含多個(gè)相干耦合人工原子的單模腔的輸入輸出特性*

鄭赟杰 王晨陽 謝雙媛 許靜平 羊亞平

(同濟(jì)大學(xué)物理科學(xué)與工程學(xué)院,教育部人工微結(jié)構(gòu)材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200092)

在以往的腔量子電動(dòng)力學(xué)(QED)系統(tǒng)中原子氣通常被處理成單個(gè)原子,從而得到諸如拉比劈裂、單光子阻塞等現(xiàn)象.受益于超導(dǎo)電路QED 的發(fā)展,超導(dǎo)量子比特(SQUID)可以被看成人工原子,它們之間通過LC 諧振子失諧的耦合會(huì)構(gòu)成人工原子間的等效相干耦合.基于此,研究了具有相干耦合的多個(gè)人工原子對(duì)單模腔輸入輸出的影響,并從綴飾態(tài)的角度對(duì)透射譜進(jìn)行了分析.結(jié)果發(fā)現(xiàn)包含多個(gè)相干耦合人工原子的單模腔,其透射譜與只含單個(gè)原子的腔顯著不同,更重要的是透射峰的數(shù)目并不會(huì)隨著人工原子數(shù)的增加而增加,最多只有3 個(gè)透射峰.為了解釋這種透射譜的規(guī)律,應(yīng)用全量子理論,計(jì)算了整個(gè)系統(tǒng)在不含耗散時(shí)單能量子情況下的本征值和本征態(tài).原則上,有幾個(gè)粒子,就會(huì)形成幾個(gè)綴飾態(tài),理論上就會(huì)出現(xiàn)幾個(gè)透射峰.然而本文發(fā)現(xiàn)存在一些不包含光子成分的綴飾態(tài),它們并不貢獻(xiàn)透射峰.而原子數(shù)增多后會(huì)出現(xiàn)透射峰劈裂,這對(duì)應(yīng)著能級(jí)避免交叉現(xiàn)象,本文從綴飾態(tài)角度進(jìn)行了說明.從這些綴飾態(tài)的具體形式上很多都具有多體糾纏的性質(zhì).因此采用這樣一種包含多個(gè)相干耦合人工原子的單模腔,將有利于構(gòu)建多體糾纏態(tài),在未來也可以通過透射率的變化,探知腔內(nèi)多體糾纏態(tài)的形式.

1 引言

腔量子電動(dòng)力學(xué)(quantum electrodynamics,QED)的研究歷史可以追溯到1946 年提出的Purcell 效應(yīng)—當(dāng)原子處于一個(gè)與之共振的諧振腔時(shí),其自發(fā)輻射的性質(zhì)會(huì)發(fā)生改變,并受到腔的調(diào)制[1].1963 年,Jaynes-Cummings 模型的提出讓腔QED 的研究進(jìn)入了新的階段[2],后來,研究者們?cè)趯?shí)驗(yàn)上將原子放置在鏡子之間或空腔中,證實(shí)了腔可以大大抑制或增強(qiáng)原子的自發(fā)輻射,并完成了腔QED 的正式命名[3].1985 年,Gardiner 和Collett[4]提出了一種量子彌散理論,不僅考慮了存在熱庫時(shí)的輸入與輸出性質(zhì),而且發(fā)展出了量子朗之萬方程,從而在已知輸入統(tǒng)計(jì)量和其他相關(guān)參數(shù)的條件下,可以計(jì)算系統(tǒng)的輸出.2007 年,基于前人的成果,Auffèves-Garnier 等[5]分析了含一個(gè)兩能級(jí)原子的腔的輸入輸出關(guān)系,包括線性情況下由于原子存在而誘導(dǎo)的全反射,以及當(dāng)輸入場(chǎng)繼續(xù)增強(qiáng)時(shí),原子非線性吸收所產(chǎn)生的透射率變化等.在Alexia 等[5]研究的基礎(chǔ)上,Xu 等[6,7]于2014 年和2017 年詳細(xì)討論了含有兩能級(jí)原子的不對(duì)稱單模腔的光學(xué)雙穩(wěn)態(tài)和輸出光場(chǎng)的量子統(tǒng)計(jì)特性等.而這些工作主要基于單原子模型,即使實(shí)驗(yàn)上采用了原子氣,其實(shí)驗(yàn)結(jié)果依然可以用單原子模型解釋,這是因?yàn)橛捎跓徇\(yùn)動(dòng)使原子之間的相干可以忽略[8].隨著原子冷卻技術(shù)的發(fā)展,原子的位置可以精確操控,因此對(duì)幾個(gè)或多個(gè)原子在腔中的集體輻射行為開始進(jìn)行研究,主要是討論超輻射和亞輻射問題[9?12].在這些研究中,原子之間的相干性很重要,但從相互作用的角度看依然認(rèn)為原子僅與腔模相互作用,原子之間的相干來自于與共同腔模的耦合.

電路QED 的發(fā)展,為拓展QED 的研究范圍和實(shí)現(xiàn)普通腔QED 很難實(shí)現(xiàn)的研究對(duì)象創(chuàng)造了條件[13?15].最近Nie 等[16]使用三維集成電路來構(gòu)建了SQUID(superconducting quantum interference device)的Su-Schrieffer-Heeger 模型,在他們的模型中SQUID 可以看成人工原子,相鄰人工原子之間的相干耦合由失諧的LC 諧振器連接實(shí)現(xiàn).同年,Nie 等[16]利用同類模型研究了拓?fù)鋷对谶吘墤B(tài)量子操縱中的作用,基于拓?fù)淞孔颖忍仃嚵械钠媾继匦?提出了一種光譜學(xué)方法來觀察拓?fù)湎嘧?將可調(diào)的弱探測(cè)場(chǎng)作為腔場(chǎng),與原子陣列的不同本征態(tài)耦合,通過大失諧下的虛光子介導(dǎo)影響量子位的相互作用,主要目的是研究拓?fù)鋷秾?duì)小型量子比特陣列的影響[17].基于Nie 等[16]利用三維集成電路構(gòu)造的人工原子鏈系統(tǒng),本文理論上將多個(gè)相干耦合的人工原子放置在微腔中,探討原子間的相干耦合對(duì)輸入輸出關(guān)系尤其是透射譜的影響,以及與單原子-腔系統(tǒng)的不同之處.此外還利用全量子理論,即將共振的腔與原子陣列視為一個(gè)系統(tǒng),計(jì)算其單光子綴飾態(tài),解釋了透射譜行為,并簡(jiǎn)單討論了通過這樣的相干耦合的多原子-腔系統(tǒng)制備多體糾纏態(tài)的可能性.

本文首先介紹了理論模型和透射譜的計(jì)算方法,展示了透射譜的計(jì)算結(jié)果,討論了人工原子數(shù)目、原子間耦合、原子-腔模耦合、原子的自發(fā)衰減和腔損耗對(duì)透射譜的影響,并利用全量子的綴飾態(tài)理論對(duì)透射譜進(jìn)行了解釋,分析了一些特征透射峰對(duì)應(yīng)的綴飾態(tài),并對(duì)多體糾纏態(tài)進(jìn)行了討論.同時(shí)簡(jiǎn)單討論了腔的耗散與原子的自發(fā)輻射對(duì)透射峰的影響.

2 理論模型和方法

考慮在一維單模微腔中存在規(guī)則排列的多個(gè)SQUID 人工原子,如圖1(a)所示.圓點(diǎn)代表SQUID人工原子,它們可以看成兩能級(jí)的全同粒子,其基態(tài)為|g〉,激發(fā)態(tài)為|e〉,躍遷頻率為ωa.相鄰圓點(diǎn)之間用粗細(xì)線相連,代表它們之間的最近鄰相干耦合.人工原子間的相干耦合得益于量子芯片領(lǐng)域的進(jìn)步,尤其是使用多層制造工藝的三維集成電路的產(chǎn)生與發(fā)展[13?15].在最近的工作中,如圖1(b)所示,在三維超導(dǎo)電路中構(gòu)造了人造原子SQUID 陣列,相鄰人工原子通過LC 諧振器連接起來,LC 諧振器的頻率被調(diào)制成與人工原子大失諧,從而在人工原子與LC 諧振器相互作用時(shí),并不會(huì)有實(shí)光子傳遞到LC 諧振器上.通過對(duì)人工原子和LC 諧振器相互作用的哈密頓量做Schrieffer-Wolff 變換,獲得人工原子間相干耦合的有效哈密頓量,其相干耦合強(qiáng)度可以通過系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)[16].這里考慮偶數(shù)個(gè)人工原子組成的原子鏈,每?jī)蓚€(gè)原子為一組,分別用2n－1 和2n進(jìn)行編號(hào),n為組序號(hào),組內(nèi)原子間的耦合強(qiáng)度為tA,組間相鄰原子間的耦合強(qiáng)度為tB.

圖1 (a) 存在輸入-輸出端口的Su-Schrieffer-Heeger 人工原子鏈-單模腔耦合系統(tǒng)示意圖;(b)三維電路QED 示意圖[16]Fig.1.(a) Schematic diagram of Su-Schrieffer-Heeger artificial atom chain-single-mode cavity coupling system with input-output ports;(b) three-dimensional circuit QED schematic diagram[16].

所有人工原子都與腔模耦合,其耦合強(qiáng)度為?i.此外腔模通過腔壁與左右兩側(cè)的電磁模庫耦合.系統(tǒng)的哈密頓量(?=1)可表示為

其中,a,bk和cl分別是腔模、輸入端口(左側(cè))和輸出端口(右側(cè))處電磁場(chǎng)模的湮滅算符,ωc,ωk和ωl為其相應(yīng)的頻率.Szi=(|e〉〈e|?|g〉〈g|)/2 與是第i個(gè)人工原子的算符.g1與g2分別是腔模和左側(cè)與右側(cè)電磁場(chǎng)模之間的耦合強(qiáng)度.n為原子組的序號(hào),n≥1,原子序號(hào)i可用組號(hào)n表示.

方程(1)中第1 和第2 行代表人工原子鏈的哈密頓量,其中第1 項(xiàng)是自由人工原子的哈密頓量,第2 項(xiàng)是組內(nèi)人工原子之間的相互作用,耦合系數(shù)為tA,第3 項(xiàng)是組間相鄰人工原子間的相互作用,耦合系數(shù)是tB.第3 行第1 項(xiàng)是腔模光子的哈密頓量,第2 項(xiàng)是腔模與人工原子的相互作用,耦合系數(shù)是?i.第4 和第5 行的4 項(xiàng)依次代表左側(cè)、右側(cè)處電磁場(chǎng)模的哈密頓量以及腔模與左側(cè)場(chǎng)模和右側(cè)場(chǎng)模相互作用的哈密頓量.

這里主要討論的是如果入射一束探測(cè)場(chǎng),透射譜是怎么樣的? 多個(gè)原子間的相干耦合是否會(huì)對(duì)透射譜產(chǎn)生影響,以及產(chǎn)生怎樣的影響? 經(jīng)過推導(dǎo)(詳細(xì)過程見附錄A),引入原子的自發(fā)輻射率γi和腔的損耗γcav,得到各算符的期望值a=〈a〉)微分方程為

其中,?=ωL ?ωa和δ=ωL ?ωc分別為入射場(chǎng)與人工原子以及與腔模之間的頻率失諧.bin是單模入射場(chǎng)幅值,bt是透射場(chǎng)幅值.κ1和κ2與g1和g2相關(guān),分別對(duì)應(yīng)左側(cè)和右側(cè)腔鏡的泄漏率,而κ=(κ1+κ2)/2.由于假定腔的品質(zhì)因子很高,所以在后續(xù)計(jì)算中假定γcav≈0 .

在穩(wěn)態(tài)情況下計(jì)算出各個(gè)期望值的穩(wěn)態(tài)值,從而對(duì)于頻率為ωL的弱入射場(chǎng),得到了整個(gè)系統(tǒng)的透射系數(shù):

而對(duì)應(yīng)的透射率為

接下來討論隨著腔內(nèi)人工原子數(shù)的增加以及各種耦合系數(shù)的改變,透射譜的性質(zhì).

3 透射譜的數(shù)值計(jì)算

針對(duì)以上模型,即含有偶數(shù)個(gè)人工原子的單模腔,本節(jié)將計(jì)算隨著弱探測(cè)場(chǎng)頻率變化時(shí)的透射譜,尤其是探索對(duì)透射譜造成影響的各項(xiàng)因素,包括腔內(nèi)人工原子組數(shù)n、人工原子間耦合強(qiáng)度tA與tB,以及人工原子與腔模耦合強(qiáng)度?i,并找出其規(guī)律.在后續(xù)的討論中,令人工原子與腔模共振,即ωa=ωc,左右腔壁的泄漏率相等,即κ=κ1=κ2,所有原子的自發(fā)輻射率一樣,即γi=γ,并以耦合強(qiáng)度?0作為所有系數(shù)的單位.

對(duì)于只存在一個(gè)原子的單模腔,其透射譜的性質(zhì)已經(jīng)很清楚,即原子與腔模共振時(shí)會(huì)發(fā)生拉比劈裂,產(chǎn)生分列于腔模頻率兩側(cè)的雙透射峰,兩個(gè)透射峰的頻率差與原子-腔的耦合系數(shù)成正比.而原子衰減率γ以及腔模泄漏率κ的提高會(huì)使得透射峰的半高寬增寬,κ和γ對(duì)透射峰的具體影響將在第5節(jié)討論.

3.1 腔內(nèi)存在雙原子的情況

首先考慮腔內(nèi)存在一組兩個(gè)人工原子的情況,原子間耦合系數(shù)為tA.在圖2(a)中,令人工原子與腔模的耦合系數(shù)都相等,即?1=?2=?0,計(jì)算透射譜隨著人工原子間耦合系數(shù)tA的變化.從圖2(a)可見,當(dāng)tA=0 時(shí),兩個(gè)人工原子相當(dāng)于一個(gè)大原子,透射峰為典型的拉比劈裂雙峰.逐漸增大tA,透射峰逐漸變成不對(duì)稱的雙峰,且藍(lán)移透射峰(δ >0)的峰值要小于紅移透射峰(δ <0)的峰值,同時(shí)紅移的透射峰的中心頻率逐漸趨近于δ=0 .當(dāng)tA>5?0時(shí),藍(lán)移透射峰消失,只剩下紅移透射峰,即雙峰透射譜變成單峰透射譜.繼續(xù)增大tA,紅移的單峰透射率逐漸增大并趨于1,且透射峰的中心頻率趨向于腔的共振頻率.這可以理解為當(dāng)tA??0時(shí),兩個(gè)人工原子相互耦合,形成綴飾態(tài),但綴飾頻率與原有頻率失諧很大,也與腔模失諧,對(duì)腔模來說相當(dāng)于沒有原子,從而產(chǎn)生了中心頻率在腔模頻率的透射峰.

圖2 腔中存在一組共兩個(gè)人工原子時(shí),透射率隨入射場(chǎng)與腔模失諧 δ 和原子間耦合 tA 的變化 (a)雙原子與腔模的耦合強(qiáng)度一致,?1=?2=?0;(b)雙原子與腔模的耦合強(qiáng)度不同,?1=2?0,?2=0.1?0,采用參數(shù)κ=γ=0.1?0Fig.2.In the case of a set of altogether two artificial atoms in the cavity,transmittance varies with the detuning δ between incident field and cavity mode and interatomic coupling tA : (a) The coupling strength of diatoms and cavity mode is consistent,?1=?2=?0;(b) the coupling strength between diatoms and cavity modes is different,?1=2?0,?2=0.1?0,the parameters are κ=γ=0.1?0 .

在圖2(b)中討論了兩個(gè)人工原子與腔模的耦合強(qiáng)度不同,即?1=2?0,?2=0.1?0時(shí)的透射譜隨人工原子間耦合系數(shù)tA的變化.當(dāng)tA=0 時(shí),雖然兩個(gè)人工原子與腔模的耦合系數(shù)不同,但依然可以看成一個(gè)等效原子,所以透射譜仍呈現(xiàn)為對(duì)稱的拉比劈裂雙峰結(jié)構(gòu).隨著tA開始增大,雙峰的峰值逐漸降低.當(dāng)tA=0.7?0時(shí),在接近失諧δ=0 的頻率處出現(xiàn)了新的透射峰.繼續(xù)增大tA,兩側(cè)的雙峰峰值繼續(xù)降低,而中央透射峰峰值變大,呈現(xiàn)出三峰結(jié)構(gòu).對(duì)比圖2(a)和圖2(b)發(fā)現(xiàn),當(dāng)tA>5?0時(shí),與圖2(a)類似,圖2(b)也由三峰結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)閱畏?且主峰頻率趨向于腔的共振頻率.

由以上結(jié)果可以確認(rèn): 人工原子間的相干耦合對(duì)腔原子系統(tǒng)的透射譜會(huì)產(chǎn)生很大影響.且人工原子與腔模的耦合系數(shù)也會(huì)對(duì)透射譜的形狀產(chǎn)生影響.從上面的討論可知,對(duì)于腔中存在兩個(gè)原子的情況,最多可以存在3 個(gè)透射峰,那么繼續(xù)增加相干耦合的原子數(shù)目,透射峰的數(shù)目是否會(huì)繼續(xù)增加呢?

3.2 腔內(nèi)存在4 個(gè)人工原子的情況

現(xiàn)在考慮腔內(nèi)存在兩組4 個(gè)人工原子的情況.固定組內(nèi)原子間耦合系數(shù)tA=?0,計(jì)算了透射譜隨著組間原子耦合系數(shù)tB的變化,如圖3(a)所示.當(dāng)tB=0 時(shí),兩組原子缺乏關(guān)聯(lián),近似于腔內(nèi)雙原子的情況,對(duì)應(yīng)于圖2(a)中tA=?0時(shí)的雙峰結(jié)構(gòu).但隨著tB的增大,紅移透射峰(δ <0)的峰值基本不變,對(duì)應(yīng)頻率輕微偏向腔的共振頻率,而藍(lán)移透射峰(δ >0)峰值逐漸減小,并逐漸遠(yuǎn)離共振頻率.當(dāng)tB接近于 2?0時(shí),在δ=0 附近出現(xiàn)新的透射峰,繼續(xù)增大tB,其峰值增大并略微藍(lán)移.

而圖3(b)則固定原子間耦合為tA=?0和tB=3?0,展示了原子與腔模耦合強(qiáng)度?對(duì)透射譜的影響.若?=0,原子不與腔相互作用,入射場(chǎng)僅與腔模共振,則在腔的共振頻率處形成單峰透射譜,最大透射率接近1.隨著?的增大,原本的透射峰分裂為紅移、藍(lán)移的雙峰.紅移透射峰的峰值接近0.8 且較為穩(wěn)定,但對(duì)應(yīng)頻率不斷紅移;藍(lán)移透射峰的頻率接近共振,但峰值迅速降低,當(dāng)? >5?0時(shí)峰值忽略不計(jì).與此同時(shí),當(dāng)? >?0時(shí),在頻率δ=3.5?0處出現(xiàn)新的透射峰,隨著?的增大,其峰值增大并線性藍(lán)移.

圖3 的結(jié)果再次驗(yàn)證了: 在4 原子條件下,透射峰的數(shù)量及對(duì)應(yīng)頻率可以通過原子與腔模耦合強(qiáng)度?和原子間耦合強(qiáng)度tA,tB來調(diào)控,但最多只存在3 個(gè)透射峰.

3.3 腔內(nèi)存在6 個(gè)人工原子的情況

當(dāng)腔內(nèi)存在3 組共6 個(gè)人工原子時(shí),與前文類似,透射譜的透射峰數(shù)目并沒有增加,最多只存在三峰,因此選擇一些代表性的計(jì)算結(jié)果加以展示.

如圖4(a)所示,固定組內(nèi)原子間耦合系數(shù)tA=?0,計(jì)算了透射譜隨組間人工原子耦合系數(shù)tB的變化.透射譜變化的過程整體與圖3(a)一致,這說明在采用相同參數(shù)的情況下,原子組數(shù)從2 組增加到3 組基本不會(huì)改變透射譜的演化規(guī)律,tB對(duì)透射譜的影響不會(huì)隨著原子數(shù)的增加發(fā)生質(zhì)的改變.圖4(a)與圖3(a)只存在一些細(xì)節(jié)上的差異,例如透射峰對(duì)應(yīng)頻率與共振頻率的失諧加大,中央透射峰出現(xiàn)時(shí)對(duì)應(yīng)的tB稍大,以及紅移透射峰在tB=4?0附近出現(xiàn)了較為明顯的劈裂現(xiàn)象,如圖中紅框所示.

圖3 腔中存在兩組共4 個(gè)人工原子時(shí),(a) 透射譜隨原子間耦合強(qiáng)度 tB的變化,?=2?0 ;(b) 透射譜隨原子與腔模耦合強(qiáng)度?的變化,tB=3?0 .采用參數(shù)為tA=?0,κ=0.2?0,γ=0.1?0Fig.3.(a) In the case of two sets of altogether four artificial atoms in the cavity,transmission spectrum varies with the interatomic coupling intensity tB ,?=2?0;(b) The transmission spectrum varies with the coupling strength ? between the atom and the cavity mode,tB=3?0 .The parameters are tA=?0,κ=0.2?0,γ=0.1?0 .

圖4 腔中存在3 組共6 個(gè)人工原子時(shí),(a) 透射譜隨原子間耦合強(qiáng)度 tB的變化,?=2?0 ;(b) 透射譜隨原子與腔模耦合強(qiáng)度?的變化,tB=3?0 .采用參數(shù)為 tA=?0,κ=0.2?0,γ=0.1?0,紅圈內(nèi)為本文定義的劈裂Fig.4.(a) In the case of three sets of altogether six artificial atoms in the cavity,transmission spectrum varies with the interatomic coupling intensity tB ,?=2?0;(b) the transmission spectrum varies with the coupling strength ? between the atom and the cavity mode,tB=3?0 .The parameters are tA=?0,κ=0.2?0,γ=0.1?0 .The splits defined in this article are circled in red.

而圖4(b)則固定了原子間耦合為tA=?0和tB=3?0,展示了原子與腔模耦合強(qiáng)度?對(duì)透射譜的影響,結(jié)果與圖3(b)展示的透射譜演化基本一致,說明了隨著原子組數(shù)的增長(zhǎng),原子與腔模耦合強(qiáng)度?對(duì)透射譜的影響幾乎不變.圖4(b)與圖3(b)之間只存在細(xì)節(jié)上的不同,例如透射峰對(duì)應(yīng)頻率與共振頻率的差異加大,中央透射峰隨?的衰減加快,以及紅移透射峰在?=1.5?0附近出現(xiàn)了較為明顯的劈裂現(xiàn)象,如圖中紅框所示.

此外也計(jì)算了4 組共8 個(gè)原子和5 組共10 個(gè)原子的情況,發(fā)現(xiàn)隨著原子組數(shù)的增加,透射譜的性質(zhì)與腔中存在2 組共4 個(gè)原子基本一致,因此不做贅述.然而需要注意的是,在圖4 中紅圈內(nèi)出現(xiàn)的透射峰劈裂并非孤例,實(shí)際上它多有發(fā)生,但由于劈裂的細(xì)微和系統(tǒng)損耗對(duì)透射峰半高寬的影響有時(shí)難以在圖片中顯著呈現(xiàn).如何解釋上述透射譜的變化規(guī)律和透射峰的劈裂,則需要從全量子的角度進(jìn)行分析.

4 用綴飾態(tài)理論解釋透射譜性質(zhì)

本節(jié)根據(jù)全量子理論[18],通過綴飾態(tài)能級(jí)和各能級(jí)的平均光子數(shù)來解釋透射譜的性質(zhì)以及透射峰的劈裂現(xiàn)象.在分析中還發(fā)現(xiàn)各透射峰對(duì)應(yīng)的綴飾態(tài)都是一系列腔內(nèi)糾纏態(tài),這將有利于多體糾纏態(tài)的制備.

因?yàn)楸疚难芯康氖侨豕馊肷鋾r(shí)的輸入輸出問題,屬于線性區(qū)域,在轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的全量子理論時(shí),則是忽略腔的泄漏以及原子的自發(fā)輻射率,僅僅將腔模和原子鏈看成一個(gè)整體,計(jì)算其本征值和本征態(tài)[19,20].由于對(duì)應(yīng)于弱光入射時(shí)的輸入輸出問題,則其希爾伯特空間的選取僅僅考慮單量子空間.這種單量子空間僅考慮只存在一個(gè)激發(fā)子的原子-腔直積態(tài),即其中第1 個(gè)態(tài)表示原子全部處于基態(tài),但腔中存在一個(gè)光子;第2 個(gè)態(tài)表示腔中沒有光子,但第i個(gè)原子處于激發(fā)態(tài).詳細(xì)推導(dǎo)見附錄B.

通過對(duì)角化得到的本征態(tài)是以上直積態(tài)的相干疊加態(tài).若外加探測(cè)場(chǎng)的頻率與本征態(tài)的本征頻率一致,就能激發(fā)這個(gè)本征態(tài).理論上對(duì)于相互作用的多體系統(tǒng),如果有幾個(gè)客體,那么就會(huì)存在幾個(gè)本征態(tài).但是否產(chǎn)生透射峰,則需要根據(jù)(2d)式來判定.從(2d)式可見,透射光幅值bt與腔內(nèi)光場(chǎng)幅值a成正比,因此要想得到透射峰則需要該本征態(tài)中包含光子成分,因此在對(duì)角化后,對(duì)每個(gè)本征態(tài)都計(jì)算其平均光子數(shù),如果平均光子數(shù)不為0,則對(duì)應(yīng)透射峰,且平均光子數(shù)越大,透射率越高.

首先,采用與圖2(a)相同的參數(shù),計(jì)算腔中存在兩個(gè)人工原子時(shí)的本征值和本征態(tài).綴飾態(tài)本征值隨原子間耦合強(qiáng)度tA的變化如圖5(a)所示.可見在任何參數(shù)下都存在3 個(gè)本征態(tài),按照本征值從小到大分別用紅、綠、藍(lán)三色代表不同的本征態(tài).對(duì)比圖2(a)中的透射峰的中心頻率,發(fā)現(xiàn)其與圖5(a)中的兩個(gè)本征值對(duì)應(yīng).此時(shí)有3 個(gè)本征態(tài),但只存在兩個(gè)透射峰.為了解釋該現(xiàn)象,在圖5(b)—(d)中分別計(jì)算了3 個(gè)本征態(tài)的原子占居數(shù)〈Sz1〉,〈Sz2〉和平均光子數(shù)〈a+a〉,并用虛線、點(diǎn)線、實(shí)線表示.由圖5(a)可見,本征態(tài)1 和本征態(tài)2 的本征值在tA=?0處存在避免交叉點(diǎn),已用紅框圈出,圖5(e)為避免交叉點(diǎn)的放大圖.而相應(yīng)地,圖5(b)中本征態(tài)1 的平均光子數(shù)在此處突變?yōu)?,圖5(c)中本征態(tài)2 的平均光子數(shù)在此處由0 突變到圖5(b)中變化前的值.嚴(yán)格來說,這是兩個(gè)存在相互作用的本征態(tài)能級(jí)進(jìn)行了平均光子數(shù)的突變交換.需要注意的是,雖然存在3 個(gè)本征態(tài),但是對(duì)于某一參數(shù),只有兩個(gè)本征態(tài)具有非零的平均光子數(shù),其中圖5(d)顯示本征態(tài)3 始終具有非零的平均光子數(shù),且隨著tA的增大近乎指數(shù)衰減,這對(duì)應(yīng)于圖2(a)中藍(lán)移的透射峰峰值隨著tA快速下降.對(duì)于本征態(tài)1 和2,當(dāng)tA?0時(shí)只有本征態(tài)2 具有非零的平均光子數(shù),平均光子數(shù)隨著tA的增大逐漸趨于1,這對(duì)應(yīng)著圖2(a)中的紅移透射峰峰值逐漸增大.因此,利用單量子綴飾態(tài)很好地解釋了透射峰的性質(zhì).

圖5 腔內(nèi)雙原子條件下,(a)綴飾態(tài)的能級(jí);(b)—(d)各能級(jí)對(duì)應(yīng)的原子占據(jù)數(shù) 〈Szi〉與腔內(nèi)平均光子數(shù) 隨 tA 的變化;(e)避免交叉點(diǎn)放大圖.其他參數(shù)為 ?1=?2=?0 ;按照本征值從小到大分別用紅、綠、藍(lán)三色代表不同的本征態(tài)Fig.5.In the case of two atoms in the cavity,(a) the energy levels of the dressed states;(b)–(d) the corresponding atomic excitation probability of each energy level and the average number of photons in the cavity change with tA ;(e) a larger version of avoid crossing points.The parameters are ?1=?2=?0 .The eigen states are represented by red,green,and blue in order of eigen values from smallest to largest.

此外,綴飾態(tài)還存在更多的應(yīng)用.系統(tǒng)的透射峰與平均光子數(shù)不為零的綴飾態(tài)能級(jí)相對(duì)應(yīng),那么只要調(diào)整入射光的頻率,使其與透射峰對(duì)應(yīng),就能通過計(jì)算綴飾態(tài),來確認(rèn)腔內(nèi)原子與光場(chǎng)的狀態(tài).如果使用恰當(dāng)?shù)膮?shù),再選擇特定的透射峰,就能獲得特定的糾纏態(tài).例如,如圖5(d)所示,選定本征態(tài)3,對(duì)應(yīng)于圖2(a)的藍(lán)移透射峰,當(dāng)原子間耦合tA=1?0時(shí),腔內(nèi)原子與光場(chǎng)的狀態(tài)為

這相當(dāng)于一個(gè)三粒子的最大糾纏態(tài).

四原子的情況與兩原子的情況類似,接下來詳細(xì)分析腔內(nèi)光子與3 組共6 個(gè)人造原子形成的綴飾態(tài),為了便于與前文對(duì)比,采用與圖4(a)相同的參數(shù).如圖6 所示,繪制了腔內(nèi)存在六原子時(shí),綴飾態(tài)能級(jí)圖隨原子間耦合強(qiáng)度tB的變化,不同顏色分別代表不同的能級(jí),并依照本征值的大小編號(hào),能級(jí)大小與圖4(a)的失諧δ相對(duì)應(yīng),而不同線型分別代表6 個(gè)人造原子的激發(fā)概率和腔內(nèi)的平均光子數(shù).與此前類似,本征態(tài)1 與2、本征態(tài)2 與3 的能級(jí)曲線分別在tB=3.15?0,tB=4?0處出現(xiàn)了避免交叉點(diǎn),已用紅框圈出,圖6(i)和圖6(j)為避免交叉點(diǎn)的放大圖.分別對(duì)比圖6(b)和圖6(c)、圖6(c)和圖6(d),可以發(fā)現(xiàn)本征態(tài)1,2 和3 在避免交叉點(diǎn)附近存在耦合,同樣都進(jìn)行了光子數(shù)和原子態(tài)的交換.本征態(tài)1,2 和3 共同對(duì)應(yīng)圖4(a)的紅移透射峰;本征態(tài)4 和6 的平均光子數(shù)始終接近0,對(duì)透射無貢獻(xiàn);本征態(tài)5 對(duì)應(yīng)于接近共振的透射峰;而本征態(tài)7 對(duì)應(yīng)于圖4(a)中逐漸降低的藍(lán)移透射峰.綜上所述,圖6 所畫綴飾態(tài)與圖4(a)的透射譜同樣吻合.

圖6 腔內(nèi)六原子條件下,(a)綴飾態(tài)的能級(jí);(b)—(h)各能級(jí)對(duì)應(yīng)的原子占居數(shù) 〈Szi〉與腔內(nèi)平均光子數(shù)隨 tB 的變化;(i),(j)避免交叉點(diǎn)放大圖.采用參數(shù)為 ?=2?0,tA=?0 ;不同顏色分別代表不同的能級(jí),并依照本征值的大小編號(hào)Fig.6.In the case of six atoms in the cavity,(a) the energy levels of the dressed states;(b)–(h) the corresponding atomic excitation probability of each energy level and the average number of photons in the cavity change with tB ;(i),(j) two larger versions of avoid crossing points.The parameters are ?=2?0,tA=?0 .Different colors represent different energy levels and are numbered according to the magnitude of the eigenvalue.

特別地是,對(duì)于tB=4?0時(shí)本征態(tài)2 與3 的避免交叉點(diǎn),在圖4(a)的透射譜中出現(xiàn)了小小的劈裂,而本征態(tài)1 和2 同樣存在能級(jí)避免交叉現(xiàn)象,卻無法在圖4(a)中觀察到明顯的劈裂.對(duì)比了圖6(b),(c)和(d)中本征態(tài)1,2 和3 的各組分分布,發(fā)現(xiàn)在tB=3.15?0附近兩個(gè)態(tài)的平均光子數(shù)是突變的,而在tB=4?0附近兩個(gè)態(tài)的平均光子數(shù)是連續(xù)變化的.因此,可認(rèn)為當(dāng)兩個(gè)綴飾態(tài)的本征頻率在某一參數(shù)下交疊,但其各自的平均光子數(shù)在這一參數(shù)附近并沒有發(fā)生突變交換,那么在能級(jí)出現(xiàn)避免交叉現(xiàn)象的同時(shí),透射譜中也將展現(xiàn)出明顯的劈裂現(xiàn)象.而圖5(a)中本征態(tài)1 和2 在tA=?0處避免交叉,以及圖6(a)中本征態(tài)1 和2 在tB=3.15?0的避免交叉,他們對(duì)應(yīng)的平均光子數(shù)在這兩個(gè)參數(shù)附近都出現(xiàn)了突變交換,因此雖然這些本征態(tài)之間存在相互作用,但是并沒有在透射譜中產(chǎn)生明顯的劈裂.

避免交叉的概念在核物理、原子物理等諸多領(lǐng)域中十分常見,它存在不同的定義,而我們根據(jù)參考文獻(xiàn)[21],從動(dòng)力學(xué)角度進(jìn)行解釋.需要注意一點(diǎn),本征態(tài)在避免交叉點(diǎn)前后會(huì)交換特征[21],在圖6中的表現(xiàn)為兩個(gè)本征態(tài)的原子占居數(shù)〈Szi〉 和平均光子數(shù)〈a+a〉都出現(xiàn)交換,而平均光子數(shù)的連續(xù)交換則導(dǎo)致了圖4(a)中紅移透射峰的劈裂現(xiàn)象.

腔內(nèi)存在3 組共6 個(gè)原子的情形下,依舊可以采用適當(dāng)?shù)膮?shù),并選擇特定的透射峰,從而制備特定的糾纏態(tài).例如,如圖6 所示,選定能級(jí)3,對(duì)應(yīng)于圖4(a)的紅移透射鋒,當(dāng)原子間耦合tA=8?0時(shí),腔內(nèi)原子與光場(chǎng)的狀態(tài)為

此時(shí),平均光子數(shù)較高,而人工原子鏈中處于首尾對(duì)稱位置的人工原子激發(fā)的概率幅一致,且越靠近原子鏈中心,其激發(fā)越受抑制.

5 原子自發(fā)輻射和腔的損耗

接下來討論原子自發(fā)衰減γ和腔的泄漏率κ對(duì)透射譜的影響,僅選取2 組共4 個(gè)人工原子的情形加以介紹.

如圖7 所示,原子自發(fā)衰減γ和腔的泄漏率κ對(duì)透射峰的中心頻率基本沒有影響,但會(huì)明顯地改變透射峰的半高寬和透射率的大小.對(duì)比圖7(a)與圖7(b),可發(fā)現(xiàn)透射峰的半高寬隨著原子自發(fā)衰減γ的增大而增寬,但透射率卻出現(xiàn)了明顯的下降.再對(duì)比圖7(a)與圖7(c),雖然腔的泄漏率κ對(duì)透射峰峰寬的影響與原子的自發(fā)衰減類似,但透射率反而大幅增長(zhǎng),這一點(diǎn)結(jié)合模型很好理解,κ代表了腔端口處的泄漏率,所以κ的增大有利于光的透射.需要注意的是,透射峰半高寬的增大容易導(dǎo)致相鄰本征態(tài)能級(jí)的透射峰合并,結(jié)合前文,這會(huì)使透射峰劈裂現(xiàn)象有時(shí)難以觀察到.

圖7 (a) κ=γ=0.1?0條件下的透射譜;(b)原子自發(fā)衰減增大后的透射譜,κ=0.1?0,γ=0.5?0 ;(c)腔的泄漏率增大后的透射譜,κ=0.5?0,γ=0.1?0 .采用參數(shù)為?=?0,tA=?0,tB=3?0Fig.7.(a) Transmission spectrum under κ=γ=0.1?0 ;(b) the transmission spectrum after the increase of atomic spontaneous attenuation,κ=0.1?0,γ=0.5?0;(c) the transmission spectrum after the increase of leakage rate of cavity,κ=0.5?0,γ=0.1?0.The parameters are ?=?0,tA=?0,tB=3?0 .

此外發(fā)現(xiàn)透射峰在部分頻率下受到抑制,呈現(xiàn)出尖銳的非對(duì)稱的光譜線形,出現(xiàn)Fano 共振現(xiàn)象.以圖7(c)為例,3 個(gè)透射峰都不遵守對(duì)稱的洛倫茲線形,在δ=0和δ=4?0附近,透射峰受到的抑制尤為明顯.這是入射光頻率作為連續(xù)態(tài)的背景,而腔內(nèi)綴飾態(tài)呈離散態(tài)的響應(yīng),二者相干耦合所導(dǎo)致的非對(duì)稱的Fano 共振光譜[22].

可以總結(jié)出,原子自發(fā)衰減γ和腔的泄漏率κ對(duì)透射譜的影響規(guī)律:γ和κ對(duì)透射峰的對(duì)應(yīng)頻率無明顯影響,但會(huì)顯著改變透射峰的半高寬和透射率的大小.峰的半高寬隨著原子的自發(fā)衰減γ或腔的泄漏率κ的增大而增大,而透射率隨γ的增大而減小,隨著κ的增大而增大.

6 總結(jié)

本文研究了內(nèi)含相干耦合人工原子的單模腔在線性區(qū)域內(nèi)的透射譜性質(zhì),并從單光子綴飾態(tài)角度進(jìn)行了解釋.在光子透射的線性區(qū)域,單模腔內(nèi)至多存在一個(gè)光子,由綴飾態(tài)理論可以猜想透射峰數(shù)目最多為2n+1 個(gè)(n為原子組的序數(shù)),此結(jié)論在單、雙原子的情況下得到驗(yàn)證.但腔內(nèi)原子數(shù)更多時(shí)并不遵循以上規(guī)律,最多只有3 個(gè)透射峰,這是因?yàn)橛行┚Y飾態(tài)中沒有光子成分,不貢獻(xiàn)透射峰.透射峰對(duì)應(yīng)的頻率可以利用原子與腔模耦合強(qiáng)度和原子間耦合強(qiáng)度加以調(diào)控,而原子的自發(fā)衰減和腔的損耗對(duì)透射峰的對(duì)應(yīng)頻率無明顯影響,但會(huì)顯著改變透射峰的峰寬和透射率的大小.雖然本文考慮的SSH 鏈都以2 個(gè)人工原子為一組,但是人工原子數(shù)為奇數(shù)的情形也做過驗(yàn)證,在模型、公式、圖像上都與偶數(shù)個(gè)原子的情形存在些微區(qū)分,不便贅述,但二者遵循相同的演化規(guī)律,本文的主要結(jié)論仍然適用.

基于本工作,將相干耦合的多原子系統(tǒng)與腔模耦合,通過輸入輸出關(guān)系,可利用透射譜測(cè)定原子鏈的耦合、原子與腔模的耦合等變量.實(shí)際應(yīng)用中,可以利用透射譜檢測(cè)腔的品質(zhì)因子、端口的衰減率及原子的自發(fā)輻射常數(shù).單量子綴飾態(tài)的計(jì)算可以解釋透射譜的演變規(guī)律,發(fā)現(xiàn)一些透射峰與綴飾態(tài)一一對(duì)應(yīng),而這些綴飾態(tài)就是一些特殊的多體糾纏態(tài),而糾纏態(tài)中各組分的比重也可以通過調(diào)控原子鏈的耦合、原子與腔模的耦合和入射光的頻率等變量來調(diào)節(jié).對(duì)于如何利用現(xiàn)有結(jié)果進(jìn)行多體糾纏態(tài)的制備,SSH 鏈的拓展以及本模型在拓?fù)漕I(lǐng)域的應(yīng)用,我們將在后續(xù)工作中進(jìn)行細(xì)致和系統(tǒng)的研究.

附錄A: (2a)—(2d)式的推導(dǎo)

針對(duì)系統(tǒng)的哈密頓量方程(1),首先根據(jù)海森伯方程

定義從端口1 入射的入射場(chǎng)算符bin為

將(A3)式對(duì)所有模式k做累加,利用(A4)式,同時(shí)對(duì)有關(guān)腔模湮滅算符a的積分做馬爾科夫近似,可得

最后,可以得到入射場(chǎng)算符bin與反射場(chǎng)算符br、透射場(chǎng)算符bt之間的關(guān)系[4?7](見圖1(a)):

其中,κ1=g12τk,κ2=g22τk為端口1 和端口2 處的腔模泄漏率.

結(jié)合原子的自發(fā)輻射率γ、腔模的耗散率γcav,以及定義腔模通過兩個(gè)端口的總泄漏率κ=(κ1+κ2)/2,并令入射探測(cè)場(chǎng)bin為頻率為ωL的單色場(chǎng),得到了包含各種耗散的系統(tǒng)的海森伯方程:

對(duì)于這種輸入輸出問題,采用平均場(chǎng)近似,利用算符的期望值來代替算符,如s=〈S?〉和場(chǎng)的振幅a=〈a〉,bin=〈bin〉,bt=〈bt〉,同時(shí)假定是弱場(chǎng)輸入,從而對(duì)于所有人工原子可以設(shè)=?1/2,這樣就可以在穩(wěn)定輸入的情況下,計(jì)算透射和反射問題[19,20].

最終得到的Heisenberg-Langevin 方程為

附錄B: 綴飾態(tài)的推導(dǎo)

當(dāng)腔內(nèi)SSH 鏈存在n組原子(2n個(gè)全同粒子),且腔內(nèi)量子數(shù)為1 時(shí),可能存在2n+1 個(gè)本征態(tài)(稱為裸態(tài)),具體為

因?yàn)榫Y飾態(tài)只取決于單模腔和腔內(nèi)SSH 鏈構(gòu)成的系統(tǒng),所以計(jì)算綴飾態(tài)時(shí),須要將(1)式內(nèi)的總哈密頓量簡(jiǎn)化為

將等式(B2)的總哈密頓量分別作用到各個(gè)裸態(tài)上,求出在裸態(tài)基下,總哈密頓量的矩陣元,并整理成矩陣形式:

通過(B3)式,可以求解綴飾態(tài)的本征值(能級(jí)),以及各能級(jí)對(duì)應(yīng)的綴飾態(tài)的表達(dá)式.