問(wèn)題解決中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換

■ 盧清榮 盧睿瑄

“會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)內(nèi)涵的三個(gè)方面之一。學(xué)生要能“通過(guò)經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中的簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系與空間形式的過(guò)程，初步感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的交流方式；能夠有意識(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)生活和其他學(xué)科中事物的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律，并能解釋表達(dá)的合理性?！薄皢?wèn)題解決的活動(dòng)是以問(wèn)題為目標(biāo)導(dǎo)向、以思考為內(nèi)涵，運(yùn)用已有知識(shí)去探索新情境中的問(wèn)題結(jié)果的活動(dòng)。”在問(wèn)題解決的過(guò)程中，學(xué)生要用已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)去進(jìn)行觀察、思考、探索和表達(dá)，這些活動(dòng)都離不開(kāi)數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換，也就是學(xué)生把文字語(yǔ)言、圖表語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換的過(guò)程。小學(xué)生的問(wèn)題解決過(guò)程包括“感知理解問(wèn)題階段、確定求解方案階段、實(shí)施問(wèn)題解決階段、檢驗(yàn)評(píng)價(jià)階段”。無(wú)論在哪個(gè)階段，學(xué)生只有通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換，才能實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的理解、分析、推理或演算。數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換越深刻，學(xué)生理解問(wèn)題就越清晰，分析問(wèn)題就越有條理，解決問(wèn)題就越順利，數(shù)學(xué)表達(dá)就越流暢。因此，靈活轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語(yǔ)言是學(xué)生發(fā)展問(wèn)題解決能力的關(guān)鍵，也是他們運(yùn)用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行思考的關(guān)鍵。

一、感知階段轉(zhuǎn)換，理解問(wèn)題實(shí)質(zhì)

感知理解問(wèn)題就是學(xué)生通過(guò)閱讀、觀察、提取、比較等思維活動(dòng)在頭腦中構(gòu)建問(wèn)題表征的過(guò)程。對(duì)問(wèn)題情境的理解水平直接影響著學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的分析和求解方案的確立。理解問(wèn)題階段，教師要引導(dǎo)學(xué)生閱讀情境信息，分析情境問(wèn)題，并轉(zhuǎn)述問(wèn)題情境的含義，為學(xué)生提供將新問(wèn)題納入已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中的學(xué)習(xí)空間，恰當(dāng)提出“中間”問(wèn)題，促進(jìn)他們開(kāi)展豐富多彩的感知活動(dòng)來(lái)理解問(wèn)題結(jié)構(gòu)。學(xué)生在理解問(wèn)題的過(guò)程中恰當(dāng)轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語(yǔ)言，就能整理情境中的分散信息，掌握有用信息之間的邏輯關(guān)系，為合理、正確地解決問(wèn)題提供可能。

教學(xué)“長(zhǎng)方形和正方形面積”時(shí)，有這樣一道題目：一個(gè)邊長(zhǎng)為10 米的正方形養(yǎng)魚(yú)池的四個(gè)角上分別栽種了一棵樹(shù)?，F(xiàn)在要擴(kuò)大養(yǎng)魚(yú)池，在不移動(dòng)四棵樹(shù)的情況下，擴(kuò)大后的養(yǎng)魚(yú)池形狀仍然是正方形，擴(kuò)大后的面積是多少平方米？學(xué)生閱讀題目理解問(wèn)題情境有困難，無(wú)法順利建立魚(yú)池、栽樹(shù)點(diǎn)和正方形之間的聯(lián)系，問(wèn)題無(wú)從下手。教師引導(dǎo)學(xué)生思考：“把樹(shù)看作一個(gè)點(diǎn)，正方形的四個(gè)角各栽一棵樹(shù)，栽樹(shù)位置與正方形有什么關(guān)系？”學(xué)生經(jīng)過(guò)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)嘗試畫(huà)出更大的正方形，并聯(lián)想所畫(huà)正方形與原來(lái)正方形之間的關(guān)系。

理解問(wèn)題階段要讓學(xué)生明確已知條件中的有用信息，知道問(wèn)題情境需要解決的問(wèn)題是什么，從而理解問(wèn)題本質(zhì)。學(xué)生面對(duì)的問(wèn)題中包含的信息比較多，有正方形、魚(yú)池、正方形四個(gè)角栽樹(shù)、擴(kuò)大成新的正方形等。教師要提供“中間問(wèn)題”引導(dǎo)學(xué)生思考，“把樹(shù)看作點(diǎn)，栽樹(shù)位置的點(diǎn)與正方形有什么關(guān)系？”在思考中間問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為圖形語(yǔ)言，抽象出正方形四角栽樹(shù)的生活問(wèn)題就是正方形及四個(gè)頂點(diǎn)位置關(guān)系的數(shù)學(xué)問(wèn)題——求魚(yú)池?cái)U(kuò)大后的新正方形的面積，需要先確定它的邊長(zhǎng)。學(xué)生畫(huà)大正方形的過(guò)程把問(wèn)題轉(zhuǎn)換成“過(guò)頂點(diǎn)作正方形對(duì)角線的垂線”的新問(wèn)題。通過(guò)圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為新的圖形語(yǔ)言，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形之間的聯(lián)系，并有條理地表達(dá)所要求的問(wèn)題，從而順利地理解問(wèn)題。

二、確定階段轉(zhuǎn)換，催生求解方案

確定求解方案是根據(jù)數(shù)量關(guān)系確定問(wèn)題解決的思路、步驟和具體的方法。其過(guò)程實(shí)質(zhì)上是在對(duì)問(wèn)題情境理解和數(shù)量關(guān)系把握基礎(chǔ)上，看清楚“已知條件”(當(dāng)時(shí)的狀況)和“所求問(wèn)題”(必須達(dá)到的目標(biāo))之間的差距，利用相關(guān)背景知識(shí)，先在頭腦中建構(gòu)問(wèn)題表征，再根據(jù)一定的推理規(guī)則和解題策略，把生活問(wèn)題抽象為系統(tǒng)的、邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)問(wèn)題，設(shè)計(jì)解題步驟，選擇解題策略，表征問(wèn)題結(jié)構(gòu)，確定解題思路。將生活問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換的過(guò)程。如果數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換順利，學(xué)生對(duì)問(wèn)題結(jié)構(gòu)表征就具體形象。學(xué)生對(duì)問(wèn)題結(jié)構(gòu)的抽象越明確，就越有利于建立清晰的解題思路。

教學(xué)“多邊形面積”時(shí)，有這樣一道題目：一塊長(zhǎng)5分米、寬4分米的長(zhǎng)方形彩紙，可以剪成多少個(gè)兩條直角邊都是4 厘米的直角三角形彩旗？學(xué)生把剪彩紙的生活問(wèn)題抽象為平均分面積的問(wèn)題，并基于先前知識(shí)經(jīng)驗(yàn)“已知長(zhǎng)方形和三角形的面積，用長(zhǎng)方形剪三角形”，在頭腦中建構(gòu)解題計(jì)劃——求剪成直角三角形的個(gè)數(shù)可以類化為“長(zhǎng)方形面積中包含三角形面積個(gè)數(shù)”的平均分模型，列出算式：（50×40）÷（4×4÷2）=250（個(gè)）。

交流思路時(shí)，個(gè)別學(xué)生質(zhì)疑方法的局限性，認(rèn)為剪三角形不能包含拼接現(xiàn)象，如果剪的過(guò)程中出現(xiàn)“邊角料”現(xiàn)象，就會(huì)影響平均分模型解題的適用性。學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖轉(zhuǎn)換問(wèn)題表征形式，發(fā)現(xiàn)剪三角形的問(wèn)題就是“每排剪幾個(gè)，剪幾排，求一共剪多少個(gè)”，就是求幾個(gè)幾是多少的乘法模型問(wèn)題。畫(huà)圖（示意圖、線段圖、連線列舉圖、集合圖）是數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換的基本形式，可以將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化。學(xué)生畫(huà)圖的過(guò)程就是把抽象的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為圖形語(yǔ)言的過(guò)程。圖形語(yǔ)言以其可見(jiàn)的直觀性拉近了已知條件與問(wèn)題之間的距離，學(xué)生因此找到錯(cuò)誤思路的癥結(jié)。數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換幫助學(xué)生調(diào)整解題方案，形成了問(wèn)題解決的正確思路。

三、實(shí)施階段轉(zhuǎn)換，優(yōu)化解題方法

實(shí)施問(wèn)題解決的過(guò)程實(shí)質(zhì)就是執(zhí)行問(wèn)題解決方案的過(guò)程，也就是求解問(wèn)題答案的過(guò)程。在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程中，學(xué)生根據(jù)問(wèn)題的已知條件，按照問(wèn)題解決的思路將問(wèn)題情境中數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，列出相應(yīng)的算式，并求出答案。解決問(wèn)題時(shí)，學(xué)生既要明白自己每一步求解的目標(biāo)是什么，又要判斷每一步是否正確。問(wèn)題解決過(guò)程離不開(kāi)數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換，靈活轉(zhuǎn)換能有效提升學(xué)生的運(yùn)算能力、知識(shí)應(yīng)用能力和交流表達(dá)能力。

教學(xué)“列方程解決實(shí)際問(wèn)題”時(shí)，有這樣一道題目：西安大雁塔高64 米，比小雁塔高度的2 倍少22米，小雁塔高多少米？學(xué)生已經(jīng)會(huì)寫含有字母的式子，會(huì)用等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)易方程，會(huì)列方程解決一步計(jì)算的實(shí)際問(wèn)題。結(jié)合題目中的數(shù)學(xué)信息分析，學(xué)生能根據(jù)“大雁塔的高度比小雁塔高度的2倍少22 米”發(fā)現(xiàn)大雁塔和小雁塔高度之間的關(guān)系，并進(jìn)行完整表述：1.小雁塔的高度×2－22=大雁塔的高度；2.小雁塔的高度×2=大雁塔的高度＋22；3.小雁塔的高度×2－大雁塔的高度=22；4.（大雁塔的高度+22）÷2=小雁塔的高度，再設(shè)出未知數(shù)并解答，最后交流解方程的過(guò)程并寫出答案。學(xué)生在交流、比較中認(rèn)識(shí)到列方程解決實(shí)際問(wèn)題一般用最直接明了的數(shù)量關(guān)系比較簡(jiǎn)便。

教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平及已有經(jīng)驗(yàn)引導(dǎo)他們列方程解決實(shí)際問(wèn)題。學(xué)生的問(wèn)題解決過(guò)程就是不斷轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語(yǔ)言的過(guò)程：在文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為新的文字語(yǔ)言中，他們從問(wèn)題情境中抽象出數(shù)量關(guān)系式；在文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言中，他們根據(jù)數(shù)量關(guān)系式列出方程；在符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為新的符號(hào)語(yǔ)言中，他們解方程求出未知數(shù)。通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換，學(xué)生發(fā)現(xiàn)列方程解決問(wèn)題可以把題目中的未知量與已知量放在同等地位，思考過(guò)程更順暢、更靈活；通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換，他們不但理解并掌握了方程的解法，而且能靈活列方程解決實(shí)際問(wèn)題，還能體會(huì)方程的思想方法及價(jià)值，養(yǎng)成獨(dú)立思考、主動(dòng)與他人合作交流等習(xí)慣，最終順利解決了問(wèn)題，并優(yōu)化了解決問(wèn)題的方法——選出了數(shù)量關(guān)系與題目信息吻合，能充分體現(xiàn)思考過(guò)程與解答同步的方程。

四、檢驗(yàn)階段轉(zhuǎn)換，評(píng)價(jià)探究過(guò)程

豐富的思維價(jià)值蘊(yùn)含在問(wèn)題解決的過(guò)程中?；仡?、反思問(wèn)題解決的過(guò)程，有助于學(xué)生掌握問(wèn)題解決的方法以及策略等，促進(jìn)學(xué)生問(wèn)題解決能力的發(fā)展。檢驗(yàn)評(píng)價(jià)可以從以下幾方面入手：再次觀察問(wèn)題情境，回顧問(wèn)題解決過(guò)程，檢驗(yàn)求解算式，驗(yàn)證問(wèn)題解決結(jié)果是否正確；反思問(wèn)題解決過(guò)程，分析解題途徑是否合理、精致、簡(jiǎn)捷，反思為什么要選擇這樣的解題方法；評(píng)價(jià)解決問(wèn)題的策略是否正確、簡(jiǎn)潔，能否有更簡(jiǎn)潔的途徑驗(yàn)證解題準(zhǔn)確性，凸顯問(wèn)題解決方案的多樣化和靈活性。檢驗(yàn)是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的重要環(huán)節(jié)，可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)一些錯(cuò)誤，總結(jié)反思可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)其他解題途徑，發(fā)現(xiàn)不同解題方法之間的聯(lián)系，以便成為一個(gè)更好的問(wèn)題解決者。

教學(xué)“最小公倍數(shù)”時(shí)，有這樣一道題目：張師傅和李師傅出海打魚(yú)，張師傅每休息5天出海打魚(yú)一天，李師傅每休息3天出海打魚(yú)一天。如果張師傅和李師傅在5月3日同時(shí)出海打魚(yú)，那么，他們下一次同時(shí)出海打魚(yú)的時(shí)間是幾月幾日？學(xué)生嘗試練習(xí)后進(jìn)行交流，多數(shù)學(xué)生先求出5 和3 的最小公倍數(shù)15，再?gòu)? 月3 日往后推15 天，即5 月18 日為他們?cè)俅瓮瑫r(shí)出海打魚(yú)的時(shí)間。個(gè)別學(xué)生畫(huà)日歷圖解決問(wèn)題：從5月3日開(kāi)始，張師傅再次出海日期為9 日、15 日、21 日、27 日……王師傅再次出海的日期為7 日、11 日、15 日、19 日……他們?cè)俅瓮瑫r(shí)出海的時(shí)間是5月15日。學(xué)生的不同答案，似乎都有道理。究竟哪種答案是正確的呢？教師引導(dǎo)學(xué)生分析自己的思路和想法，讓其他學(xué)生檢驗(yàn)并判斷。有學(xué)生提出問(wèn)題：“張師傅是休、休、休、休、休、出；李師傅是休、休、休、出。休息5 天打魚(yú)一天的循環(huán)周期是幾？”有的學(xué)生把原來(lái)題目中的信息換一種說(shuō)法，就是張師傅每6 天出海打魚(yú)一天，李師傅每4 天出海打魚(yú)一天，求出6 和4 的最小公倍數(shù)12，再用5月3日加上12天就是5月15日。答案在爭(zhēng)執(zhí)中越來(lái)越明朗，出現(xiàn)錯(cuò)誤答案的學(xué)生反思自己的錯(cuò)誤原因時(shí)，認(rèn)為自己原來(lái)的想法只關(guān)注了兩人的休息時(shí)間5和3，從而出現(xiàn)了方向性選擇錯(cuò)誤。

在問(wèn)題解決過(guò)程中，學(xué)生理解問(wèn)題的角度不同，常常會(huì)在解決同一個(gè)問(wèn)題時(shí)提出不同的方法。這些方法可能都是對(duì)的，可能都是錯(cuò)的，也可能既有對(duì)的也有錯(cuò)的，需要學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)檢驗(yàn)、評(píng)價(jià)和反思，以便從中獲得不同的啟示。學(xué)生的質(zhì)疑、檢驗(yàn)和反思過(guò)程，其實(shí)就是評(píng)價(jià)他人或自己方法的過(guò)程，也是數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換的過(guò)程，他們把“休息5天打魚(yú)一天”“休息3 天打魚(yú)一天”轉(zhuǎn)換為新的文字語(yǔ)言，從而發(fā)現(xiàn)了方法的錯(cuò)誤；學(xué)生檢驗(yàn)循環(huán)周期的過(guò)程是把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為圖形語(yǔ)言的過(guò)程，他們通過(guò)畫(huà)圖正確理解了題意，解決了問(wèn)題；學(xué)生把原來(lái)題目中的信息換一種說(shuō)法的過(guò)程就是把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為新的文字語(yǔ)言，解決問(wèn)題比較簡(jiǎn)潔。

總之，問(wèn)題解決是數(shù)學(xué)思維的過(guò)程和目的，也是數(shù)學(xué)思維的基本方法。數(shù)學(xué)問(wèn)題解決遠(yuǎn)不是單一的解題技巧，它是綜合構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，是設(shè)計(jì)求解模型方法的過(guò)程，也是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維幫助思考的過(guò)程。教師要引導(dǎo)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的思維探索、分析和解決簡(jiǎn)單陌生情境中的現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題，給出數(shù)學(xué)描述和解釋，運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言與思想方法，綜合運(yùn)用多個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)，提出設(shè)計(jì)思路，制定解決方案，能夠在解決問(wèn)題的過(guò)程中選擇合適的方法進(jìn)行評(píng)估……”在問(wèn)題解決過(guò)程中，如果教師能引導(dǎo)學(xué)生熟練轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語(yǔ)言，就能幫助學(xué)生順利發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系、正確分析問(wèn)題和理解問(wèn)題，就能幫助他們?cè)O(shè)計(jì)正確的求解方案，實(shí)施有效的問(wèn)題解決。