基于超導(dǎo)量子系統(tǒng)的量子糾錯(cuò)研究進(jìn)展*

陳子杰 潘嘯軒 華子越 王韋婷 馬雨瑋 李明 鄒旭波 孫麓巖? 鄒長(zhǎng)鈴?

1) (中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué),中國(guó)科學(xué)院量子信息重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,合肥 230026)

2) (清華大學(xué),交叉信息研究院,量子信息中心,北京 100084)

基于量子力學(xué)基本原理的信息處理技術(shù),在計(jì)算、傳感等領(lǐng)域具有遠(yuǎn)超經(jīng)典技術(shù)的巨大潛力.隨著實(shí)驗(yàn)技術(shù)的進(jìn)步,量子調(diào)控技術(shù)得到突飛猛進(jìn)的發(fā)展.在所有的量子信息處理平臺(tái)中,基于固體材料的超導(dǎo)系統(tǒng),具有精確的量子調(diào)控能力、優(yōu)異的量子相干性以及適合大規(guī)模集成化等優(yōu)點(diǎn).因此,超導(dǎo)量子系統(tǒng)成為當(dāng)前最有潛力的量子信息處理平臺(tái)之一.目前的超導(dǎo)芯片能集成約一百個(gè)量子比特,已經(jīng)可以展示量子系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì),但進(jìn)一步的發(fā)展受到系統(tǒng)噪聲的制約.為了突破這一瓶頸,借鑒經(jīng)典信息中的糾錯(cuò)技術(shù)發(fā)展而來(lái)的量子糾錯(cuò)技術(shù)受到廣泛的關(guān)注.本文介紹了超導(dǎo)量子系統(tǒng)中量子糾錯(cuò)的研究進(jìn)展,主要包括超導(dǎo)量子系統(tǒng)的基本原理、常用的量子糾錯(cuò)編碼方案、糾錯(cuò)相關(guān)的控制技術(shù)以及近期超導(dǎo)量子糾錯(cuò)的應(yīng)用.最后,總結(jié)了超導(dǎo)量子糾錯(cuò)領(lǐng)域面臨的七個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題.

1 引言

自1994 年彼得·肖爾(Peter Shor)[1]提出大數(shù)因子分解算法以來(lái),量子信息處理領(lǐng)域就受到了廣泛關(guān)注.后續(xù)的研究證明,量子技術(shù)在計(jì)算、傳感、模擬等領(lǐng)域相較于經(jīng)典技術(shù)具有巨大的優(yōu)越性,科研人員將其視作下一代信息革命的重要戰(zhàn)略方向.良好的疊加性和相干性是量子技術(shù)展示其優(yōu)越性的前提,但現(xiàn)實(shí)的物理系統(tǒng)會(huì)不可避免地與環(huán)境發(fā)生耦合,從而引入各種噪聲,使得量子系統(tǒng)的性能急劇下降,這成為限制當(dāng)前量子技術(shù)發(fā)展的最大瓶頸.針對(duì)這一問(wèn)題,彼得·肖爾[2]借鑒經(jīng)典糾錯(cuò)碼的思想提出了量子糾錯(cuò)的概念,其核心思想是通過(guò)使用多個(gè)物理比特編碼邏輯比特的方式增加信息編碼空間的冗余度,使受到噪聲影響的量子態(tài)可以得到區(qū)分,且能通過(guò)實(shí)時(shí)反饋進(jìn)行糾錯(cuò),從而恢復(fù)原始量子態(tài)以及其中存儲(chǔ)的量子信息.

目前各種物理平臺(tái)都在進(jìn)行量子信息相關(guān)的研究,其中包括了離子阱、冷原子、NV 色心(Nitrogen-Vacancy center)、超導(dǎo)、光學(xué)等平臺(tái).在這些物理平臺(tái)中,超導(dǎo)量子系統(tǒng)具有以下的優(yōu)勢(shì): 首先,超導(dǎo)系統(tǒng)是固態(tài)量子系統(tǒng).基于目前先進(jìn)微納加工技術(shù),超導(dǎo)芯片具有較好的穩(wěn)定性和可拓展性,且其工作頻率、能級(jí)間距以及耦合強(qiáng)度等參數(shù)都可以自由設(shè)計(jì),相對(duì)于其他平臺(tái)更具有靈活性.其次,超導(dǎo)比特具有較好的相干性能.超導(dǎo)量子比特的門(mén)操作時(shí)間一般只需10—100 ns,與之對(duì)應(yīng),常用的基于純鋁材質(zhì)的transmon 量子比特的相干時(shí)間可達(dá)10—100 μs 量級(jí),而三維超導(dǎo)諧振腔的壽命更是突破1 ms[3,4],甚至可以達(dá)到秒量級(jí)[5].最后,超導(dǎo)系統(tǒng)具有較高的連通性.固態(tài)超導(dǎo)量子比特可以與微波光子飛行比特相互耦合實(shí)現(xiàn)米量級(jí)的超導(dǎo)比特之間的信息傳輸[6].除此之外,微波光子也可以進(jìn)一步與聲子、可見(jiàn)光光子等進(jìn)行耦合,實(shí)現(xiàn)多個(gè)不同物理體系之間的信息傳輸[7].

目前超導(dǎo)量子芯片集成的量子比特?cái)?shù)量正在迅速提升.在公開(kāi)學(xué)術(shù)論文報(bào)道中,國(guó)外單位谷歌(Google)、國(guó)際商用機(jī)器公司(IBM)已經(jīng)率先實(shí)現(xiàn)了72 量子比特[8]和27 量子比特[9]的超導(dǎo)芯片.國(guó)內(nèi)相關(guān)研究也處于領(lǐng)先地位,中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)[10]、浙江大學(xué)[11]、中國(guó)科學(xué)院物理研究所[12]、北京量子院[13]等研究單位都具有50 量子比特左右的超導(dǎo)芯片的自主制備與表征能力.

基于當(dāng)前的超導(dǎo)量子芯片的規(guī)模,相關(guān)科研單位已經(jīng)進(jìn)行了帶噪聲的中等規(guī)模量子(noisy intermediate-scale quantum,NISQ)問(wèn)題相關(guān)的探索,展示出了量子優(yōu)勢(shì)[14,15],并在這一過(guò)程中進(jìn)一步發(fā)展了量子近似優(yōu)化算法(quantum approximate optimization algorithm,QAOA)、變分量子本征求解器(variational quantum eigensolver)等新型算法[16,17].另一方面,為了進(jìn)一步提升超導(dǎo)芯片的整體性能以及最終實(shí)現(xiàn)普適量子計(jì)算機(jī),量子糾錯(cuò)方面的研究也得到前所未有的重視.本文以超導(dǎo)量子系統(tǒng)為依托,重點(diǎn)介紹了量子糾錯(cuò)的研究進(jìn)展.第2 節(jié)介紹了超導(dǎo)系統(tǒng)的基本原理,即超導(dǎo)量子系統(tǒng)核心的物理器件以及進(jìn)行量子調(diào)控的方式.第3 節(jié)講述了超導(dǎo)系統(tǒng)中常用的糾錯(cuò)碼,包括表面碼(surface code)在內(nèi)的二能級(jí)編碼以及基于諧振子的玻色編碼,并簡(jiǎn)述了容錯(cuò)量子計(jì)算的相關(guān)概念.第4 節(jié)簡(jiǎn)述了近年來(lái)針對(duì)量子糾錯(cuò)開(kāi)發(fā)的關(guān)鍵控制技術(shù).第5 節(jié)討論了近期量子糾錯(cuò)在度量學(xué)、量子通信以及錯(cuò)誤緩解等領(lǐng)域的應(yīng)用和潛力.最后,總結(jié)了超導(dǎo)量子糾錯(cuò)領(lǐng)域所面臨的7 個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題.

2 超導(dǎo)量子系統(tǒng)的基本原理

目前超導(dǎo)量子芯片最核心的器件是約瑟夫森結(jié)(Josephson junction),其帶來(lái)的非線性使得超導(dǎo)諧振電路具有非簡(jiǎn)諧的能級(jí)分布,可以單獨(dú)控制能級(jí)之間的躍遷.這為量子比特的編碼、調(diào)控以及不同量子比特之間的相互作用提供了基礎(chǔ).

約瑟夫森結(jié)由兩層超導(dǎo)體中間夾一薄絕緣層構(gòu)成,一般由超導(dǎo)鋁及絕緣氧化鋁堆疊組成.在超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度下,超導(dǎo)電路中電子兩兩組合為庫(kù)伯對(duì)形成超導(dǎo)電流,其在約瑟夫森結(jié)內(nèi)的流動(dòng)是無(wú)損耗的.此時(shí)電路等價(jià)于一個(gè)電容并聯(lián)一個(gè)非線性電感的量子LC 電路,從而實(shí)現(xiàn)了非等間距能級(jí)分布.超導(dǎo)量子比特可以編碼在其中最低的兩個(gè)能級(jí)上,通過(guò)合理的設(shè)計(jì)可以使這兩個(gè)能級(jí)與第二激發(fā)能級(jí)的兩組能級(jí)差別巨大,從而實(shí)現(xiàn)編碼空間與其他子空間之間的隔離.目前,大部分超導(dǎo)量子電路的諧振頻率都設(shè)計(jì)在GHz 量級(jí).為了實(shí)現(xiàn)超導(dǎo)態(tài)和約瑟夫森效應(yīng),并抑制GHz 頻段的熱激發(fā),一般還需要通過(guò)稀釋制冷機(jī)將超導(dǎo)芯片冷卻到低至10 mK 的超低溫.

通過(guò)設(shè)計(jì)約瑟夫森結(jié)與外加并聯(lián)電容以及電感可以得到不同構(gòu)型的量子比特,如電荷量子比特、相位量子比特以及磁通量子比特等[18,19].目前,由電荷量子比特改進(jìn)而來(lái)的transmon 比特在國(guó)際上被廣泛使用,其由約瑟夫森結(jié)兩端并聯(lián)一個(gè)大旁路電容組成,如圖1(a)[15]所示.此構(gòu)型使得約瑟夫森結(jié)的能級(jí)對(duì)環(huán)境電荷漲落不敏感,從而具有較長(zhǎng)的相干時(shí)間.目前,國(guó)內(nèi)外科研單位,如中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)[10]、北京量子院[13]、清華大學(xué)[20,21]、中科院物理所[12]、浙江大學(xué)[11]、南京大學(xué)[22]、深圳量子院[23]、谷歌公司[8]、國(guó)際商用機(jī)器公司[9]、蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院[24]、代爾夫特理工大學(xué)[25]等均是基于transmon 比特進(jìn)行研究.

圖1 (a)二維transmon 量子比特結(jié)構(gòu)示意圖(圖片來(lái)自文獻(xiàn)[15]).左右兩邊黃色電路分別表示一個(gè)transmon 量子比特,其中交叉表示約瑟夫森結(jié),其兩端并聯(lián)大旁路電容,而中間的黑色電路表示輔助模式,用于兩個(gè)量子比特之間的可調(diào)耦合.(b)三維超導(dǎo)諧振腔與transmon 量子比特耦合結(jié)構(gòu)示意圖(圖片來(lái)自文獻(xiàn)[45]).橙色和綠色區(qū)域?yàn)楦呒冧X制備的三維超導(dǎo)諧振腔,兩腔通過(guò)鋁塊側(cè)面開(kāi)孔與輔助超導(dǎo)量子比特進(jìn)行耦合.(c)基于二維transmon 量子比特的架構(gòu)(圖片修改自文獻(xiàn)[30]).圖中黃色線路為讀取用微波傳輸線,末端接隔離器和約瑟夫森參量放大器,用于讀取信號(hào)的單向傳輸和放大;綠色區(qū)域?yàn)樽x取諧振腔;淺藍(lán)色區(qū)域?yàn)榭烧{(diào)頻transmon 量子比特,量子比特之間通過(guò)一個(gè)共同的輔助模式B 耦合;紅色線路為transmon 量子比特的微波驅(qū)動(dòng)線,藍(lán)色線路為transmon 量子比特的磁通驅(qū)動(dòng)線.(d)三維諧振腔架構(gòu)拓展示意圖[53].紅色和綠色方塊為transmon 量子比特,淺淥色部分為高Q 超導(dǎo)諧振腔(用于存儲(chǔ)量子信息),灰色部分為低Q 超導(dǎo)諧振腔(用于transmon 量子比特的讀取).諧振腔與transmon 量子比特通過(guò)電容直接耦合Fig.1.(a) Structure of coupled two dimensional (2D) transmon qubits (Reprinted with permission from Ref.[15]).The left and right circuits (yellow) represent two transmon qubits,where each cross represents a Josephson junction and its two ends are coupled with a large capacitor.The middle black circuit represents the auxiliary mode for adjustable coupling between the two qubits.(b) Structure of 3D superconducting cavities coupled with transmon qubits (Reprinted with permission from Ref.[45]).The orange and green parts are the three dimensional (3D) superconducting cavities made of high-purity aluminum,and the two cavities are coupled to the auxiliary superconducting qubits through trenches on the sides of the aluminum block.(c) Architecture based on 2D transmon qubits (Reprinted with permission from Ref.[30]).The yellow lines in the figure are the microwave transmission lines for readout,and are connected with an isolator and a Josephson parametric amplifier,which are used for one-way transmission and amplification of the readout signal.The green parts are the readout resonators.The light blue parts are the tunable transmon qubits,which are coupled by a common auxiliary mode B.The red and the blue lines are the microwave drive and the flux drive lines for the transmon qubits respectively.(d) Architecture based on 3D superconducting resonators[53].The red and green squares are transmon qubits,the light green parts are the high-Q superconducting resonators (for storing quantum information),and the gray parts are the low-Q superconducting resonators (for readout of transmon qubits).The resonator is directly coupled to the transmon qubit through a capacitor.

借助成熟的微波電子學(xué)設(shè)備可以實(shí)現(xiàn)對(duì)超導(dǎo)系統(tǒng)的精準(zhǔn)調(diào)控.通過(guò)對(duì)超導(dǎo)線路施加不同頻率和相位的微波脈沖可以實(shí)現(xiàn)對(duì)單個(gè)transmon 比特的任意單比特門(mén)操作.相對(duì)而言,兩比特門(mén)的實(shí)現(xiàn)較為復(fù)雜,需要兩個(gè)比特之間有相互耦合,而且由于固定的耦合強(qiáng)度會(huì)導(dǎo)致比特狀態(tài)持續(xù)相互影響,引入不可糾正的串?dāng)_錯(cuò)誤,因此大規(guī)模應(yīng)用時(shí)必須保證可以實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)耦合強(qiáng)度.從線路連接的角度上,其中一種方式是通過(guò)兩個(gè)超導(dǎo)比特之間的電容或電感實(shí)現(xiàn)直接耦合,并引入超導(dǎo)量子干涉儀(superconducting quantum interference device,SQUID)

實(shí)現(xiàn)比特的頻率可調(diào)或作為可調(diào)電感,即通過(guò)調(diào)節(jié)超導(dǎo)量子干涉儀的磁通來(lái)調(diào)節(jié)兩個(gè)比特之間的失諧或者耦合系數(shù),進(jìn)而實(shí)現(xiàn)兩比特耦合的調(diào)節(jié).這種方式調(diào)節(jié)應(yīng)用范圍廣、速度快,但容易受到環(huán)境磁通噪聲的影響[18,19].另一種方式是通過(guò)輔助模式間接耦合,其中輔助模式本身頻率可調(diào)且具有一定非線性,故可以通過(guò)調(diào)節(jié)輔助模式頻率來(lái)實(shí)現(xiàn)兩比特耦合的調(diào)諧[26–29].值得注意的是,一個(gè)輔助模式可以連接多個(gè)比特,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)多個(gè)比特的同時(shí)耦合[30].

目前,超導(dǎo)系統(tǒng)的單比特門(mén)誤差已經(jīng)低至0.092%[31],而在單一芯片上特定兩transmon 量子比特間的雙比特門(mén)最高保真度都可以超過(guò) 99% .從物理實(shí)現(xiàn)的角度,雙比特門(mén)可以籠統(tǒng)地分成兩類,其中有代表性的一類是在兩個(gè)比特之間存在直接或間接耦合的情況下,利用快速類方波電壓信號(hào)調(diào)節(jié)比特能級(jí),這種方法實(shí)現(xiàn)的CZ 門(mén)保真度可以達(dá)到 99.7%—99.9%[28,32,33],另一類則是不調(diào)節(jié)比特能級(jí),直接利用高頻微波驅(qū)動(dòng),如通過(guò)交叉共振(cross resonance)效應(yīng)實(shí)現(xiàn)的兩比特CNOT 門(mén),其保真度可以達(dá)到 99.4%—99.7%[9,34].

目前超導(dǎo)量子比特的讀取一般采用色散讀取(dispersive readout)方式[35,36].將transmon 量子比特與一個(gè)讀取諧振腔進(jìn)行色散耦合,當(dāng)比特處在不同狀態(tài)時(shí),讀取腔的頻率發(fā)生偏移,此時(shí)探測(cè)讀取腔的頻移即可判斷比特狀態(tài),實(shí)現(xiàn)對(duì)量子比特量子態(tài)的投影測(cè)量.由于對(duì)讀取腔的探測(cè)不與比特發(fā)生直接能量交換,量子比特的狀態(tài)可以在測(cè)量完成后得到保持,這種讀取方式比較容易實(shí)現(xiàn)量子非破壞性測(cè)量(quantum non-demolition measurement,QND).為了提高讀取速度,需要讀取腔與測(cè)量電路的耦合比較強(qiáng),此時(shí)transmon 量子比特的壽命會(huì)受到讀取腔珀塞爾(Purcell)效應(yīng)的限制[37],因此還需要增加珀塞爾濾波器來(lái)保護(hù)比特,使比特的能量不容易通過(guò)讀取腔泄漏到測(cè)量電路中[38,39].為提高讀取保真度,一般還需要使用約瑟夫森參量放大器(Josephson parametric amplifier,JPA)[40]對(duì)讀取信號(hào)進(jìn)行放大.此類放大器利用約瑟夫森結(jié)的非線性效應(yīng),可實(shí)現(xiàn)20 dB 的放大效果和接近量子極限的信噪比[41,42].在合適的信號(hào)放大鏈路的輔助下,目前可以實(shí)現(xiàn)單發(fā)測(cè)量(single shot)保真度大于 99% ,讀取時(shí)間小于 100 ns[43],僅相當(dāng)于數(shù)個(gè)單比特門(mén)的時(shí)間,因此易于實(shí)現(xiàn)基于測(cè)量的反饋糾錯(cuò)、比特重置等操作.

如前文所述,量子比特可以直接編碼在transmon 等非線性結(jié)構(gòu)的能級(jí)上,此外,還可以在此基礎(chǔ)上將transmon 量子比特與高品質(zhì)因子的線性超導(dǎo)腔進(jìn)行色散耦合,利用超導(dǎo)腔來(lái)編碼和存儲(chǔ)量子信息,而transmon 量子比特作為輔助比特對(duì)超導(dǎo)腔進(jìn)行控制.由于超導(dǎo)諧振腔的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,可以很好地束縛腔內(nèi)電磁場(chǎng),且外圍線路較少?gòu)亩鴾p少電磁環(huán)境噪聲的干擾,因而超導(dǎo)腔一般具有很高的相干時(shí)間.采用純度高的鋁材(純度5N5,99.9995%),經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臋C(jī)械加工和化學(xué)刻蝕工藝制成的超導(dǎo)腔的Q值可以達(dá) 109[44].圖1(b)[45]是transmon 比特與兩個(gè)三維超導(dǎo)腔耦合的結(jié)構(gòu)示意圖,其中Q值較高的腔相干時(shí)間較長(zhǎng),用于量子態(tài)的存儲(chǔ),而Q值較低的腔用于系統(tǒng)狀態(tài)的測(cè)量.目前耶魯大學(xué)以及清華大學(xué)超導(dǎo)課題組均采用這一架構(gòu),此外,亞馬遜公司(Amazon Web Services)也計(jì)劃使用這一架構(gòu)進(jìn)行相關(guān)糾錯(cuò)研究[46],蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院也計(jì)劃將這一架構(gòu)拓展至聲子[47].

超導(dǎo)量子系統(tǒng)的主要非相干噪聲來(lái)自于外界電磁場(chǎng)的漲落、比特與外界真空?qǐng)鲆约芭c基底材料中雜質(zhì)之間的耦合.這些噪聲會(huì)導(dǎo)致比特的熱激發(fā)、自發(fā)輻射以及退相位.相關(guān)的物理過(guò)程表示成主方程形式即為

提升超導(dǎo)量子比特的相干時(shí)間和量子操作保真度是未來(lái)實(shí)現(xiàn)量子糾錯(cuò)并達(dá)到容錯(cuò)量子計(jì)算的前提.為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo),在硬件上一方面可以通過(guò)改良超導(dǎo)比特的材質(zhì)和制造工藝,如普林斯頓大學(xué)[48]和北京量子院[49]使用金屬鉭替代鋁制備超導(dǎo)電路,使得transmon 量子比特最長(zhǎng)相干時(shí)間提升至500 μs[49];另一方面可以嘗試改變比特的電路架構(gòu),制備不同類型的比特,從比特哈密頓量設(shè)計(jì)層面降低噪聲源對(duì)比特性質(zhì)的影響,如約瑟夫森結(jié)并聯(lián)一個(gè)較大電感的fluxonium 架構(gòu)等[50].此外,對(duì)于多量子比特系統(tǒng),還需要考慮比特之間微波信號(hào)串?dāng)_和殘余耦合等帶來(lái)的關(guān)聯(lián)噪聲,可以通過(guò)優(yōu)化微波線路和操控方式[51]、增加可調(diào)耦合器[52]等方式抑制關(guān)聯(lián)噪聲.

3 量子糾錯(cuò)編碼方案

由于與環(huán)境的耦合,實(shí)際物理體系中存在著各種噪聲,環(huán)境噪聲會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的退相干并破壞量子態(tài)中的信息,且計(jì)算過(guò)程中控制偏差會(huì)不斷地積累.這些因素使得量子計(jì)算的精度隨著線路深度的增加而急劇下降,這是當(dāng)前量子信息領(lǐng)域的挑戰(zhàn).

為了對(duì)抗噪聲,彼得·肖爾[2]在1995 年對(duì)經(jīng)典計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中的糾錯(cuò)碼思想進(jìn)行了推廣,提出了最簡(jiǎn)單的量子糾錯(cuò)碼—三量子比特的重復(fù)碼(repetition code)用來(lái)糾正比特的位翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤.隨后發(fā)現(xiàn)的閾值定理告訴我們,當(dāng)門(mén)操作的噪聲低于某個(gè)閾值的時(shí)候,人們總是能夠在可接受的資源需求下通過(guò)多級(jí)糾錯(cuò)碼級(jí)聯(lián)的方式擴(kuò)大編碼距離,增加更多的信息冗余,實(shí)現(xiàn)任意精度的量子計(jì)算,即所謂的容錯(cuò)量子計(jì)算[54,55].相對(duì)于經(jīng)典糾錯(cuò)碼,量子糾錯(cuò)碼的構(gòu)建更加復(fù)雜.這是因?yàn)榱孔酉到y(tǒng)會(huì)受到量子定律的限制,例如量子不可克隆定律會(huì)限制非正交的未知量子態(tài)的精確復(fù)制,因此量子糾錯(cuò)碼無(wú)法通過(guò)簡(jiǎn)單的復(fù)制來(lái)增加冗余.幸運(yùn)的是,1997 年尼爾(Knill)和拉夫勒蒙(Laflamme)[56]證明了著名的K-L 糾錯(cuò)條件,其可進(jìn)一步概括成以下形式[57]: 對(duì)于量子編碼C及其投影算符P,在噪聲信道作用下以C為編碼的量子態(tài)可以被恢復(fù)的充要條件是

其中α為厄密矩陣,Ei為信道對(duì)應(yīng)的克勞斯(Kraus)算符.如圖2 所示,從希爾伯特(Hilbert)空間來(lái)看,編碼操作將待保護(hù)比特上的量子態(tài)(圖中黃色箭頭)映射至編碼空間中(圖中藍(lán)色圓圈),而滿足上述K-L 條件的噪聲將邏輯編碼空間投影到不同的正交子空間中,并且這些子空間內(nèi)部不發(fā)生形變,后續(xù)的錯(cuò)誤診斷通過(guò)對(duì)投影算符的測(cè)量,得知量子態(tài)所在的子空間(如圖中綠色圓圈),從而推斷出量子態(tài)所遭受的噪聲并進(jìn)行反饋糾錯(cuò)操作,編碼空間中的量子態(tài)就得以恢復(fù).這一點(diǎn)可以從以下過(guò)程看出: 由于α為厄密矩陣,故存在一個(gè)幺正矩陣U可以對(duì)α進(jìn)行對(duì)角化,即α=U?dU,其中d為對(duì)角矩陣.定義,由于克勞斯算符和表示具有酉自由度,即由幺正演化聯(lián)系的{Ei}和{Fk}都表示同一噪聲信道,通過(guò)這樣定義的{Fk},K-L 條件可以表示為

圖2 糾錯(cuò)流程圖.藍(lán)色的圓圈表示編碼空間,綠色的圓圈表示錯(cuò)誤空間,黃色的箭頭表示要保護(hù)的量子態(tài)Fig.2.Diagram of quantum error correction.The blue circles represent the code space,the green circles represent the error space,and the yellow arrows represent the quantum states to be protected.

在實(shí)際物理系統(tǒng)中的噪聲形式是多種多樣的,但是當(dāng)噪聲很弱且獨(dú)立地作用于不同物理比特的時(shí)候,只要能糾正編碼中任意單比特上的相位翻轉(zhuǎn)噪聲、位翻轉(zhuǎn)噪聲以及兩者同時(shí)發(fā)生的情況,即就可以糾正任意單個(gè)比特上的任意獨(dú)立噪聲.

自量子糾錯(cuò)概念提出以來(lái),已經(jīng)有相當(dāng)多的基于不同思想構(gòu)造出來(lái)的量子糾錯(cuò)碼.其中1996 年由戈特斯曼(Gottesman)[58]總結(jié)的穩(wěn)定子碼是非常重要的一類量子碼,其涵蓋了表面碼、顏色碼等多種類型的編碼.如果一種糾錯(cuò)碼的邏輯態(tài)空間是一組互相對(duì)易的算符{Os}的+1 本征空間,則稱這種編碼為穩(wěn)定子碼,而Os是這種編碼的穩(wěn)定子.一般而言,選擇泡利群的子群S來(lái)作為編碼的穩(wěn)定子會(huì)較為方便,這是因?yàn)榕堇旱娜涸刂挥袑?duì)易和反對(duì)易兩種對(duì)易關(guān)系,而且位翻轉(zhuǎn)噪聲和相位翻轉(zhuǎn)噪聲都在此群中.若S被其生成元{g1,···,gn?k}所描述,可以證明n個(gè)物理比特在S群的穩(wěn)定下可以編碼 2k維的子空間,即k個(gè)邏輯比特.對(duì)錯(cuò)誤的診斷過(guò)程只需要對(duì)所有的生成元進(jìn)行測(cè)量即可:當(dāng)發(fā)生錯(cuò)誤且錯(cuò)誤滿足K-L 條件的時(shí)候,生成元算符的測(cè)量結(jié)果會(huì)發(fā)生改變,從而能檢測(cè)出對(duì)應(yīng)的錯(cuò)誤類型并隨后可以加以糾正.

具體到超導(dǎo)系統(tǒng),量子信息編碼主要可以分成兩種類型.一種是二能級(jí)類型,適用于transmon量子比特的架構(gòu),只使用其最低能量的兩個(gè)量子態(tài)作為物理比特的編碼空間,因此需要通過(guò)增加比特?cái)?shù)量來(lái)增大希爾伯特空間冗余度來(lái)實(shí)現(xiàn)糾錯(cuò).另一種是玻色模式類型,適用于超導(dǎo)輔助比特與諧振腔耦合的架構(gòu),利用腔的多個(gè)能級(jí)進(jìn)行編碼.由于單個(gè)腔就支持無(wú)窮大的希爾伯特空間,故其具有多種編碼方式,既可以截?cái)嘞柌乜臻g至有限的維度進(jìn)行編碼,如二項(xiàng)式編碼(binomial code)[59],也可以使用整個(gè)希爾伯特空間進(jìn)行連續(xù)變量類型的編碼,如貓態(tài)編碼(cat code)[60,61]和GKP 編碼(Gottesman-Kitaev-Preskill code)[62].注意,各種編碼之間的區(qū)分并不是非常嚴(yán)格,而且是可以相互級(jí)聯(lián)的,如可以使用玻色編碼作為底層二能級(jí)系統(tǒng),然后再級(jí)聯(lián)二能級(jí)編碼可以增加編碼的糾錯(cuò)能力[63–66].

3.1 二能級(jí)類型糾錯(cuò)碼

二能級(jí)類型編碼的思想是以二能級(jí)的量子比特為基礎(chǔ),通過(guò)增加物理比特?cái)?shù)目來(lái)增強(qiáng)糾錯(cuò)碼的糾錯(cuò)能力.按照實(shí)現(xiàn)方式的差異,底層物理比特又可以分成兩種類型,一種是無(wú)源量子比特,通過(guò)構(gòu)造超導(dǎo)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),使得系統(tǒng)的兩個(gè)基態(tài)能級(jí)與其他能級(jí)之間的躍遷能量較大,則可以利用這兩個(gè)能級(jí)實(shí)現(xiàn)相對(duì)隔離的二維空間來(lái)進(jìn)行量子比特編碼.超導(dǎo)transmon 量子比特最簡(jiǎn)單的編碼方式就是使用能量最低的兩個(gè)能級(jí)進(jìn)行編碼.由于約瑟夫森結(jié)的非簡(jiǎn)諧性,在驅(qū)動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)躍遷至第三及以上能級(jí)的概率可以忽略不計(jì),從而使系統(tǒng)基本處于編碼空間內(nèi).另一種是有源量子比特,通過(guò)外加連續(xù)的驅(qū)動(dòng)或者構(gòu)造某種形式的耗散來(lái)調(diào)節(jié)系統(tǒng)與環(huán)境的耦合形式并構(gòu)造新的基態(tài)能級(jí),從而實(shí)現(xiàn)更好相干性能的二維空間[67],例如后文所述的耗散型貓態(tài)編碼(dissipative cat code).

為了描述以二能級(jí)量子比特為基礎(chǔ)的編碼的糾錯(cuò)能力,一般用 [[n,k,d]] 表示n個(gè)物理比特編碼k個(gè)邏輯比特且碼距為d的編碼方案,其可以對(duì)抗任意個(gè)物理比特上的噪聲.此外,上述的參數(shù)可以進(jìn)一步推廣至以任意d個(gè)能級(jí)為基礎(chǔ)的編碼,即qudit.

基于二能級(jí)物理比特的糾錯(cuò)碼包括多種類型的編碼,其中超導(dǎo)系統(tǒng)相關(guān)實(shí)驗(yàn)中比較常見(jiàn)的是重復(fù)碼(repetition code)及表面碼(surface code)等.

3.1.1 重復(fù)碼

重復(fù)碼是最早提出的量子糾錯(cuò)碼,其能對(duì)抗物理比特上的位翻轉(zhuǎn)噪聲,即 .重復(fù)碼的編碼方式也最為簡(jiǎn)單,n個(gè)比特(n須為奇數(shù))重復(fù)碼的邏輯態(tài)為|0L〉=|0〉?n,|1L〉=|1〉?n,碼 距d=n.從穩(wěn)定子的角度來(lái)看,其對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定子只涉及到鄰近的兩個(gè)比特,即(i=1,2,···,n ?1),因此重復(fù)碼的錯(cuò)誤診斷以及糾錯(cuò)操作均可容易地在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)[25,68–73].但是由于其無(wú)法糾正單比特上的相位翻轉(zhuǎn)()噪聲,故實(shí)際效果受限.前文所述的這種重復(fù)碼一般也稱為位翻轉(zhuǎn)編碼.此外,借鑒其思想可以將邏輯比特編碼為|0L〉=|+〉?n,|1L〉=|?〉?n,則能糾正物理比特上的相位翻轉(zhuǎn)噪聲,即這種重復(fù)碼一般稱為相位翻轉(zhuǎn)編碼.

3.1.2 表面碼

量子糾錯(cuò)編碼不僅需要同時(shí)抵抗單個(gè)物理比特上的位翻轉(zhuǎn)和相位翻轉(zhuǎn)噪聲也要考慮到實(shí)際物理系統(tǒng)的限制.一般而言,要盡可能地使用物理比特的局域操作實(shí)現(xiàn)邏輯比特的操作,盡量避免使用物理比特間多體的和長(zhǎng)程的相互作用,盡可能在二維平面上排列比特以及具有較高的容錯(cuò)閾值.表面碼是能較好地滿足上述限制的編碼之一,因而得到廣泛的關(guān)注.

表面碼的概念源于基塔耶夫(Kitave)[74]在1997 年提出的環(huán)面碼(toric code).環(huán)面碼中物理比特之間的相互作用形式等價(jià)于將每個(gè)物理比特放置于環(huán)面之上,且只與其近鄰的比特相互作用.隨后環(huán)面碼被推廣至平面[75],即為表面碼[76].表面碼利用拓?fù)湮镔|(zhì)不受局域操作影響的思想,將量子信息編碼在整個(gè)區(qū)域中,即使局部的少數(shù)幾個(gè)物理比特發(fā)生錯(cuò)誤也不會(huì)影響整體的信息.圖3(a)所示的是碼距d=8 的表面碼,其主要由兩種比特構(gòu)建而成.一種是數(shù)據(jù)量子比特,用于儲(chǔ)存系統(tǒng)的邏輯量子態(tài),在圖中用每條網(wǎng)格線邊上的白點(diǎn)表示,共有d2+(d ?1)2個(gè).另一種是輔助量子比特,用于對(duì)其近鄰的數(shù)據(jù)量子比特不斷地進(jìn)行錯(cuò)誤診斷,即對(duì)穩(wěn)定子算符進(jìn)行測(cè)量.穩(wěn)定子算符也可以分成兩種,第一種是以圖中的黃色菱形為例的A類型穩(wěn)定子算符,其由菱形的四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)量子比特的算符組成,即A=.這種穩(wěn)定子算符一共有d(d ?1) 個(gè),每個(gè)都可以對(duì)應(yīng)一個(gè)放置于網(wǎng)格線交點(diǎn)處的黃色菱形(左右邊界上的A型穩(wěn)定子由三個(gè)物理比特的算符組成).第二種是以圖中的藍(lán)色圓形為例的B類型穩(wěn)定子算符,其由圓形周圍四個(gè)數(shù)據(jù)量子比特的算符組成,即B=這種穩(wěn)定子算符一共也有d(d ?1)個(gè),同理,每個(gè)也都可以對(duì)應(yīng)一個(gè)放置于網(wǎng)格中的藍(lán)色圓形(上下邊界中的B型穩(wěn)定子由三個(gè)物理比特的算符組成).

對(duì)于碼距為d的表面碼,邏輯的實(shí)現(xiàn)至少需要對(duì)其中任意一行d個(gè)數(shù)據(jù)比特都做局域操作,如圖3(a)中的紅色陰影線,而邏輯操作至少需要任意一列d個(gè)數(shù)據(jù)比特都做局域操作,如圖3(a)中藍(lán)色陰影線.由于相差若干個(gè)穩(wěn)定子不會(huì)改變邏輯算符的作用,所以可以在藍(lán)色陰影線的基礎(chǔ)上不斷作用B類型穩(wěn)定子算符,從而得到其他等價(jià)的邏輯,如綠色陰影線.這些邏輯算符都連接了表面碼的上下邊界,同理所有的邏輯都連接了左右邊界.由于等價(jià)邏輯操作的存在,只有當(dāng)一行或者一列中一半及以上的數(shù)據(jù)比特發(fā)生比特位翻轉(zhuǎn)或者相位翻轉(zhuǎn)才會(huì)導(dǎo)致邏輯錯(cuò)誤,因此表面碼對(duì)于局域噪聲有著很強(qiáng)的抵抗能力.勞森多夫(Raussendorf)及其合作者[77–79]證明,在只使用單比特門(mén)以及近鄰兩比特門(mén)的前提下,表面碼的容錯(cuò)閾值可以達(dá)到 0.75% .

圖3 (a)d=8的表面碼及其邏輯算符 與 的 示意圖.圖中網(wǎng)格的每條邊上都有一個(gè)白點(diǎn)表示一個(gè)數(shù)據(jù)量子比特.黃色菱形以及藍(lán)色圓形分別表示其中一個(gè)A 和B 類型的穩(wěn)定子.藍(lán)色和紅色陰影線分別表示邏輯編碼的和 算符.綠色陰影線表示藍(lán)色陰影線對(duì)應(yīng)的算符乘上一個(gè)穩(wěn)定算符,其也是邏輯 算符.(b)和(c)分別是A,B 類型穩(wěn)定子算符測(cè)量的量子線路圖.此圖由文獻(xiàn)[76]改編Fig.3.(a) Schematic of d=8 surface code and the corresponding logical operators and .The white dots on each edge of the grid represent data qubits.The yellow diamonds and the blue circles represent A and B types of stabilizers,respectively.The blue and red shaded lines represent the logical and operators,respectively.The green shaded line represents the operator corresponding to the blue shaded line multiplied by a stablizer operator,which is also the logical operator.(b) and (c) are quantum circuits that measure the stabilizer operators of type A and B,respectively.This figure is adapted from Ref.[76].

錯(cuò)誤診斷是表面碼糾錯(cuò)的基礎(chǔ).從物理架構(gòu)來(lái)看,可以在每個(gè)黃色菱形以及藍(lán)色圓形中心放置一個(gè)輔助比特,這樣只需要通過(guò)輔助比特與數(shù)據(jù)比特之間的鄰近相互作用就可以進(jìn)行錯(cuò)誤診斷,對(duì)應(yīng)的量子線路如圖3(b)和圖3(c)所示.具體來(lái)說(shuō),當(dāng)由生成元集合{gi}所穩(wěn)定的狀態(tài)經(jīng)歷幺正演化U之后,新的狀態(tài)會(huì)被所穩(wěn)定.由可知,如圖4(a)所示,當(dāng)a比特上(圖中紅色交叉所示)發(fā)生比特位翻轉(zhuǎn)噪聲時(shí),以此比特為頂點(diǎn)的兩個(gè)B類型的穩(wěn)定子(圖4(a)中的兩個(gè)藍(lán)色圓圈)的測(cè)量結(jié)果均出現(xiàn)翻轉(zhuǎn),而A類型穩(wěn)定子的結(jié)果不翻轉(zhuǎn),從而可以實(shí)現(xiàn)對(duì)單個(gè)比特位翻轉(zhuǎn)噪聲的錯(cuò)誤診斷.一般來(lái)說(shuō),測(cè)量結(jié)果出現(xiàn)翻轉(zhuǎn)的穩(wěn)定子對(duì)應(yīng)的位置稱為缺陷.如圖4(b)中連續(xù)的多個(gè)比特位翻轉(zhuǎn)噪聲導(dǎo)致一條錯(cuò)誤鏈,鏈的兩端各有一個(gè)缺陷.如圖4(c),對(duì)于左右邊界上的比特發(fā)生位翻轉(zhuǎn)只會(huì)在網(wǎng)格中引起一個(gè)缺陷,另一個(gè)缺陷可以視作處于左右邊界外.上下邊界發(fā)生相位翻轉(zhuǎn)噪聲同理.

多種噪聲也可能會(huì)對(duì)應(yīng)同一個(gè)錯(cuò)誤癥狀,如圖4(b)的綠色和藍(lán)色陰影線上的比特位翻轉(zhuǎn)都會(huì)導(dǎo)致同樣的錯(cuò)誤癥狀(對(duì)于圖4(c)中的黃色線和淺綠色線同理),但是只要實(shí)際的噪聲E與糾錯(cuò)操作E′之間只相差若干個(gè)穩(wěn)定子算符,那么都可以糾正錯(cuò)誤.由此可見(jiàn),只要E′E在網(wǎng)格中形成一條完整的“閉合曲線”且曲線不同時(shí)連接表面碼的左右邊界,就可以糾正錯(cuò)誤.具體來(lái)說(shuō),圖4(c)中黃色線和淺綠色線在左邊界與網(wǎng)格上缺陷形成了閉合曲線,所以也可以糾正錯(cuò)誤,但是圖4(d)部分所示的E′E同時(shí)連接了左右邊界,因而導(dǎo)致了邏輯錯(cuò)誤.在實(shí)際過(guò)程中錯(cuò)誤診斷對(duì)應(yīng)的情況遠(yuǎn)比圖示復(fù)雜,需要借助算法對(duì)錯(cuò)誤癥狀進(jìn)行自動(dòng)識(shí)別,如最小權(quán)重算法[80]和最大似然算法[81].在實(shí)際糾錯(cuò)過(guò)程中,錯(cuò)誤的糾正可不執(zhí)行相應(yīng)的門(mén)操作,只需要加以標(biāo)記,采用所謂的泡利框架(Pauli frame)[82]的方式,先記錄發(fā)生的噪聲,在后續(xù)的門(mén)操作中再做糾正處理,此時(shí)系統(tǒng)的量子態(tài)是新的穩(wěn)定子?A的本征態(tài).

圖4 表面碼的錯(cuò)誤癥狀及糾錯(cuò)操作示意圖.圖中紅色交叉表示對(duì)應(yīng)物理比特發(fā)生了位翻轉(zhuǎn)噪聲,藍(lán)色圓形表示測(cè)量結(jié)果異常的B 類型穩(wěn)定子的位置,即缺陷的位置,陰影線均表示對(duì)線上的物理比特執(zhí)行的 操作.四個(gè)區(qū)域分別對(duì)應(yīng)以下情況: (a)網(wǎng)格中單個(gè)比特發(fā)生噪聲產(chǎn)生了兩個(gè)相鄰的缺陷;(b)網(wǎng)格中的連續(xù)的幾個(gè)比特發(fā)生噪聲產(chǎn)生了位于錯(cuò)誤鏈兩端的缺陷,而藍(lán)色和綠色陰影線對(duì)應(yīng)的操作均能糾正邏輯錯(cuò)誤;(c)含有網(wǎng)格左邊界的比特的錯(cuò)誤鏈導(dǎo)致單個(gè)缺陷的產(chǎn)生,淺綠色和黃色的陰影線對(duì)應(yīng)的操作均能糾正邏輯錯(cuò)誤;(d)含有網(wǎng)格左邊界的比特的錯(cuò)誤鏈導(dǎo)致單個(gè)缺陷的產(chǎn)生,紅色陰影線對(duì)應(yīng)的操作能糾正邏輯錯(cuò)誤,但是紫色陰影線的操作會(huì)導(dǎo)致無(wú)法被錯(cuò)誤診斷識(shí)別的邏輯錯(cuò)誤Fig.4.Schematic of error syndromes and error correction operations of surface codes.The red cross in the figure indicates a bit-flip error occuring in the corresponding physical qubit,while the blue circle indicates the position of the B type stabilizer with abnormal measurement results,i.e.,the position of the defect,and the shaded lines indicate an operation performed on each of the physical qubit on the line.The four areas correspond to the following situations:(a) A single bit-flip error in the grid results in two adjacent defects.(b) Several consecutive bit-flip errors in the grid result in two defects located at the two ends of the error chain.Both the blue and green shaded lines can correct these errors.(c) The error chain containing a qubit on the left boundary of the grid results in a single defect,and the operations corresponding to either the light green or the yellow shaded line can orrect these errors.(d) The error chain containing a qubit on the left boundary of the grid results in a single defect.The operation corresponding to the red shaded line can correct these errors,but the operation corresponding to the purple shaded line causes a logic error that cannot be identified by the error syndrome.

表面碼的邏輯編碼空間由哈密頓量H=的兩個(gè)簡(jiǎn)并基態(tài)能級(jí)構(gòu)成,這一物理體系具有許多拓?fù)湫再|(zhì),成功地建立了糾錯(cuò)碼研究與拓?fù)湮飸B(tài)研究的關(guān)聯(lián)[83].具體來(lái)說(shuō),表面碼的邏輯態(tài)可以用穩(wěn)定子算符表示為|0L〉∝,其對(duì)應(yīng)的初態(tài)制備的方式有兩種: 第一種方式需要先制備 |0〉?n,注意到此量子態(tài)是所有穩(wěn)定子Bp以及邏輯算符的 +1 本征態(tài);然后需要對(duì)所有的穩(wěn)定子As進(jìn)行測(cè)量.經(jīng)過(guò)測(cè)量后系統(tǒng)隨機(jī)塌縮在一個(gè)所有As算符都具有確定本征值的子空間中.從錯(cuò)誤癥狀的角度來(lái)看,某個(gè)A型穩(wěn)定子得到 ?1 的測(cè)量結(jié)果相當(dāng)于編碼中若干物理比特“發(fā)生”相位翻轉(zhuǎn)噪聲(由于對(duì)易關(guān)系,此時(shí)的量子態(tài)仍是穩(wěn)定子Bp的 +1 本征態(tài),即不會(huì)“發(fā)生”比特位翻轉(zhuǎn)噪聲),此時(shí)執(zhí)行相應(yīng)的“糾錯(cuò)”操作即可制備邏輯態(tài) |0L〉 .此外,也可以如前文所述暫時(shí)不進(jìn)行這一步糾錯(cuò)操作.對(duì)于邏輯態(tài) |1L〉 以及|±L〉的制備也是類似的,只需要制備 |1〉?n,|±〉?n再作用類似的操作即可.

另一種方式是直接使用相應(yīng)量子線路實(shí)現(xiàn).具體的步驟如圖5[84]所示,先制備 |0〉?n,然后對(duì)每個(gè)As算符所圍的正方形的頂點(diǎn)比特中作用H門(mén)操作,最后以邊上其他的比特為受控比特按照?qǐng)D中的順序分別作用CNOT 門(mén)即可.具體的原理可以參考文獻(xiàn)[85].

圖5 (a)谷歌公司實(shí)驗(yàn)[84]中制備表面碼初態(tài)所用超導(dǎo)芯片的架構(gòu)以及對(duì)應(yīng)穩(wěn)定子測(cè)量結(jié)果.圖中白色的十字為數(shù)據(jù)比特,紫色和藍(lán)色的圖形分別代表 Bp類型和 As 類型的穩(wěn)定子測(cè)量,圖中的數(shù)值是初態(tài)對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定子測(cè)量結(jié)果的平均值.(b)表面碼初態(tài)制備對(duì)應(yīng)的門(mén)操作線路Fig.5.(a) Architecture of the superconducting circuit used to prepare the initial state of the surface code in Google’s experiment[84]and the corresponding stabilizer measurement results.The white crosses are data qubits,the purple and blue regions represent stabilizer measurement results of type Bpand As,respectively.The values in the figure are the average values of the stabilizer measurement results corresponding to the initial state.(b) Operation circuit to prepare the initial state of the surface code.

根據(jù)前文所述,想要利用表面碼實(shí)現(xiàn)量子糾錯(cuò)至少需要滿足以下條件: 一是要有足夠的物理比特編碼一個(gè)邏輯比特;二是不僅要能快速且高度并行地執(zhí)行錯(cuò)誤診斷,而且還要減少這一過(guò)程中輔助比特對(duì)數(shù)據(jù)比特的干擾;三是要求能根據(jù)錯(cuò)誤癥狀快速進(jìn)行錯(cuò)誤尋址以及能通過(guò)反饋在后續(xù)門(mén)操作中糾正錯(cuò)誤.因此,表面碼的實(shí)現(xiàn)對(duì)物理比特?cái)?shù)量、單個(gè)物理比特的性能和門(mén)操作的保真度都有著很高的要求,需要材料、極低溫和電子學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域的技術(shù)進(jìn)步.

除了重復(fù)碼和表面碼之外,出于提高編碼效率或者實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)架構(gòu)等考慮,人們一方面對(duì)表面碼進(jìn)行了優(yōu)化,如通過(guò)對(duì)表面碼網(wǎng)格的旋轉(zhuǎn)和修剪[86],使得在碼距d不變的情況下只需要d2個(gè)數(shù)據(jù)比特就可以編碼一個(gè)邏輯比特;另一方面提出了許多其他類型的編碼,如XZZX 編碼[87]、顏色碼(color code)[88,89]等.

表1 列出了近年來(lái)各個(gè)實(shí)驗(yàn)組對(duì)表面碼、重復(fù)碼以及其他類型編碼的研究,包括谷歌公司、中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)、蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院、代爾夫特理工大學(xué)等.這些研究單位實(shí)現(xiàn)了不同碼距的表面碼的初態(tài)制備、錯(cuò)誤診斷以及錯(cuò)誤糾正等操作.如中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)的研究小組在超導(dǎo)芯片中實(shí)現(xiàn)了17 比特的 [[9,1,3]] 表面碼的初態(tài)制備,并進(jìn)行了11 輪次的錯(cuò)誤診斷,在后選擇的基礎(chǔ)上將邏輯編碼|0L〉的壽命(T1)大幅度提升至 137.8 μs,與之相比,其芯片上最好的物理比特壽命只有 36.6 μs .而谷歌公司在近期的實(shí)驗(yàn)中分別制備且表征了d=5 以及d=3的表面碼,并證明了前者在25 輪次的糾錯(cuò)中具有更低的邏輯錯(cuò)誤率,這首次展示了糾錯(cuò)效果隨著編碼規(guī)模增加而得到提高.這些實(shí)驗(yàn)都表明了量子糾錯(cuò)的巨大潛力.然而,受限于物理比特的數(shù)量、壽命、超導(dǎo)線路的串?dāng)_以及門(mén)操作過(guò)程中的噪聲等因素,目前這些編碼仍未能有效提高邏輯態(tài)壽命,即未達(dá)到盈虧平衡點(diǎn),只能利用錯(cuò)誤診斷的信息在后選擇的基礎(chǔ)上進(jìn)行量子糾錯(cuò)的原理性展示和相關(guān)應(yīng)用的探索.但是,隨著控制技術(shù)、硬件基礎(chǔ)以及糾錯(cuò)編碼理論的完善,量子糾錯(cuò)的未來(lái)可期.

表1 超導(dǎo)系統(tǒng)中二能級(jí)編碼的糾錯(cuò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)展.帶*號(hào)的是物理比特中最優(yōu)的數(shù)據(jù),/表示文獻(xiàn)中沒(méi)有直接給出相關(guān)數(shù)據(jù).其中,文獻(xiàn)[72,90,91]的實(shí)驗(yàn)均在國(guó)際商用機(jī)器公司的IBMQ 平臺(tái)上進(jìn)行Table 1.Experimental progress on quantum error correction with two-level codes in superconducting systems.Datas with* refer to the optimal datas among the physical qubits./ indicate that the relevant datas are not directly given in the documents.The experiments in the Refs.[72,90,91] were implemented on IBMQ.

3.2 玻色類型糾錯(cuò)碼

目前超導(dǎo)系統(tǒng)中另一種常用的架構(gòu)就是將超導(dǎo)輔助比特與超導(dǎo)諧振腔進(jìn)行色散耦合.在此架構(gòu)中,諧振腔一般被用于編碼邏輯比特,而超導(dǎo)輔助比特則用于為諧振腔的量子操控提供必要的非線性.由于諧振腔模式本身就是一個(gè)具有無(wú)窮多個(gè)能級(jí)的玻色模式,因而本身就具有巨大的冗余空間,為量子態(tài)的編碼提供了多種方案.一方面,可以只利用其中有限個(gè)能級(jí)進(jìn)行編碼;另一方面,也可以利用其無(wú)窮個(gè)能級(jí)進(jìn)行連續(xù)變量類型的編碼.前者典型的例子是二項(xiàng)式編碼(binomial code),而后者典型的例子是貓態(tài)編碼(cat code)以及GKP 編碼(Gottesman-Kitaev-Preskill code).值得一提的是,玻色編碼除了適用于超導(dǎo)系統(tǒng)外還適用于離子阱以及光學(xué)等物理平臺(tái).

3.2.1 二項(xiàng)式編碼

二項(xiàng)式編碼最早在 2016 年由耶魯大學(xué)格文(Girvin)課題組[59]提出,其邏輯態(tài)由有限個(gè)?？?Fock)能級(jí)加權(quán)疊加而成,因權(quán)重系數(shù)為二項(xiàng)式系數(shù)而得名.相較于其他玻色編碼,二項(xiàng)式編碼在相同的糾錯(cuò)能力下具有更小的平均光子數(shù),此外,其還具有嚴(yán)格正交的邏輯態(tài)以及幺正的糾錯(cuò)操作等特點(diǎn).二項(xiàng)式編碼可以在多項(xiàng)式展開(kāi)下完美地糾正熱激發(fā)、自發(fā)輻射以及退相位噪聲,即可以完美糾正噪聲集合:

實(shí)驗(yàn)進(jìn)展方面,在高品質(zhì)的三維諧振腔的平臺(tái)中,借助transmon 量子比特提供的非線性以及微波線路提供的相干驅(qū)動(dòng),最低階的二項(xiàng)式編碼以及基于梯度上升波形優(yōu)化方法設(shè)計(jì)的任意單比特操作已被驗(yàn)證[98],兩個(gè)二項(xiàng)式編碼量子比特之間的Cphase 門(mén)[45]、eSWAP 門(mén)[99]、傳送CNOT 門(mén)[100]等均被實(shí)現(xiàn),而基于二項(xiàng)式編碼的錯(cuò)誤透明(error transparent)邏輯門(mén)也被驗(yàn)證[101].

3.2.2 貓態(tài)編碼

2013 年,萊格塔斯(Leghtas)等[60]最早提出四分量貓態(tài)編碼的構(gòu)想,用于對(duì)抗單光子自發(fā)輻射噪聲.其編碼形式為

這種編碼可以推廣至抵抗更高階的自發(fā)輻射噪聲,其編碼為[102]

從上式可以看出,|0/1L〉 都是不同相位的相干態(tài)的線性疊加的形式.此編碼可以抵抗至多n/2?1個(gè)光子自發(fā)輻射噪聲.與二項(xiàng)式編碼類似,這種貓態(tài)編碼也具有特殊的宇稱,但是其分布在無(wú)窮個(gè)福克能級(jí)上.當(dāng)自發(fā)輻射的光子數(shù)小于n/2?1時(shí),邏輯態(tài)中的相干態(tài)成分前面會(huì)多出一個(gè)相位,且?？丝臻g的宇稱會(huì)發(fā)生改變,但不會(huì)影響到編碼的信息.因此可以通過(guò)宇稱測(cè)量進(jìn)行錯(cuò)誤診斷,并通過(guò)反饋執(zhí)行糾錯(cuò)操作來(lái)抵抗自發(fā)輻射噪聲.然而,光子的自發(fā)輻射會(huì)不斷地使相干態(tài)的平均光子數(shù)衰減至真空態(tài),所以貓態(tài)編碼需要不斷地輸入能量,即需要實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定操作使得系統(tǒng)狀態(tài)被限制在編碼空間中.

除了使用梯度上升波形優(yōu)化等方式直接設(shè)計(jì)幺正演化進(jìn)行制備外,貓態(tài)編碼的初態(tài)制備還有兩種方式.一種是絕熱制備[104],可以將初態(tài)制備在{|0〉,|1〉}的福克能級(jí),然后緩慢地增強(qiáng)多光子驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度,系統(tǒng)的狀態(tài)將絕熱地演化到對(duì)應(yīng)的邏輯態(tài)上,此過(guò)程中驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的變化需要足夠平滑以滿足絕熱條件.另一種是無(wú)躍遷(transitionless)制備[103],通過(guò)引入輔助哈密頓量使得系統(tǒng)每一時(shí)刻的狀態(tài) |ψ(t)〉 都是的本征態(tài),從而可以快速實(shí)現(xiàn)初態(tài)制備,減少噪聲的影響.

方便起見(jiàn),對(duì)于最低階n=2 的編碼我們一般使用計(jì)算基矢因?yàn)槠渚幋a空間只有兩維,沒(méi)有足夠的信息冗余來(lái)進(jìn)行糾錯(cuò).對(duì)于這種編碼,單光子的自發(fā)輻射噪聲僅僅引起編碼空間的比特相位翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤,其錯(cuò)誤率會(huì)隨著著 |α|2的增大呈線性增長(zhǎng),但退相位噪聲導(dǎo)致的位翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤則得到指數(shù)的抑制.這種特殊的噪聲偏置特性使得貓態(tài)編碼能夠與重復(fù)碼這種類型的簡(jiǎn)單的二能級(jí)編碼進(jìn)行級(jí)聯(lián),實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)量子計(jì)算.

從相空間的角度看,二項(xiàng)式編碼(圖6)和貓態(tài)編碼(圖7)的維格納函數(shù)都具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性,都屬于旋轉(zhuǎn)對(duì)稱玻色編碼(rotation-symmetric bosonic code)的特殊例子[105].量子態(tài)相空間中的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性導(dǎo)致了其在?？藨B(tài)空間有一定的宇稱,因而貓態(tài)編碼和二項(xiàng)式編碼都可以糾正自發(fā)輻射噪聲和熱激發(fā)噪聲.在平均能量很大時(shí),兩種編碼的對(duì)偶態(tài)|+/?L〉在相空間中較好地區(qū)分開(kāi),所以可以簡(jiǎn)單地進(jìn)行零差(homodyne)測(cè)量或者是外差(heterodyne)測(cè)量就可以實(shí)現(xiàn)邏輯XL基矢的測(cè)量.旋轉(zhuǎn)對(duì)稱玻色編碼在糾錯(cuò)方面具有巨大的潛力,但目前其容錯(cuò)相關(guān)的特性仍需要進(jìn)一步研究,包括容錯(cuò)通用門(mén)操作的實(shí)現(xiàn)、容錯(cuò)閾值以及相關(guān)資源消耗等.

實(shí)驗(yàn)進(jìn)展方面,n=4 的貓態(tài)編碼是第一個(gè)也是目前唯一一個(gè)在實(shí)驗(yàn)上正式使用糾錯(cuò)技術(shù)超越盈虧平衡點(diǎn)(break-even point)的編碼[106],即使用編碼得到的相干時(shí)間要優(yōu)于單純使用 |0/1〉 的福克態(tài)疊加的情況.此外,針對(duì)這一編碼,基于數(shù)值優(yōu)化的通用邏輯門(mén)操作也得以驗(yàn)證[107],而在?？丝臻g維度截?cái)嗟那闆r下,通過(guò)耗散控制的方式實(shí)現(xiàn)了對(duì)邏輯態(tài)的自動(dòng)糾錯(cuò)[108].對(duì)于n=2 的貓態(tài)比特也有相關(guān)實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了其初態(tài)制備及穩(wěn)定、噪音偏置性質(zhì)觀察(耗散-貓態(tài)[109,110]),及其相應(yīng)的單比特量子門(mén)操作(克爾-貓態(tài)[111]).

3.2.3 GKP 編碼

2001 年,戈特斯曼(Gottesman)等[62]提出了GKP 編碼,將量子信息編碼到簡(jiǎn)諧振子上,用于對(duì)抗位置和動(dòng)量的小位移噪聲.而隨后的研究[112]表明此編碼對(duì)包括自發(fā)輻射、熱激發(fā)和退相位在內(nèi)的多種噪聲均有抵抗作用.從相空間的角度來(lái)看,位移噪聲的作用是沿著某個(gè)方向?qū)⒘孔討B(tài)平移一段距離,而GKP 編碼的核心思想是使用在相空間中具有平移對(duì)稱性的量子態(tài),其屬于平移對(duì)稱玻色編碼(translation-symmetric bosonic code)的一種,其具體的編碼如下:

從穩(wěn)定子的角度來(lái)看,這一具有平移對(duì)稱性的編碼所對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定子為

但是,由于理想的GKP 編碼的平均光子數(shù)是無(wú)窮大的,因此在物理實(shí)現(xiàn)方面需要對(duì)理想GKP 編碼加以近似.一種常見(jiàn)的近似方法是給邏輯態(tài)加以高斯包絡(luò),即

當(dāng)?→0 的時(shí)候則逐漸變成理想GKP 態(tài).

GKP 編碼擁有良好的糾錯(cuò)容錯(cuò)特性,因?yàn)槠鋵?duì)應(yīng)的所有克利福德(Clifford)門(mén)操作所需要的相互作用都可以用產(chǎn)生湮滅算符的二次項(xiàng)組合得到.這意味著,在執(zhí)行克利福德門(mén)操作的時(shí)候任意一個(gè)GKP 編碼的玻色模式中的噪聲最多只會(huì)傳遞到另一個(gè)模式中,這便滿足容錯(cuò)量子操作的要求.此外,GKP 編碼對(duì)多種噪聲都有較強(qiáng)的抵抗作用.如前文所示,GKP 編碼在相空間中是正方形的格點(diǎn),可以對(duì)其進(jìn)行推廣得到所謂六邊形GKP 編碼.數(shù)值計(jì)算表明,在給定任意初始編碼的情況下針對(duì)光子湮滅噪聲以及高斯熱噪聲進(jìn)行優(yōu)化最后都收斂于六邊形GKP 編碼[113].目前GKP 編碼仍有一些問(wèn)題需要進(jìn)一步探討,包括近似GKP 編碼的?如何能進(jìn)一步減小,以及如何增加對(duì)系統(tǒng)中的退相位噪聲和高階非線性效應(yīng)的抵抗能力等.

GKP 編碼雖然早在2001 年就被提出,但直到近年來(lái)才先后在離子阱平臺(tái)[111,114,115]及超導(dǎo)平臺(tái)[116]上實(shí)現(xiàn)相關(guān)的編碼以及糾錯(cuò)操作.因?yàn)槲灰扑惴鶎?duì)應(yīng)的本征值是 eiθ,其中θ可以在區(qū)間 [0,2π),在初態(tài)制備中我們需要保證制備得到的是穩(wěn)定子算符+1 的本征態(tài)(即θ=0),故需要引入復(fù)雜的反饋控制方法.超導(dǎo)系統(tǒng)正是利用相位測(cè)量以及反饋的方式[117]成功地實(shí)現(xiàn)了正方形和六邊形 GKP 編碼的初態(tài)制備[116].后續(xù)可望有相關(guān)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌驅(qū)崿F(xiàn)對(duì)應(yīng)的自動(dòng)穩(wěn)定信道[118].

3.3 級(jí)聯(lián)糾錯(cuò)碼和容錯(cuò)量子計(jì)算

量子糾錯(cuò)碼減少了環(huán)境噪聲對(duì)量子態(tài)的干擾,可以用于增加量子線路的深度和精度.在此基礎(chǔ)上,想進(jìn)一步提升糾錯(cuò)性能需要從以下兩個(gè)方面入手: 1)擴(kuò)大編碼距離,使得糾錯(cuò)碼能夠抵抗更多的噪聲,其中比較有效的方式是進(jìn)行級(jí)聯(lián)編碼;2)合理地設(shè)計(jì)量子線路中的操作,抑制計(jì)算過(guò)程中噪聲的擴(kuò)散.

3.3.1 級(jí)聯(lián)編碼

對(duì)于常見(jiàn)的二能級(jí)編碼如表面碼、顏色碼、重復(fù)碼等,他們本身就非常容易進(jìn)行拓展,即可以用同樣的構(gòu)造方式引入更多的物理比特增強(qiáng)糾錯(cuò)能力,而前文所述的三種玻色編碼也都可以通過(guò)增加平均能量來(lái)增強(qiáng)對(duì)噪聲的抵抗能力.除了對(duì)編碼進(jìn)行直接拓展外,還可以通過(guò)級(jí)聯(lián)編碼的方式來(lái)進(jìn)行拓展,即先將一種編碼方式得到的邏輯比特作為底層比特,然后再進(jìn)行另一種方式的編碼.通過(guò)將多種編碼級(jí)聯(lián)在一起的方式可以發(fā)揮各種編碼的優(yōu)勢(shì),取得更好的糾錯(cuò)效果.

一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子就是肖爾編碼(Shor code),該編碼將可以糾正相位翻轉(zhuǎn)的三比特重復(fù)碼作為底層邏輯碼,上層級(jí)聯(lián)可以糾正位翻轉(zhuǎn)噪聲的三比特重復(fù)碼作為最終編碼.結(jié)合兩種編碼的糾錯(cuò)能力,肖爾編碼可以糾正單個(gè)物理比特上的任意噪聲.另一個(gè)例子是玻色編碼與二能級(jí)型編碼的級(jí)聯(lián).玻色編碼對(duì)資源的需求較少,單個(gè)模式就可以糾正一些低階錯(cuò)誤,實(shí)現(xiàn)較高保真度的邏輯門(mén)操作,但是其編碼受高階非線性效應(yīng)的限制而不能無(wú)限擴(kuò)展.二能級(jí)型的編碼受到物理比特的門(mén)保真度的限制,當(dāng)物理比特操作的保真度較低時(shí),糾錯(cuò)需要的資源會(huì)急劇增加.因此,以玻色編碼作為底層編碼與二能級(jí)編碼級(jí)聯(lián)就可以較好地解決上述問(wèn)題,底層玻色編碼的操作保真度比較高,上層二能級(jí)編碼的資源消耗就可以減少.目前可能的級(jí)聯(lián)編碼方案有環(huán)面/表面-GKP 編碼(toric/surface-GKP code)[63,64]、重復(fù)-貓態(tài)編碼(repetition-cat code)[65]、XZZX-貓態(tài)編碼(XZZX-cat code)[46,66]等.

級(jí)聯(lián)編碼還可以利用底層編碼的特點(diǎn)來(lái)簡(jiǎn)化頂層編碼的操作.如在重復(fù)-貓態(tài)編碼中[65],最低階n=2的貓態(tài)編碼作為底層編碼,其可以實(shí)現(xiàn)保持噪聲偏置特性的X門(mén)、CNOT 門(mén)和托弗里(Toffoli)門(mén)(指數(shù)級(jí)抑制的位翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤和線性增加的相位翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤).在使用上述門(mén)操作的基礎(chǔ)上進(jìn)行頂層編碼時(shí),編碼和邏輯門(mén)操作過(guò)程中額外的位翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤可以被底層貓態(tài)編碼所抑制,而相位翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤則可以被頂層的重復(fù)碼糾正.按照這種方式就可實(shí)現(xiàn)任意容錯(cuò)邏輯門(mén)操作,而不需要花費(fèi)大量資源進(jìn)行妙態(tài)(magic state)制備、提純和注入等復(fù)雜操作[65].

3.3.2 容錯(cuò)量子計(jì)算在實(shí)際的量子糾錯(cuò)過(guò)程中,包括錯(cuò)誤診斷以及糾錯(cuò)操作在內(nèi)的所有過(guò)程都會(huì)受到噪聲的影響,不合理的門(mén)操作會(huì)把噪聲擴(kuò)散至其他的物理比特,從而導(dǎo)致邏輯錯(cuò)誤.但是,如果當(dāng)一個(gè)過(guò)程中的某個(gè)操作發(fā)生噪聲的情況下,過(guò)程最后輸出的每一個(gè)邏輯比特中至多只有一個(gè)物理比特發(fā)生錯(cuò)誤,這樣的過(guò)程被稱為是容錯(cuò)的[57].簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō),容錯(cuò)的量子過(guò)程抑制了錯(cuò)誤的擴(kuò)散,使得某個(gè)操作過(guò)程中發(fā)生的噪聲不會(huì)在后續(xù)的門(mén)操作的作用下擴(kuò)散至多個(gè)物理比特上,成為不可糾正的錯(cuò)誤.而且,當(dāng)噪聲非常弱的時(shí)候,這些錯(cuò)誤在隨后的糾錯(cuò)操作中大概率會(huì)得到糾正.可以證明當(dāng)噪聲的強(qiáng)度小于一定的閾值(即容錯(cuò)閾值)的時(shí)候,一個(gè)具有p(n) 個(gè)邏輯門(mén)的量子線路可以被一個(gè)包含O(poly(logp(n)/ε)p(n))的量子線路以至多ε的整體失敗概率實(shí)現(xiàn),這就是著名的閾值定理.

實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)邏輯門(mén)操作需要巧妙的設(shè)計(jì)來(lái)抑制錯(cuò)誤的擴(kuò)散,目前最有效的方式是使用橫向(transversal)門(mén).如圖9(a)所示,這類型的邏輯門(mén)操作可以通過(guò)物理比特上的單量子比特操作實(shí)現(xiàn),或者對(duì)于涉及到多個(gè)邏輯量子比特的門(mén)操作,可以通過(guò)邏輯比特中對(duì)應(yīng)物理比特的操作實(shí)現(xiàn).使用這種方式實(shí)現(xiàn)門(mén)操作天然地具有容錯(cuò)特性.但是,隨后伊斯汀和尼爾(Eastin-Knill)證明[119],對(duì)于所有非平凡的量子糾錯(cuò)碼而言,橫向門(mén)不能構(gòu)成通用門(mén)操作集合.幸運(yùn)的是,對(duì)于所有自對(duì)偶的CSS 編碼(Calderbank-Shor-Steane code)而言,所有屬于克利福德(Clifford)群的邏輯門(mén)操作都可以通過(guò)這個(gè)方式實(shí)現(xiàn),其中就包括了CNOT門(mén)和H門(mén).克利福德群是泡利群的正規(guī)化子,即Pn},其中C為克利福德門(mén),Pn為泡利門(mén).

在實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)克利福德門(mén)的基礎(chǔ)上還需要能容錯(cuò)地實(shí)現(xiàn)至少一個(gè)非克利福德門(mén)才能實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)的通用邏輯門(mén)操作集合,比方說(shuō)T門(mén).通過(guò)在戈特斯曼(Gottesman)和莊(Chuang)[120]的方案基礎(chǔ)上改進(jìn)而來(lái)的單比特隱形傳態(tài)(one-bit teleportation)的方式可以容錯(cuò)地實(shí)現(xiàn)T門(mén)[121],即如圖9(b)所示: 可以引入一個(gè)與系統(tǒng)編碼相同的輔助比特,并將其制備在初態(tài) |Θ〉=T H|0L〉 上,然后只需要橫向地作用CNOT 門(mén)以及對(duì)系統(tǒng)態(tài)進(jìn)行測(cè)量,最后根據(jù)測(cè)量結(jié)果反饋給輔助比特決定是否橫向地實(shí)現(xiàn)SX門(mén)就可以在輔助比特上實(shí)現(xiàn)量子態(tài)T |ψL〉 .整個(gè)方案最大的困難點(diǎn)在于高保真度的初態(tài) |Θ〉的制備,而且這一初態(tài)制備過(guò)程與系統(tǒng)演化無(wú)關(guān),所以可以使用后選擇、蒸餾等方式.布拉維(Bravyi)和基塔耶夫等[122]就最先提出了妙態(tài)蒸餾(magic state distillation)的方式得到高保真度的初態(tài).隨后,這一方案得到了更加深入研究和優(yōu)化[123,124].一般來(lái)說(shuō)妙態(tài)制備的方式需要較多的資源,比如對(duì)于初始態(tài)錯(cuò)誤率為 5×10?5的表面碼通過(guò)妙態(tài)蒸餾的方式實(shí)現(xiàn)邏輯錯(cuò)誤率約 10?15的T門(mén)就需要將近 104個(gè)物理比特[125].因此,如何進(jìn)一步減少妙態(tài)制備的資源消耗是當(dāng)前基于隱形傳態(tài)的容錯(cuò)方案的研究重點(diǎn)之一[126].

圖9 (a)橫向邏輯門(mén)操作示意圖;(b)單比特態(tài)傳輸?shù)姆绞綄?shí)現(xiàn)邏輯 門(mén).圖中斜線表示此邏輯比特包括多個(gè)物理比特,而圖中紅色陰影區(qū)域的線路等價(jià)于將輔助比特初態(tài)制備成 |Θ〉,紅色區(qū)域外的門(mén)操作全是橫向邏輯門(mén)Fig.9.(a) Schematic of the transversal logical operation;(b) logical gate implemented through one-bit teleportation.The slash in the figure indicates that the logical qubit is encoded with several physical qubits,and the red shaded area is equivalent to initializing the auxiliary qubit as |Θ〉 .All logical gates outside the red shaded area are transversal.

4 糾錯(cuò)相關(guān)的量子控制技術(shù)

近年來(lái),為了在超導(dǎo)系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)各種糾錯(cuò)編碼,糾錯(cuò)相關(guān)的控制技術(shù)也得到了深入的研究與驗(yàn)證,其中包括自動(dòng)糾錯(cuò)(autonomous QEC)、容錯(cuò)控制、任意幺正演化以及任意量子信道模擬等.

首先是自動(dòng)糾錯(cuò)技術(shù).一般而言,基于測(cè)量的糾錯(cuò)(measurement-based QEC)方式需要先進(jìn)行錯(cuò)誤診斷,即通過(guò)輔助比特實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的測(cè)量,并根據(jù)診斷結(jié)果,再對(duì)系統(tǒng)執(zhí)行相應(yīng)的糾錯(cuò)操作.以超導(dǎo)腔為例,錯(cuò)誤診斷的實(shí)現(xiàn)需要外圍 FPGA電路(field programmable gate array circuit)輸入脈沖序列控制transmon 比特與超導(dǎo)腔的相互作用,然后對(duì)transmon 狀態(tài)進(jìn)行測(cè)量并將測(cè)量結(jié)果反饋至 FPGA 電路進(jìn)行邏輯判斷,之后才會(huì)對(duì)超導(dǎo)腔輸入控制脈沖實(shí)現(xiàn)糾錯(cuò)操作.從錯(cuò)誤診斷到糾錯(cuò)操作期間,系統(tǒng)會(huì)經(jīng)歷短時(shí)間的延遲,因而增加了糾錯(cuò)操作的錯(cuò)誤率.而自動(dòng)糾錯(cuò)過(guò)程在引入一個(gè)輔助比特的情況下只需要一步糾錯(cuò)操作即可完成,即

其中 |ψL〉,|ψE〉 分別是無(wú)噪聲以及發(fā)生噪聲之后的邏輯量子態(tài),|g〉,|e〉分別是輔助比特的基態(tài)和激發(fā)態(tài),而是對(duì)應(yīng)的幺正糾錯(cuò)操作,等價(jià)于將系統(tǒng)的錯(cuò)誤轉(zhuǎn)移到輔助比特上,只要在后續(xù)操作中將輔助比特復(fù)位,糾錯(cuò)就可以重復(fù)進(jìn)行.使用這樣的自動(dòng)糾錯(cuò)技術(shù)有以下兩個(gè)優(yōu)點(diǎn): 1)可以將系統(tǒng)的錯(cuò)誤診斷以及糾錯(cuò)操作進(jìn)行結(jié)合,避免系統(tǒng)經(jīng)歷較長(zhǎng)時(shí)間的延遲;2)降低了反饋操作對(duì)硬件要求.實(shí)驗(yàn)方面,基于二項(xiàng)式編碼的自動(dòng)糾錯(cuò)技術(shù)已被驗(yàn)證[101].

其次是容錯(cuò)控制技術(shù).容錯(cuò)控制技術(shù)的核心思想是通過(guò)系統(tǒng)哈密頓量的設(shè)計(jì)從物理層面實(shí)現(xiàn)對(duì)噪聲的容忍.例如,最近在超導(dǎo)平臺(tái)上展示的容錯(cuò)測(cè)量[127]就是通過(guò)構(gòu)造超導(dǎo)諧振腔與三能級(jí)輔助比特(|g〉,|e〉,|f〉能級(jí))之間的相互作用Hint=χa?a(|e〉〈e|+|f〉〈f|)實(shí)現(xiàn)的.從該式可以看出,|e〉,|f〉能級(jí)與超導(dǎo)腔之間的耦合強(qiáng)度一致,故在門(mén)操作或者在測(cè)量過(guò)程中輔助比特從|f〉到|e〉的噪聲只會(huì)給腔帶來(lái)至多一個(gè)全局相位的影響,而從|e〉到|g〉的衰減屬于高階效應(yīng),可以忽略,因此可以實(shí)現(xiàn)對(duì)輔助比特中噪聲的容忍.而錯(cuò)誤透明門(mén)則是通過(guò)交流斯塔克(AC Stark shift)效應(yīng)構(gòu)造使得邏輯和錯(cuò)誤編碼空間有相同的相位門(mén)演化的哈密頓量,這樣在發(fā)生錯(cuò)誤并且錯(cuò)誤被糾正之后,相位門(mén)不受影響[101].由于這些邏輯門(mén)操作的適用條件比較苛刻,目前所能實(shí)現(xiàn)的容錯(cuò)邏輯門(mén)操作仍限于一些相位門(mén)操作,是否能推廣至通用邏輯門(mén)集合仍是一個(gè)開(kāi)放問(wèn)題.

然后是任意幺正演化的實(shí)現(xiàn).從索洛韋-基塔耶夫(Solovay-Kitaev)定理可知,任意的幺正演化都可以被有限的門(mén)操作集合以任意的精度近似實(shí)現(xiàn),如{H,S,CNOT,T}.目前,在超導(dǎo)量子系統(tǒng)中也有兩種方式可以較好地實(shí)現(xiàn)任意幺正演化,一種是通過(guò)位移操作加上SNAP (selective numberdependent arbitrary phase)門(mén)[128–130],另一種是梯度上升波形優(yōu)化方法[96,97].這兩種方式避免了對(duì)門(mén)操作進(jìn)行大量分解,減少了電路的深度,并且允許通過(guò)最優(yōu)控制的方式在考慮噪聲的情況下進(jìn)行優(yōu)化,從而增加門(mén)操作保真度.SNAP 門(mén)是=而任意的幺正演化可以被SNAP門(mén)和位移操作的交替序列很好地近似,即U ≈.其中參數(shù)αn,θn可以通過(guò)數(shù)值優(yōu)化得到.但 SNAP 門(mén)方法的門(mén)操作時(shí)間較長(zhǎng),一定程度上限制了其保真度,而梯度上升波形優(yōu)化方法可以克服這一限制,使得門(mén)操作時(shí)間盡可能少.其本質(zhì)原理是通過(guò)梯度下降算法直接數(shù)值優(yōu)化哈密頓量中的可控參數(shù)un(t),使得優(yōu)化得到的門(mén)操作與目標(biāo)門(mén)操作之間的保真度接近1.

5 近期超導(dǎo)系統(tǒng)量子糾錯(cuò)的應(yīng)用

當(dāng)前,超導(dǎo)量子系統(tǒng)已經(jīng)可以集成相當(dāng)數(shù)量的物理比特并進(jìn)行簡(jiǎn)單的邏輯編碼,但是糾錯(cuò)效果仍受限于比特?cái)?shù)量、比特間的串?dāng)_以及控制精度.現(xiàn)階段量子糾錯(cuò)實(shí)驗(yàn)的主要目標(biāo)仍是實(shí)現(xiàn)并超越盈虧平衡點(diǎn),為實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)量子計(jì)算這一長(zhǎng)遠(yuǎn)目標(biāo)奠定基礎(chǔ).除此之外,我們也應(yīng)積極探索量子糾錯(cuò)技術(shù)的應(yīng)用潛力,包括但不限于在量子度量學(xué)以及量子通信等方面的應(yīng)用.

量子度量學(xué)是量子信息最重要的應(yīng)用場(chǎng)景之一.在散粒噪聲作用下,物理系統(tǒng)的探測(cè)精度只能達(dá)到散粒噪聲極限,即,其中N是探測(cè)系統(tǒng)中平均粒子數(shù),T是探測(cè)的時(shí)間.但是,利用量子糾錯(cuò)技術(shù)可以保持量子態(tài)的相干特性從而提升探測(cè)的精度,并可以達(dá)到海森伯(Heisenberg)極限[135],即精度 ∝1/(NT) .超導(dǎo)系統(tǒng)在實(shí)現(xiàn)高精度量子精密測(cè)量方面有著獨(dú)特的優(yōu)勢(shì): 一方面,超導(dǎo)系統(tǒng)有著較強(qiáng)的量子調(diào)控能力,可以對(duì)用于探測(cè)的量子態(tài)進(jìn)行高保真度的制備、控制以及測(cè)量,從而提升探測(cè)的精度.另一方面,超導(dǎo)系統(tǒng)自身就可以有效探測(cè)微波、磁場(chǎng)等物理信號(hào).更重要的是超導(dǎo)系統(tǒng)還能與其他物理系統(tǒng)進(jìn)行較為高效的耦合,包括光子、聲子、軸子(Axion)[136]等,進(jìn)而可用于多種物理信號(hào)的探測(cè).但是,超導(dǎo)系統(tǒng)的探測(cè)精度對(duì)噪聲十分敏感,例如微波光子的自發(fā)輻射以及退相位等噪聲,因此如何克服系統(tǒng)噪聲、提高測(cè)量精度是當(dāng)前階段最主要的挑戰(zhàn).主要有以下兩種解決方式: 1)針對(duì)所測(cè)量的相互作用形式以及系統(tǒng)噪聲類型選用特定編碼的初態(tài),借助高維希爾伯特空間中對(duì)信號(hào)較敏感但是對(duì)噪聲相對(duì)不敏感的子空間來(lái)提高測(cè)量精度.2)使用糾錯(cuò)技術(shù),借助高維度希爾伯特空間的冗余,使得傳感過(guò)程中的噪聲得到及時(shí)糾正[137–139].此外,量子糾錯(cuò)方法還可以進(jìn)一步拓展至多參數(shù)估計(jì)的量子度量學(xué)問(wèn)題[140].

量子網(wǎng)絡(luò)、分布式量子計(jì)算等技術(shù)均依賴于量子信息在網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的傳輸,即需要實(shí)現(xiàn)量子通信.但是,遠(yuǎn)距離的量子通信極易受到噪聲的干擾,導(dǎo)致信號(hào)隨著距離的增加發(fā)生指數(shù)的衰減,尤其是對(duì)于微波光子,其在常溫下受熱激發(fā)噪聲干擾嚴(yán)重,因而在電纜中傳輸損耗極大.因此,需要使用量子中繼(quantum repeater)來(lái)克服傳輸損耗,即發(fā)送端和接收端只需要分別與中繼端建立糾纏,再利用中繼端的局域操作就可以建立糾纏.這一方案可以避免遠(yuǎn)距離的直接量子態(tài)傳輸,但是需要大量的資源來(lái)進(jìn)行糾纏態(tài)提純(purification),此外還需要頻繁的經(jīng)典信息傳輸.針對(duì)這一問(wèn)題,相關(guān)研究提出了兩種改進(jìn)方案: 1)使用微波光波轉(zhuǎn)換.通信波段光子是遠(yuǎn)距離傳輸量子信息最好的載體,其傳輸損耗低、抗干擾能力強(qiáng),故借助量子頻率轉(zhuǎn)換能充分利用兩種光子的優(yōu)點(diǎn)[7].目前已經(jīng)有相關(guān)實(shí)驗(yàn)對(duì)此進(jìn)行驗(yàn)證[141].2)使用量子糾錯(cuò)技術(shù).當(dāng)進(jìn)行量子態(tài)傳輸?shù)臅r(shí)候,使用帶有編碼的邏輯比特(如貓態(tài)編碼[102])進(jìn)行傳輸,接收端接收到之后,只需要進(jìn)行錯(cuò)誤診斷以及糾錯(cuò)操作就可以得到高保真度的目標(biāo)態(tài).這一方案避免了大量的糾纏態(tài)提純以及頻繁的經(jīng)典通信,因而具有較高的傳輸速率,這也被稱為第三代量子中繼[102,142].

糾錯(cuò)相關(guān)的技術(shù)可以作為量子錯(cuò)誤緩解(quantum error mitigation,QEM)技術(shù)用于提高近期量子算法的效率.當(dāng)前,我們正處于帶噪聲的中等規(guī)模的量子(noisy intermediate-scale quantum,NISQ)時(shí)代[143],還不能實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量的糾錯(cuò)和容錯(cuò)操作,但是很有可能在某些實(shí)際問(wèn)題中展示量子技術(shù)的優(yōu)越性,尤其是在處理經(jīng)典量子混合算法上,例如變分量子特征求解器(variational quantum eigensolver,VQE)[17]和量子近似優(yōu)化算法(quantum approximate optimization algorithm,QAOA)[16].相較于普適量子計(jì)算,這些算法只需要使用深度較淺的量子線路并借助經(jīng)典的計(jì)算機(jī)來(lái)分析量子線路的輸出結(jié)果與輸入?yún)?shù)的關(guān)系,從而對(duì)線路進(jìn)行反饋操作以及優(yōu)化.目前這些算法受到噪聲的限制,在計(jì)算的精度和效率上仍有很大的提升空間.針對(duì)這一情況,眾多的錯(cuò)誤緩解技術(shù)被提出[144],包括外推法(extrapolation)、準(zhǔn)概率分布法(quasi-probability method)、量子子空間展開(kāi)法(quantum subspace expansion)等.這些技術(shù)不需要使用完整的量子糾錯(cuò)技術(shù),但是如果所求解的系統(tǒng)本身具有一定的對(duì)稱性則可以使用糾錯(cuò)中的錯(cuò)誤診斷技術(shù)來(lái)降低噪聲的干擾,這就是對(duì)稱性檢驗(yàn)(symmetry verification)技術(shù)[145].例如系統(tǒng)本身具有粒子數(shù)守恒、自旋守恒等對(duì)稱性,而噪聲會(huì)破壞這一對(duì)稱性,從糾錯(cuò)的角度來(lái)看,這意味著系統(tǒng)狀態(tài)只分布于希爾伯特空間中的某個(gè)子空間,而噪聲將其投影至其它正交子空間中,此時(shí)只要進(jìn)行錯(cuò)誤診斷再進(jìn)行后選擇處理異常結(jié)果即可.目前已經(jīng)有實(shí)驗(yàn)使用相關(guān)技術(shù)[146].隨著糾錯(cuò)技術(shù)的發(fā)展,我們相信在不遠(yuǎn)的將來(lái)在使用小規(guī)模糾錯(cuò)碼的情況下還可以進(jìn)一步提升相關(guān)算法的效率.

6 討論與展望

隨著近年來(lái)相關(guān)操控技術(shù)的迅速發(fā)展,超導(dǎo)量子計(jì)算平臺(tái)的關(guān)鍵性能得到巨大的提升并成為目前最有希望實(shí)現(xiàn)高效量子計(jì)算的平臺(tái)之一.本文以超導(dǎo)平臺(tái)為背景介紹了量子糾錯(cuò)方面的研究進(jìn)展,包括基于二能級(jí)架構(gòu)以及基于玻色模式架構(gòu)的糾錯(cuò)碼,還有糾錯(cuò)相關(guān)的控制技術(shù).在離子阱、光學(xué)以及中性原子等物理平臺(tái)上,量子糾錯(cuò)技術(shù)也取得了令人矚目的進(jìn)展,雖然本文聚焦于超導(dǎo)系統(tǒng)的糾錯(cuò)進(jìn)展,但是相關(guān)內(nèi)容也適用或者可以推廣至這些物理平臺(tái).

如前文所述,不管是二能級(jí)架構(gòu)還是玻色模式架構(gòu)的糾錯(cuò)技術(shù)的最大挑戰(zhàn)都在于如何進(jìn)一步增加參與編碼的物理比特?cái)?shù)目以及提高糾錯(cuò)操作的保真度.短期來(lái)看,超導(dǎo)系統(tǒng)需要提高對(duì)噪聲的壓制能力,增加控制精度,從而通過(guò)糾錯(cuò)達(dá)到盈虧平衡點(diǎn),并實(shí)現(xiàn)量子優(yōu)勢(shì)(quantum advantage),即在量子計(jì)算、量子模擬、量子度量學(xué)、量子通信等應(yīng)用中通過(guò)糾錯(cuò)提升量子系統(tǒng)性能并超越經(jīng)典系統(tǒng).中長(zhǎng)期目標(biāo)則是實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)量子控制,即通過(guò)擴(kuò)大系統(tǒng)規(guī)模將邏輯錯(cuò)誤壓制到任意小.為此,我們認(rèn)為需要從理論以及實(shí)驗(yàn)方面解決以下的問(wèn)題:

第一,如何優(yōu)化利用高維度量子資源實(shí)現(xiàn)單個(gè)邏輯比特的量子糾錯(cuò)碼？

維度是量子糾錯(cuò)中最重要的資源之一.糾錯(cuò)的本質(zhì)就是利用維度擴(kuò)展帶來(lái)的冗余對(duì)抗噪聲的影響.這包括以下三點(diǎn): 參與編碼的物理比特?cái)?shù)目、物理比特本身的維度、相互作用的形式.目前而言,針對(duì)二能級(jí)類型的糾錯(cuò)碼已經(jīng)進(jìn)行了較為深入的研究,尤其是低維度的拓?fù)浯a,包括表面碼、顏色碼等.這些糾錯(cuò)碼有著較高的閾值,但同時(shí)所需要的物理比特?cái)?shù)也是巨大的.為此,可以考慮通過(guò)增加相互作用的形式(如允許有限的且保真度較低的長(zhǎng)程相互作用)來(lái)減小資源消耗,如三維、四維的顏色碼或其他形式的非拓?fù)渚幋a都需要進(jìn)一步的研究.此外,還可能通過(guò)將比特編碼成qudit 的形式降低資源消耗,但也需要進(jìn)一步研究.而對(duì)玻色編碼而言,對(duì)于單個(gè)模式的底層編碼的研究已經(jīng)較為成熟,但是多個(gè)玻色模式如何進(jìn)行拓展才能利用好玻色模式的潛力需要進(jìn)一步的研究.目前已經(jīng)有相關(guān)的探索,如文獻(xiàn)[46,63?65,66],但是更好的方案以及具體的資源對(duì)比需要更深入的研究.

第二,如何實(shí)現(xiàn)分布式量子糾錯(cuò)架構(gòu)？

在實(shí)際超導(dǎo)系統(tǒng)中,受限于有限的冷卻體積以及超導(dǎo)線路之間的串?dāng)_,很難通過(guò)無(wú)限地增加短程相互作用的比特?cái)?shù)目實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)量子計(jì)算.另一方面,量子度量學(xué)、通信等應(yīng)用需要在不同的量子節(jié)點(diǎn)之間進(jìn)行糾纏分發(fā)以及量子態(tài)傳輸.因此,非常有必要深入研究分布式的量子糾錯(cuò)架構(gòu): 即需要考慮將整個(gè)量子系統(tǒng)分成若干個(gè)節(jié)點(diǎn),節(jié)點(diǎn)內(nèi)部超導(dǎo)比特之間的相互作用較強(qiáng),可以實(shí)現(xiàn)高保真度的邏輯門(mén)操作,節(jié)點(diǎn)之間利用飛行比特進(jìn)行保真度較低遠(yuǎn)程相互作用,并通過(guò)量子糾錯(cuò)、糾纏蒸餾等方式建立節(jié)點(diǎn)之間的高保真度量子糾纏.這就需要考慮如何構(gòu)建節(jié)點(diǎn)內(nèi)部的編碼以及對(duì)應(yīng)的糾錯(cuò)方案[147].

第三,如何實(shí)現(xiàn)混合量子編碼轉(zhuǎn)換？

實(shí)現(xiàn)不同物理平臺(tái)之間的量子信息的傳遞和轉(zhuǎn)化,即實(shí)現(xiàn)混合量子編碼的轉(zhuǎn)換可以有效地利用不同平臺(tái)的特性,揚(yáng)長(zhǎng)避短: 一方面,對(duì)于量子度量學(xué)方面的應(yīng)用,用于探測(cè)的物理系統(tǒng)不一定會(huì)具備較強(qiáng)的信息處理能力,因而需要轉(zhuǎn)換到超導(dǎo)等量子調(diào)控能力較強(qiáng)的系統(tǒng)以便進(jìn)行后續(xù)的糾錯(cuò)測(cè)量等處理.另一方面,出于構(gòu)建量子網(wǎng)絡(luò)以及實(shí)現(xiàn)分布式量子計(jì)算的考慮,相距較遠(yuǎn)的超導(dǎo)量子芯片之間必須借助飛行比特進(jìn)行信息交換,而微波光子容易與超導(dǎo)芯片進(jìn)行耦合,但其極易受到環(huán)境電磁噪聲干擾,在常溫下受到損耗和熱噪聲的限制無(wú)法進(jìn)行遠(yuǎn)距離傳輸.因此,需要將微波光子編碼的量子態(tài)轉(zhuǎn)換到其他物理載體上,如通信波段光子,其對(duì)于噪聲的容忍能力較強(qiáng),支持遠(yuǎn)距離傳輸.除了微波-光波轉(zhuǎn)換外,還可以進(jìn)一步考慮微波-聲波轉(zhuǎn)換.這不僅需要考慮并設(shè)計(jì)不同物理系統(tǒng)之間相互作用的形式,還需要從編碼層面綜合考慮各系統(tǒng)適用的并且容易進(jìn)行轉(zhuǎn)換的量子糾錯(cuò)碼.

第四,如何實(shí)現(xiàn)對(duì)特定噪聲免疫的量子控制？

量子系統(tǒng)的控制包括對(duì)量子態(tài)的操控以及測(cè)量.控制性能的提升需要從兩方面入手,一個(gè)是從原理上免疫特定噪聲,另一個(gè)是從優(yōu)化層面減少噪聲影響.對(duì)于二能級(jí)類型編碼以及玻色模式編碼都已經(jīng)有相關(guān)研究可以從原理上免疫一些噪聲,比方說(shuō)通過(guò)設(shè)計(jì)系統(tǒng)相互作用實(shí)現(xiàn)的路徑無(wú)關(guān)的SNAP門(mén)可以抵抗輔助比特的噪聲以及實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)測(cè)量[127].相關(guān)研究需要深入考慮能否適用于更大規(guī)模的系統(tǒng)、能否推廣至更為普適的門(mén)操作集合、能否進(jìn)一步免疫主系統(tǒng)的高階噪聲.從優(yōu)化層面考慮減少噪聲的影響依賴于噪聲模型的精細(xì)化,包括需要考慮連續(xù)形式的噪聲,如果引入相關(guān)的輔助系統(tǒng),還需要考慮輔助系統(tǒng)本身的不完美性.考慮到現(xiàn)日益增長(zhǎng)的物理比特?cái)?shù)目,一個(gè)實(shí)用的算法還必需盡可能減少優(yōu)化的復(fù)雜度.

第五,在考慮資源消耗的情況下是否有更切合實(shí)際的糾錯(cuò)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)？

實(shí)現(xiàn)量子糾錯(cuò)需要投入數(shù)量巨大的物理比特用于編碼一個(gè)邏輯比特,就短期而言我們更多地關(guān)注于邏輯比特是否突破盈虧平衡點(diǎn)以及能否進(jìn)行拓展以證實(shí)量子糾錯(cuò)的效果.但中長(zhǎng)期而言,可供選擇的糾錯(cuò)方案逐漸增加,我們需要評(píng)價(jià)各種糾錯(cuò)方案的優(yōu)劣,因而需要更切合實(shí)際的指標(biāo)來(lái)衡量投入的資源與邏輯比特所能實(shí)現(xiàn)的信息處理能力.這其中的資源包括空間、時(shí)間上的資源,如所投入的物理比特?cái)?shù)量以及實(shí)現(xiàn)邏輯門(mén)操作所需要的時(shí)間等.

第六,近期如何實(shí)現(xiàn)帶糾錯(cuò)的量子優(yōu)勢(shì)？

目前的量子系統(tǒng)正處于帶噪聲的中等規(guī)模的量子(NISQ)時(shí)代[143],在這期間,量子系統(tǒng)可以集成五十到數(shù)百個(gè)帶噪聲的量子比特,接近或者超過(guò)經(jīng)典計(jì)算機(jī)所能模擬的極限,就算在不考慮糾錯(cuò)的情況下,也可能在量子退火(quantum annealing)、量子深度學(xué)習(xí)(quantum deep learning)等方面實(shí)現(xiàn)量子優(yōu)勢(shì).而在未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)糾錯(cuò)的規(guī)模與質(zhì)量仍將逐步上升,雖然距離實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)量子計(jì)算仍有一段距離,但是可以預(yù)見(jiàn)在這個(gè)階段糾錯(cuò)操作將逐漸抑制噪聲,使得在糾錯(cuò)的情況下量子系統(tǒng)在一些應(yīng)用上具有進(jìn)一步超越經(jīng)典系統(tǒng)的性能.

第七,如何在實(shí)驗(yàn)中探索并演示容錯(cuò)量子門(mén)？

當(dāng)前達(dá)到盈虧平衡的量子糾錯(cuò)碼還鮮有實(shí)驗(yàn)報(bào)道,而實(shí)驗(yàn)上如何設(shè)計(jì)容錯(cuò)量子操作從而提高基于量子糾錯(cuò)碼的量子操作的保真度是當(dāng)前量子糾錯(cuò)研究的一個(gè)重要的方向,也是實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)量子計(jì)算的必經(jīng)之路.最近幾年這方面的理論和實(shí)驗(yàn)研究也得到了更多的關(guān)注,人們對(duì)容錯(cuò)這一概念的理解也逐步突破傳統(tǒng)橫向量子門(mén)的局限.通常,容錯(cuò)這個(gè)詞的出現(xiàn)伴隨著閾值,也就是當(dāng)系統(tǒng)的錯(cuò)誤率低于某一閾值時(shí)就可以通過(guò)擴(kuò)展系統(tǒng)的維度來(lái)降低錯(cuò)誤率.然而,立足于實(shí)驗(yàn),證實(shí)容錯(cuò)閾值在短期內(nèi)十分具有挑戰(zhàn)性.我們應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步拓展容錯(cuò)的概念,并在較小規(guī)模的系統(tǒng)中探索容錯(cuò)實(shí)驗(yàn)的一些基本特征并挖掘之前理論所忽視的實(shí)際問(wèn)題[148].例如,近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的旗幟比特(flag qubit)[149]等方法可以在物理比特?cái)?shù)目較少但比特之間連通性較好的前提下容錯(cuò)地實(shí)現(xiàn)通用邏輯門(mén)操作,以及前面提到的基于噪聲免疫實(shí)現(xiàn)路徑無(wú)關(guān)[150]或者錯(cuò)誤透明[101]的量子邏輯門(mén).

最后,我們預(yù)期量子糾錯(cuò)在理論方面能夠與量子信息之外的其他領(lǐng)域結(jié)合,進(jìn)一步延拓量子糾錯(cuò)方法的理論內(nèi)涵[151].例如,最近發(fā)現(xiàn)的量子糾錯(cuò)與凝聚態(tài)多體系統(tǒng)、高能物理中全息對(duì)偶原理的聯(lián)系使理論物理學(xué)家們非常興奮[152,153].一方面,可以借助超導(dǎo)量子系統(tǒng)中的糾錯(cuò)碼來(lái)研究凝聚態(tài)中的拓?fù)湮飸B(tài),包括自旋液體態(tài)[84]和分形子(Fracton)[154].另一方面,也可以借助其他領(lǐng)域中的一些有趣的模型來(lái)構(gòu)建新的量子糾錯(cuò)碼或者加深對(duì)它們的理解,例如HaPPY 碼[153]和基于含時(shí)橫場(chǎng)伊辛(Ising)模型的實(shí)用量子糾錯(cuò)[155].