[29]定理3.1,可得下面結(jié)論成立.

定理3.1設(shè)B為自反光滑嚴(yán)格凸的Banach空間,K:B →2B為取閉凸值的連續(xù)凸圖像集值映射,F:B →為具有非空緊凸值的(弱拓?fù)涞椒稊?shù)拓?fù)?上半連續(xù)集值映射,S為有界閉凸集,f:B →R∪{+∞}為真凸下半連續(xù)泛函滿足S ?domf,若x ∈B,對任意的y ∈K(x),f在y上連續(xù),則GMQVI(K,F,f)有解.

注3.1定理3.1將[2,30]的結(jié)果推廣至廣義混合擬變分不等式.

當(dāng)S為無界閉凸集時,引入集值映射的例外簇以及Leray-Schauder擇一定理來探究解的存在性.

定義3.1序列{xr}r>0?S滿足

(i)‖xr‖→∞(r →∞),

(ii)任意的r >0,存在μr >1,vr ∈F(xr),使得則稱{xr}r>0為廣義混合擬變分不等式GMQVI(K,F,f) 的例外簇.

引理3.1[18](Leray-Schauder 定理) 設(shè)U為Banach空間B中的閉子集,0∈int(U),F:U →2B為取非空緊收縮值的緊的上半連續(xù)集值映射.若F沒有不動點,則滿足Leray-Schauder條件:存在(λ?,x?)∈(0,1)×?U,使得x?∈λ?F(x?).

為得到GMQVI(K,F,f)解存在的條件,還需介紹收縮集的定義.

定義3.2設(shè)C為Banach空間中任意子集,若對任意x ∈C,存在連續(xù)映射h:C×[0,1]→C,使得h(x,0)=x,h(x,1)=x0,其中x0∈C,則稱C為可收縮的.

例如,凸集是可收縮的.因為對任意的x0∈C,取映射h(x,λ)=λx0+(1?λ)x,由定義3.2可得C為可收縮的.

下面的結(jié)論體現(xiàn)了GMQVI(K,F,f)的解和例外簇之間的密切聯(lián)系.

定理3.2設(shè)B為自反光滑嚴(yán)格凸的Banach空間,滿足性質(zhì)(h),K:B →2B為取閉凸值的連續(xù)凸圖像集值映射,T=J ?F:B →為取非空緊收縮值的緊的上半連續(xù)集值映射,其中J:B →正規(guī)對偶映射.S為非空無界閉凸集,f:B →R∪{+∞}為下半連續(xù)的真凸泛函.任意x ∈B,任意的y ∈K(x),f在y處連續(xù).如果GMQVI(K,F,f)不存在例外簇,則廣義混合擬變分不等式GMQVI(K,F,f)有解.

而當(dāng)r →+∞時,‖xr‖=r →+∞,故廣義混合擬變分不等式GMQVI(K,F,f) 存在例外簇,與題設(shè)矛盾,故GMQVI(K,F,f)有解.

§4 不存在例外簇的充分性條件

在本節(jié)中,討論當(dāng)可行集S為無界閉凸集時,GMQVI(K,F,f)不存在例外簇的充分條件,從而得到其存在解的充分條件.此外,當(dāng)F是f-偽單調(diào)的情況下,探討GMQVI(K,F,f) 存在解的必要條件.

定理4.1B為自反光滑嚴(yán)格凸的Banach空間,K:B →2B為取閉凸值的連續(xù)凸圖像集值映射,T=J ?F:B →取非空緊凸值的緊上半連續(xù)集值映射,其中J:B →為正規(guī)對偶映射.f:B →R∪{+∞}為真凸下半連續(xù)泛函,S為非空無界閉凸集,對任意x ∈B,若對任意的z ∈K(x),f在z處連續(xù),則下列結(jié)論有(a1)?(a2)?(c) 成立.

由定義2.2可知

則0≤〈(1?μr)J(xr),μrxr ?yr〉<0,得到矛盾,故GMQVI(K,F,f)不存在例外簇.

定理4.2設(shè)B為自反光滑嚴(yán)格凸的Banach空間,K:B →2B為取閉凸值的連續(xù)凸圖像集值映射,T=J ?F:B →為取非空緊凸值的緊上半連續(xù)集值映射,其中J:B →為正規(guī)對偶映射.S為非空無界閉凸集,f:B →R∪{+∞}為真凸下半連續(xù)泛函.任意x ∈B,若對任意的y ∈K(x),f在y處連續(xù),則下列結(jié)論有(b1)?(b2)?(b3)?(c).

(b1) 對任意的x ∈B,存在y ∈K(x),使得

為有界集或空集.

(b2) 對任意的x ∈B,存在K(x)的非空有界子集D,對于任意滿足α ≥1,αx ∈K(x)D的(α,x),存在y ∈D使得

類似于定理4.1中(a2)?(c)的證明可得,廣義混合擬變分不等式GMQVI(K,F,f)不存在例外簇.

注4.1定理4.2 將文[31]中應(yīng)用于變分不等式的三個相應(yīng)條件改進并推廣到廣義混合擬變分不等式GMQVI(K,F,f)上.

以下結(jié)論進一步刻畫了GMQVI(K,F,f)解集的有界性.

定理4.3設(shè)B為自反光滑嚴(yán)格凸的Banach空間,K:B →2B為取閉凸值的連續(xù)凸圖像集值映射,T=J ?F:B →取非空緊凸值的緊的上半連續(xù)集值映射,其中J:B →為正規(guī)對偶映射.f:B →R∪{+∞}為真凸下半連續(xù)泛函,S={x ∈B:x ∈K(x)}為GMQVI(K,F,f)的可行集.當(dāng)S為非空無界閉凸集時,若對任意x ∈B,任意y ∈K(x),f在y處連續(xù),則下列結(jié)論有(c1)?(c2)?(c3)?(d)成立.

(c1) 對任意的x ∈B,存在y ∈K(x),使得

為有界集.

(c2) 對任意的x ∈B,存在K(x)的非空有界子集D,使得任意滿足α ≥1,αx ∈K(x)D的(α,x),存在y ∈D使得

(d) 廣義混合擬變分不等式GMQVI(K,F,f)解集非空有界.

證類似于定理4.2中(b1)?(b2)?(b3) 的證明,可證(c1)?(c2)?(c3).

(c3)?(d): 由定理4.2中(b3)?(c),可得GMQVI(K,F,f)不存在例外簇,結(jié)合定理3.2,可得GMQVI(K,F,f)解集非空.

下證有界性,用反證法.若{xr} ?S為GMQVI(K,F,f)的無界解集,滿足‖xr‖ →+∞(r →∞),由xr為GMQVI(K,F,f)的解,則存在vr ∈F(xr),使得

取式(7)中xr==,取式(8)中v=vr,則相應(yīng)的(7)和(8)矛盾,故廣義混合擬變分不等式GMQVI(K,F,f)解集非空有界.

在F是f-偽單調(diào)的條件下,得到如下關(guān)于GMQVI(K,F,f)解存在的必要性.

定理4.4設(shè)B為自反光滑嚴(yán)格凸的Banach空間,K:B →2B為取閉凸值的連續(xù)凸圖像集值映射,T=J ?F:B →取非空緊凸值的緊上半連續(xù)集值映射,其中J:B →正規(guī)對偶映射,f:B →R∪{+∞}為真凸下半連續(xù)泛函.S={x ∈B:x ∈K(x)}為GMQVI可行集,S為非空無界閉凸集.若對任意x ∈B,任意的y ∈K(x),f在y處連續(xù),則下列結(jié)論有(i)?(ii)?(iii)成立.