一道解析幾何試題的探究與拓展

廣東省河源市龍川縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)(517300) 陳國定

(1)求點(diǎn)N的軌跡方程C;

(2)設(shè)C與x軸交于點(diǎn)A,B(A在B的左側(cè)),點(diǎn)M為C上一動(dòng)點(diǎn)(且不與A,B重合),設(shè)直線AM,x軸與直線x=4 分別交于點(diǎn)R,S,取點(diǎn)E(1,0),連接ER,證明:ER為∠MES的角平分線.

評注以上三種解法從不同的角度解決問題,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性、靈活性、探究性.解法1 以角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等的角度為突破口展開求解,顯然是通法,屬于“舒適區(qū)”范圍;解法2 以二倍角的正切公式為突破口展開求解.該想法也很自然,既然是角平分線,顯然兩個(gè)角是兩倍關(guān)系,只要計(jì)算它們的斜率滿足倍角公式即可,屬于“最近發(fā)展區(qū)”范圍;解法3 以角平分線的向量表示形式為突破口展開求解,該想法有點(diǎn)新穎,卻也在“跳一跳、夠得著”的新發(fā)現(xiàn)區(qū)范圍內(nèi).當(dāng)然,從向量夾角的角度去證明余弦值相等也是一種途徑(證明略).題目雖然解答完畢,但探究還需繼續(xù).既然ER為∠REB平分線,同理可得ET為∠NEB平分線,所以∠RET為直角,那么該圓與直線MN相切于點(diǎn)E嗎? 結(jié)論能否推廣到一般情形呢? 對此,我們有如下的一般結(jié)論:

結(jié)論1 如圖1,已知橢圓C:=1(a >b >0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,右焦點(diǎn)為F,過F作直線l與橢圓交于點(diǎn)M,N兩點(diǎn),直線AM和直線AN分別交直線x=于點(diǎn)R和T,則有:

圖1

這里筆者沒有采用前面三種思路去證明FR,FT為角平分線,進(jìn)而再去推導(dǎo)∠RFT為直角.而是通過聯(lián)立方程組并借助韋達(dá)定理,進(jìn)而算出向量的數(shù)量積為零或斜率積為?1 這一通性通法來證明該結(jié)論.運(yùn)算量相對比較大,而且代數(shù)式中含有大量的字母,會使很多人望而卻步.可解析幾何最大的特點(diǎn)就是將幾何問題坐標(biāo)化,得到方程(組),再進(jìn)行代數(shù)式的化簡或變形運(yùn)算來解決問題,所以運(yùn)算能力是解決解析幾何最核心、最基本的內(nèi)功,更要細(xì)心、耐心地運(yùn)算,跨過畏難怕算的心里障礙.

類似地,在雙曲線和拋物線中也有相應(yīng)的結(jié)論.

結(jié)論2 如圖2,已知雙曲線C:=1(a >b >0) 的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,右焦點(diǎn)為F,過F作直線l與雙曲線交于點(diǎn)M,N兩點(diǎn),直線AM和直線AN分別交直線x=(c2=a2+b2)于點(diǎn)R和T,則有:

圖2

證明過程與橢圓類似,此處省略.

結(jié)論3 如圖3,已知拋物線C:y2=2px的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)分別為A,F,過F作直線l與拋物線交于點(diǎn)M,N兩點(diǎn),直線AM和直線AN分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)R和T,則有:

圖3

所以PF⊥MN.命題得證.

至此,通過以上的推導(dǎo),證明了橢圓、雙曲線及拋物線都具有類似的性質(zhì).在探究過程中采用了由特殊到一般及類比的研究方法,這是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要思想方法.著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過:“在你找到第一個(gè)蘑菇或作出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后,要環(huán)顧四周,因?yàn)樗鼈兛偸浅啥焉L的”.所以,在平時(shí)的教學(xué)中,要對題目進(jìn)行回顧與反思,積極引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題.盡量把題目進(jìn)行探究與推廣,從而達(dá)到會一道題到會一類題的效果,甚至探究到更一般的結(jié)論.這樣不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,還能培養(yǎng)學(xué)生形成積極主動(dòng),勇于探索的學(xué)習(xí)習(xí)慣,同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.