“經(jīng)驗數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵、價值及實踐*

戚洪祥 張新高

數(shù)學(xué)無處不在。不論是數(shù)學(xué)專業(yè)人員還是普通人，每天都會與數(shù)學(xué)打交道。從某種意義上來說，我們每個人都具有一定的數(shù)學(xué)經(jīng)驗?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）中有114次提及“經(jīng)驗”，主要以“經(jīng)驗”“活動經(jīng)驗”“數(shù)學(xué)經(jīng)驗”“學(xué)習(xí)經(jīng)驗”等四種提法出現(xiàn)。

一、從雙重意義理解“經(jīng)驗數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵

1.經(jīng)驗的內(nèi)涵解讀

“經(jīng)驗”一詞在《現(xiàn)代漢語詞典》中的解釋為：（1）名詞，在活動中得到的知識或技能；（2）動詞，體驗、經(jīng)歷。這兩種解釋與美國教育家杜威對經(jīng)驗意義的雙重界定（經(jīng)驗的事物、經(jīng)驗的過程）高度一致，即經(jīng)驗既表示結(jié)果也表示過程。從數(shù)學(xué)學(xué)科來看，不論是數(shù)學(xué)知識本身還是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，都在一定程度上體現(xiàn)了經(jīng)驗的雙重意義，使得二者都具有經(jīng)驗性。

數(shù)學(xué)知識體系的經(jīng)驗性。數(shù)學(xué)學(xué)科知識最初源自人們的生活實踐，人們首先從生活情境中抽象出數(shù)學(xué)問題（即抽象），然后結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)知識選取合適的方法進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)科的演繹（即推理），最終利用數(shù)學(xué)知識解決生活中的實際問題（即模型）。這一過程與史寧中教授提出的“數(shù)學(xué)的基本思想是抽象、邏輯、模型”相一致。學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識基本上都是人們在生活實踐中提煉出來的，屬于經(jīng)驗性知識。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的經(jīng)驗性。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：學(xué)習(xí)過程是一種認(rèn)知過程，是學(xué)生內(nèi)部認(rèn)知結(jié)構(gòu)變化的過程，是學(xué)生主動對外部的信息和刺激進(jìn)行吸收、加工和賦予意義的過程。學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗是教師組織數(shù)學(xué)教學(xué)的邏輯起點，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實起點。從教的視角來看，教師預(yù)設(shè)、組織、實施教學(xué)活動，都應(yīng)充分考慮學(xué)生的已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗，關(guān)注學(xué)習(xí)過程中學(xué)生的體驗。從學(xué)的視角來看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程就是學(xué)生面對學(xué)習(xí)材料，經(jīng)歷豐富的、完整的觀察、操作、思考、想象、反思等數(shù)學(xué)活動，從而涵育數(shù)學(xué)素養(yǎng)，獲得生命成長。在這一過程中，學(xué)生對已有經(jīng)驗不斷解構(gòu)與重構(gòu)，從而使它轉(zhuǎn)變?yōu)樾碌慕?jīng)驗。從評的視角來看，如果沒有經(jīng)驗的解構(gòu)與重構(gòu)，學(xué)習(xí)活動就是低效的，甚至是無效的，學(xué)習(xí)就沒有真正發(fā)生。

2.“經(jīng)驗數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵解讀

基于“經(jīng)驗”的雙重詞性，“經(jīng)驗數(shù)學(xué)”是一種教學(xué)主張，倡導(dǎo)通過轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，以他們的已有經(jīng)驗為基礎(chǔ)，以經(jīng)驗過程為目標(biāo)，構(gòu)建以學(xué)為中心的學(xué)習(xí)樣態(tài)，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，最終實現(xiàn)他們核心素養(yǎng)的培育。

經(jīng)驗的事物之“經(jīng)驗數(shù)學(xué)”。從“經(jīng)驗的事物”這一視角來看，“經(jīng)驗數(shù)學(xué)”觀照的經(jīng)驗主要指學(xué)生的生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)經(jīng)驗。當(dāng)學(xué)生面對新情境、新問題時，會獲得一種原始的、模糊的甚至不正確的經(jīng)驗，隨著學(xué)習(xí)活動的展開與深入，這種經(jīng)驗逐步被改造、升級，成為較為清晰的、準(zhǔn)確的新經(jīng)驗，新經(jīng)驗在多次被調(diào)用、反思、重塑后，內(nèi)化為經(jīng)驗圖式，學(xué)生便形成了自己個性化的經(jīng)驗圖譜。

經(jīng)驗的過程之“經(jīng)驗數(shù)學(xué)”。從“經(jīng)驗的過程”這一視角來看，“經(jīng)驗數(shù)學(xué)”強調(diào)“再經(jīng)歷”“再創(chuàng)造”，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的具身操作、獨立思考、合作探究、交流辨析、自主實踐等學(xué)習(xí)方式。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是簡單的背誦、記憶、做題，而要讓學(xué)生完整地經(jīng)歷知識發(fā)生、發(fā)展的過程。

3.“經(jīng)驗數(shù)學(xué)”的顯著特征

經(jīng)驗的事物與過程具有個體的獨特性。與外顯的數(shù)學(xué)學(xué)科知識不同，學(xué)生的已有經(jīng)驗受其身心發(fā)展?fàn)顟B(tài)、社會生活背景、感悟能力等因素的影響，呈現(xiàn)出顯著的差異性，體現(xiàn)出明顯的獨特性。面對相同的情境、問題或材料，不同個體獲得經(jīng)驗的程度也不同，有些人有了經(jīng)歷卻沒有構(gòu)成經(jīng)驗，有些人獲得了一個初步的經(jīng)驗，有些人則得到了一個完整的經(jīng)驗。當(dāng)然，經(jīng)驗的過程并非一定需要具身參與，也可以是學(xué)生在與學(xué)習(xí)伙伴分享交流、質(zhì)疑討論的過程中進(jìn)行思辨和內(nèi)化，將他人的經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為自己的，重塑自身經(jīng)驗的過程。

經(jīng)驗的事物與過程具有遷移的兩面性。對學(xué)生來說，在新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，已有經(jīng)驗有著積極與消極的兩面性。其積極作用體現(xiàn)在：當(dāng)學(xué)生面對新情境、新問題時，經(jīng)驗往往可以驅(qū)動、支撐他們思考，并成為他們學(xué)習(xí)新知的有效支架，最終使其不太完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)變得更加完善，原有低級認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展為更加高級的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。其消極作用體現(xiàn)在：當(dāng)學(xué)生面對新情境、新問題時，會產(chǎn)生認(rèn)知沖突，從而導(dǎo)致認(rèn)知失衡，此時原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)會開啟自我保護(hù)功能，拒絕新知識進(jìn)入。另外，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中容易受數(shù)學(xué)思維、習(xí)慣常規(guī)等數(shù)學(xué)經(jīng)驗（即思維定勢）束縛，導(dǎo)致新知學(xué)習(xí)不暢、學(xué)習(xí)能力鈍化。

經(jīng)驗的事物與過程具有動態(tài)的發(fā)展性。學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗來源豐富，可能是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，也可能是其他學(xué)科的學(xué)習(xí)活動或課外社會活動。從主體與客體相互作用的角度來看，經(jīng)驗的事物與過程都是動態(tài)的、發(fā)展的、可利用的，是聯(lián)絡(luò)未來的。任何一個經(jīng)驗的過程都要花時間來完成，它是一個“有始有終、中間有發(fā)展”的動態(tài)生長過程。當(dāng)學(xué)生處于新的學(xué)習(xí)情境、面對新的數(shù)學(xué)問題時，他們的已有經(jīng)驗會悄無聲息地融入進(jìn)來，激發(fā)認(rèn)知沖突，從而啟動新一輪的學(xué)習(xí)活動。如此，學(xué)習(xí)的真實發(fā)生總是從經(jīng)驗的遷移開始，伴隨著經(jīng)驗的失衡、解構(gòu)、重構(gòu)與心理的反省、摒棄、重組等一系列活動過程，這種螺旋上升的動態(tài)、循環(huán)往復(fù)的經(jīng)驗過程帶來了經(jīng)驗事物的自然生長。

二、從多重功能彰顯“經(jīng)驗數(shù)學(xué)”的價值

1.落實數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的新舉措

為了體現(xiàn)整體的一致性，義務(wù)教育階段的課標(biāo)與高中階段一樣，采用核心素養(yǎng)來表述課程目標(biāo)，并將“側(cè)重對經(jīng)驗的感悟”明確為小學(xué)階段的目標(biāo)之一?！皠?chuàng)新意識”作為數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的11 個小學(xué)生核心素養(yǎng)之一，其內(nèi)涵中指向小學(xué)階段的有“主動嘗試……發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題”“勇于探索……實際問題與數(shù)學(xué)問題”。學(xué)生要想“發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題”，就需要有一定的與現(xiàn)象和情境相關(guān)聯(lián)的經(jīng)驗，這種經(jīng)驗是生發(fā)問題的源頭活水。另外，學(xué)生要“探索問題”，就需要有探索問題的一般路徑與方法，也就意味著要有“經(jīng)驗過程”的經(jīng)驗。

2.促進(jìn)學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)型的新路徑

近年來，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式發(fā)生了一些改變，但學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)還未能跟上時代發(fā)展的步伐，通過轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式來促進(jìn)其創(chuàng)新能力的提升一直是教育教學(xué)研究的熱點之一。新課標(biāo)明確指出：學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)是一個主動的過程，認(rèn)真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式?！敖?jīng)驗數(shù)學(xué)”強調(diào)在一定的情境中，讓學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)活動和經(jīng)驗學(xué)習(xí)過程，并積極對初步的、模糊的經(jīng)驗進(jìn)行加工處理。教師在設(shè)計教學(xué)活動時，應(yīng)注意融入學(xué)生的實踐知識和實際經(jīng)驗，通過營造氛圍、設(shè)計任務(wù)、搭建支架等激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的能動性，使學(xué)習(xí)真實發(fā)生，從而使學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)成為可能。

三、從三個維度關(guān)注“經(jīng)驗數(shù)學(xué)”的實踐

1.“經(jīng)驗數(shù)學(xué)”之教——讓創(chuàng)新意識自主生發(fā)

讓創(chuàng)新意識生發(fā)于問題情境中。數(shù)學(xué)在生活中無處不在，生活情境是學(xué)生創(chuàng)新意識生發(fā)的源點?！敖?jīng)驗數(shù)學(xué)”的教學(xué)預(yù)設(shè)與展開關(guān)注問題情境的創(chuàng)設(shè)，關(guān)注學(xué)生生活經(jīng)驗的激發(fā)與融入。從外顯的角度來看，學(xué)生創(chuàng)新意識產(chǎn)生的火花源于有效問題的產(chǎn)生，而學(xué)生熟悉的、有效的生活情境與經(jīng)驗?zāi)芤l(fā)學(xué)生大膽地猜想，這種猜想就是一種創(chuàng)新。教師在備課時，要注意調(diào)研學(xué)情，了解學(xué)生在日常生活與實踐活動中所經(jīng)歷、獲得的經(jīng)驗，這些經(jīng)驗看似平常，但如果教師能充分挖掘其價值，并將其合理地融入教學(xué)，將有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，孕育創(chuàng)新意識。如教學(xué)“認(rèn)識平行與相交”時，教師可以設(shè)計“兩支鉛筆同時掉到桌子上，結(jié)果會怎么樣？”這一學(xué)生特別熟悉的問題情境，接著開展想一想、畫一畫、分一分、說一說等活動，讓學(xué)生經(jīng)歷概念抽象的一般過程。

讓創(chuàng)新意識生發(fā)于動手操作中。數(shù)學(xué)是好玩的，兒童是好（hào）玩的，陶行知先生提出的“六大解放”之一就是“解放小孩子的雙手”?！敖?jīng)驗數(shù)學(xué)”主張在課堂上給予學(xué)生足夠的時間和空間，讓創(chuàng)新意識從學(xué)生的指尖迸發(fā)出來。如教學(xué)“圓的面積”時，教師可以借助學(xué)具，引導(dǎo)學(xué)生討論用不同方法拼擺出圖形來推導(dǎo)面積。與講思路、播PPT、讀結(jié)論的教學(xué)相比，與傳統(tǒng)意義上的動手操作相比，“經(jīng)驗數(shù)學(xué)”教學(xué)更加注重學(xué)生已有經(jīng)驗的激發(fā)，更加重視“知行合一”的創(chuàng)造性實踐，更加關(guān)注學(xué)生在操作過程中的具身體驗和實踐探究。

2.“經(jīng)驗數(shù)學(xué)”之學(xué)——促創(chuàng)新意識自由生長

讓創(chuàng)新意識生長于遷移重構(gòu)的學(xué)習(xí)動態(tài)。當(dāng)學(xué)生面對新情境、新問題時，經(jīng)驗?zāi)軌蛱峁┚唧w、可靠而及時的反饋，幫助其理清新情境、新問題中蘊含的信息?！敖?jīng)驗數(shù)學(xué)”提出重經(jīng)驗、重體驗、重驗證的“三重”學(xué)習(xí)觀，其中，重驗證就是要啟發(fā)學(xué)生把學(xué)到的數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)規(guī)則應(yīng)用到新的、實際問題的解決中，創(chuàng)新意識則于這個過程中產(chǎn)生。如在學(xué)生合作探究出“偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)”這一規(guī)律，并依次進(jìn)行舉例驗證、數(shù)形驗證、字母驗證的分享后，有學(xué)生提出：“我突然想到，可以用字母驗證的方法來說明‘2、3、5 的倍數(shù)的特征’?！闭Z言是思維的外殼，學(xué)生口中的“我覺得”“我突然想到”“受×××的啟發(fā)”等話語，正是他們自覺地去遷移、去創(chuàng)新后的真情流露。

讓創(chuàng)新意識生長于學(xué)思融通的學(xué)習(xí)樣態(tài)。從內(nèi)隱的學(xué)習(xí)心理學(xué)、認(rèn)知發(fā)生論的視角出發(fā)，“經(jīng)驗數(shù)學(xué)”倡導(dǎo)建構(gòu)學(xué)思融通的學(xué)習(xí)樣態(tài)。首先，通過創(chuàng)設(shè)問題情境或?qū)W習(xí)任務(wù)激活學(xué)生的已有經(jīng)驗，促進(jìn)他們獨立思考，引發(fā)其經(jīng)驗失衡，促使他們在不斷自問、質(zhì)疑、嘗試之后，將自己的思考通過多元化的表征方式展現(xiàn)出來。接著，進(jìn)行基于分享、交流、質(zhì)疑等學(xué)習(xí)活動的共學(xué)研討，優(yōu)化思考問題的方式和思路，形成更為科學(xué)、高效而一般化的解題思路或?qū)W習(xí)路徑。最后，通過具有生活情境的變式練習(xí)，在解決不同類型的問題時，對前期的思路、模式進(jìn)行分析、綜合甚至是反思評價，從而發(fā)展包括創(chuàng)造性思維在內(nèi)的高階思維，長此以往，將有助于學(xué)生形成相對穩(wěn)定的思維方式和思維結(jié)構(gòu)。

3.“經(jīng)驗數(shù)學(xué)”之評——為創(chuàng)新意識培養(yǎng)賦能

日常增值評價為創(chuàng)新意識培養(yǎng)賦能?！敖?jīng)驗數(shù)學(xué)”倡導(dǎo)“看每個學(xué)生進(jìn)步了多少”的評價理念，弱化已有經(jīng)驗水平不同的學(xué)生之間的橫向比較，在尊重學(xué)生已知的前提下重點開展關(guān)注學(xué)生經(jīng)驗增加值、進(jìn)步度的縱向評價。以課時、單元教學(xué)為日常周期，通過學(xué)情調(diào)研、對話交流等方式，促進(jìn)學(xué)生獲得學(xué)科知識、培養(yǎng)創(chuàng)新意識。在日常教學(xué)中，教師與學(xué)生亦師亦友，甘心站于教室的一角，把學(xué)生請到講臺的中央，借助教學(xué)實錄記載、課堂觀察量表、信息技術(shù)平臺等，真實而詳盡地記錄每個學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的真實表現(xiàn)，特別是其創(chuàng)新意識的生發(fā)與生長過程，進(jìn)而找準(zhǔn)每個學(xué)生的經(jīng)驗增加值、思維進(jìn)階度，助推其創(chuàng)新意識向創(chuàng)新能力、創(chuàng)新精神生長。

階段情境樂評為創(chuàng)新意識培養(yǎng)賦能。情境樂評是我們開展的一種階段性素養(yǎng)評測活動，包括創(chuàng)設(shè)真實情境、設(shè)計主題任務(wù)、解決實際問題等項目，在引導(dǎo)學(xué)生開展做中學(xué)、學(xué)中說、說中用的過程中，考查他們創(chuàng)新意識的發(fā)展水平。在期中或期末階段開展活動時，家長、教師、其他研究者共同擔(dān)任觀察者、評價者，通過一對一觀察、模擬情境對話等形式，觀察學(xué)生全過程的表情、動作、神態(tài)、語言，評測學(xué)生在面對新情境、新任務(wù)、新問題時，能否將積淀的經(jīng)驗進(jìn)行提取、融合、應(yīng)用，能否呈現(xiàn)一種看似非經(jīng)驗實則是經(jīng)驗引發(fā)質(zhì)變的頓悟狀態(tài)。觀測結(jié)束后，依據(jù)評價標(biāo)準(zhǔn)賦予學(xué)生不同的星級。

綜上，“經(jīng)驗數(shù)學(xué)”給課堂注入了活力，讓學(xué)習(xí)煥發(fā)了生機，讓創(chuàng)新意識的培育、創(chuàng)新能力的發(fā)展成為可能?！敖?jīng)驗數(shù)學(xué)”給學(xué)生帶來了有意義的學(xué)習(xí)歷程，能讓學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識產(chǎn)生根本性的變化，這對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、學(xué)校生活甚至其未來的發(fā)展來說，都將產(chǎn)生積極的影響。