地面參考系和磁源參考系中感應(yīng)電流的功率

高 振

山東省平邑縣教育和體育局教研室，山東 臨沂 273300

根據(jù)非靜電力的起源，電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的感應(yīng)電動勢可分為動生電動勢和感生電動勢。由洛倫茲力作為非靜電力產(chǎn)生的電動勢叫動生電動勢；由感生電場力作為非靜電力產(chǎn)生的電動勢叫感生電動勢。在求解磁場區(qū)域運動產(chǎn)生的電磁感應(yīng)現(xiàn)象中感應(yīng)電流的功率問題時，要注意區(qū)分不同參考系中感應(yīng)電動勢的本質(zhì)（非靜電力的起源）及其方向，才能正確地等效電路、計算感應(yīng)電流的功率。

1 一道高考題引發(fā)的問題

原題 （2017年江蘇高考第13題）[1]如圖1所示，兩條相距d的平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi)，其右端接一阻值為R的電阻。質(zhì)量為m的金屬桿靜置在導(dǎo)軌上，其左側(cè)的矩形勻強磁場區(qū)域MNPQ的磁感應(yīng)強度大小為B，方向豎直向下。當(dāng)該磁場區(qū)域以速度v0勻速地向右掃過金屬桿后，金屬桿的速度變?yōu)関。導(dǎo)軌和金屬桿的電阻不計，導(dǎo)軌光滑且足夠長，桿在運動過程中始終與導(dǎo)軌垂直且兩端與導(dǎo)軌保持良好接觸。求：

圖1 原題圖

（1）MN剛掃過金屬桿時，桿中感應(yīng)電流的大小 I；

（2）MN剛掃過金屬桿時，桿的加速度大小a；

（3）PQ剛要離開金屬桿時，感應(yīng)電流的功率P。

該題前兩問比較簡單，在此不作討論。

引發(fā)的問題：由于磁場區(qū)域和金屬桿運動的速度選擇的是地面參考系，但第（3）問感應(yīng)電流的功率沒有明確要求在哪個參考系計算，難道感應(yīng)電流的功率與參考系無關(guān)嗎？

2 引發(fā)問題的主流觀點

在幾個全國物理教師QQ大群（有些群人數(shù)高達數(shù)千人）討論上述“引發(fā)的問題”時，群里面教師的主流觀點如下：

由于金屬桿所在處磁場的磁感應(yīng)強度B不變，觀察者無論是以地面為參考系，還是以產(chǎn)生磁場的“磁源”（磁體或載流線圈）為參考系，在PQ剛要離開金屬桿的極短時間Δt內(nèi)，穿過該回路的磁通量的有效面積減小均為ΔS=d（v0-v）Δt，由法拉第電磁感應(yīng)定律得回路總電動勢大小為

從（1）式的得出過程中可以看出，回路總電動勢與所選慣性參考系無關(guān)。

而感應(yīng)電流的功率

由（1）（2）式得感應(yīng)電流的功率

（3）式與高考參考答案的結(jié)果一致。

因此，QQ群中主流觀點認(rèn)為，感應(yīng)電流的功率與所選的慣性參考系無關(guān)。

筆者查閱文獻發(fā)現(xiàn)，文獻[1]的觀點和所求結(jié)果與（3）式明顯不同，而文獻[2]和[3]的觀點和所求結(jié)果以及高考參考答案均與（3）式相同。究竟誰是誰非呢？

3 不同慣性參考系中的定量分析和計算

3.1 在地面參考系中等效電路，計算感應(yīng)電流的功率

第（3）問沒有明確指出參考系，一般默認(rèn)是地面參考系。地面系中的觀察者看到的不是靜磁場，而是磁場區(qū)域的運動（本質(zhì)是產(chǎn)生磁場的源磁體或載流線圈的運動）產(chǎn)生的電磁場，既有磁場又有感生電場。根據(jù)電動力學(xué)中不同參考系的電磁場變換公式，可以得到地面參考系中的磁場和感生電場。

以產(chǎn)生磁場的“源”磁體或載流線圈為參考系，由于磁源系相對于地面系（靜系）的運動速度v0遠小于真空中的光速c，忽略洛倫茲膨脹因子，可得地面系（加撇的量）和磁源系（不加撇的量）的電磁場變換公式[4]：根據(jù)題目條件，磁源系中只有磁場，而電場=0，可知地面系中既存在沿金屬桿向下的感生電場E'=v0B，又存在垂直于導(dǎo)軌平面向下的磁場B'=B。因此，桿中的自由電子受到的非靜電力是沿桿向上的感生電場力（大小為F非1=eE'=ev0B）和沿桿向下的洛倫茲力（分力，大小為F非2=f洛=evB）的矢量和，由電動勢定義得回路總電動勢

從非靜電力的起源看，地面系中回路總電動勢（4）式由兩部分組成：一部分是桿中自由電子受沿桿向上的感生電場力eE'，產(chǎn)生感生電動勢E1=Bdv0，其方向在圖1中沿金屬桿向下（與回路電流方向一致，金屬桿扮演著“發(fā)電機”的角色）；另一部分是桿中自由電子受沿桿向下的洛倫茲力（分力）evB，產(chǎn)生動生電動勢E2=Bdv，其方向在圖1中沿棒向上（與回路電流方向相反，是反電動勢，金屬桿扮演著“電動機”的角色）。因此，回路等效電路如圖2所示。

圖2 地面系的等效電路

顯然，地面系中該題呈現(xiàn)的物理情境的本質(zhì)就是一個電磁驅(qū)動[5]問題，金屬桿同時扮演著“發(fā)電機”和“電動機”的雙重角色。從電路角度看，回路等效電路圖2是含有反電勢的非純電阻電路。所以，從地面系中觀測到的能量轉(zhuǎn)化是：感生電動勢E1=Bdv0提供電能，動生電動勢（反電動勢）E2=Bdv和電阻R都消耗電能，則地面系中感應(yīng)電流的功率

而回路中的感應(yīng)電流

由（4）—（6）式得，地面系中感應(yīng)電流的功率

（7）式與文獻[1]的結(jié)果一致，顯然文獻[1]是在地面參考系中計算的感應(yīng)電流的功率。

3.2 在磁源參考系中等效電路，計算感應(yīng)電流的功率

在磁源系中觀測到的僅是靜磁場B，圖1中金屬桿在磁源系中以速度（v0-v）向左運動，桿中隨桿向左運動的自由電子受到沿桿向上的洛倫茲力（分力）f洛=eB（v0-v）是產(chǎn)生動生電動勢的非靜電力。因此，電路中只存在動生電動勢，由電動勢定義得回路總電動勢

由于磁源系中觀察者僅觀測到一個動生電動勢，觀察者認(rèn)為金屬桿只是提供電能的發(fā)電機，等效電路如圖3所示，是一個純電阻電路。顯然，兩個參考系中回路的等效電路明顯不同（圖2、圖3）。

圖3 磁源系中的等效電路

由圖3和（8）式易得，磁源系中感應(yīng)電流的功率

可見，QQ群中主流觀點的（3）式、高考參考答案以及文獻[2]和[3]的結(jié)果，均與磁源參考系中的（9）式一致。

對比（7）式和（9）式可知，地面參考系和磁源參考系中感應(yīng)電流的功率不同。

4 結(jié)束語

本文對磁場區(qū)域運動產(chǎn)生的電磁感應(yīng)現(xiàn)象中感應(yīng)電流的功率問題，在地面參考系和磁源參考系中做了深入的對比分析和計算，指出了兩個參考系中感應(yīng)電流的功率不同的物理根源。

由于高考題目條件中沒有明確指出在哪個參考系中計算感應(yīng)電流的功率，一般默認(rèn)是在地面為參考系中的功率，因此第（3）問感應(yīng)電流的功率應(yīng)該是文獻[1]指出的地面參考系中計算的。而高考參考答案和文獻[2]和[3]中的感應(yīng)電流的功率，也是沒有錯誤的，只要指出這是磁源參考系中感應(yīng)電流的功率即可。