探尋“接地氣”的“高觀點(diǎn)”解題方法

浙江省杭州英特外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 孫志東 (郵編：311121)

在一些中考?jí)狠S題或初中競(jìng)賽題中，常常出現(xiàn)一些具有高中知識(shí)背景的問(wèn)題，這些考題能夠有區(qū)分度地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法及重要的數(shù)學(xué)思想.學(xué)生在處理這些問(wèn)題的時(shí)候，往往有思路，但在書(shū)寫解題過(guò)程時(shí)就顯得束手無(wú)策或半途而廢.鑒于這種情況，筆者結(jié)合2021年年底對(duì)我校分流考的最后一道壓軸題的最后一問(wèn)的批卷情況，陳述學(xué)生解的情況，并探求跟初中知識(shí)較為密切的解題方法，然后給出一些教學(xué)和編題建議.

文中提到的“接地氣”是指思路在學(xué)生最近思維發(fā)展區(qū)或稍微提醒就能達(dá)到最近思維發(fā)展區(qū)；“高觀點(diǎn)”是指借助于高中的知識(shí)和方法來(lái)處理初中較難的數(shù)學(xué)問(wèn)題的應(yīng)對(duì)策略.

1 考題呈現(xiàn)

已知：如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為AD上一點(diǎn)，DE=x，DF⊥CE于F，連接BF.求△BCF、△CDF面積之和的最大值.

圖1 圖2 圖3

2 學(xué)生解題思路呈現(xiàn)

分析此題屬于入手容易，但真正地把過(guò)程正確而完整地寫出來(lái)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有不少的困難.學(xué)生用到的方法有：利用判別式法、不等式法、三角函數(shù)法、建系法等，從答題情況看，大多數(shù)學(xué)生都無(wú)功而返，究其原因，很可能就是這道題具有明顯的高中知識(shí)和方法的背景，對(duì)初三學(xué)生來(lái)說(shuō)困難是真實(shí)存在的.下面把考卷上學(xué)生的思路歸納如下：

2.1 判別式法

2.2 不等式法

評(píng)注這種分式變形后還可以配成差的完全平方求解.

2.3 三角函數(shù)法

如圖3，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于G，設(shè)∠DCF=α.由∠CFD=90°得DF=2sinα，CF=2cosα.由CD//FG得∠CFG=∠DCF=α，F(xiàn)G=2cosα·cosα=2cos2α.這樣S△BCF+S△CDF=2cos2α+2sinαcosα.

說(shuō)明采用這種方法的學(xué)生基本上寫到這里就寫不下去了，因?yàn)槭Ｏ碌倪^(guò)程需要用到三角函數(shù)公式來(lái)求解.

另外，利用三角函數(shù)的知識(shí)，還有如下的思路：

如圖4，連結(jié)BD，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BD于H，∠DCF=α，則由上述三角函數(shù)法得DF=2sinα，結(jié)合∠BDF=45°-α，得FH=2sinαsin(45°-α)，這樣

圖4 圖5

這里利用高中的積化和差公式得

評(píng)注三角函數(shù)法是高中的重要方法，在初中階段僅僅對(duì)銳角三角函數(shù)的定義和幾個(gè)簡(jiǎn)單的性質(zhì)有理解要求，所以這種方法更多的應(yīng)用是在高中.

2.4 建系法

說(shuō)明采用此法的學(xué)生，在解方程組時(shí)基本上都放棄了，因?yàn)檫\(yùn)算量大，后面利用點(diǎn)到直線的距離公式的解答過(guò)程更是繁雜.

評(píng)注建系法是一種用代數(shù)的方法來(lái)解決幾何問(wèn)題的常見(jiàn)思路，對(duì)于形如等邊三角形、直角三角形、矩形、菱形或正方形等特殊圖形時(shí)，有時(shí)解起來(lái)很方便.但不巧的是此題因?yàn)檫\(yùn)算量特別大顯得不適合.

3 尋找跟初中階段內(nèi)容聯(lián)系緊密的方法

鑒于上述方法，或多或少都要用到高中的知識(shí)，那么有沒(méi)有利用初中的基礎(chǔ)知識(shí)就能解決的呢？

筆者注意到，這種方法雖然采用換元法，淡化了變形過(guò)多的技巧要求，但仍然要使用高中的基本不等式.

圖6 圖7 圖8

采用上述想法，讓筆者驚喜不已的是，筆者很快就得到了下面更加接近于學(xué)生思維發(fā)展區(qū)的方法：

評(píng)注這種方法的解題過(guò)程出乎意料地簡(jiǎn)單，并且不超越學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，是一種很有價(jià)值的解題方法.它的精髓在于轉(zhuǎn)化，即在于把原來(lái)兩個(gè)不易求三角形的面積和轉(zhuǎn)化兩個(gè)易求的三角形面積和，巧妙的是CD的中點(diǎn)O與點(diǎn)F所連的線段OF恰好構(gòu)成了Rt△CDF斜邊上的中線，學(xué)生對(duì)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)是非常熟悉的，另外四邊形BODF的兩條對(duì)角線都變成易求的具體值，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)得心應(yīng)手.

4 教學(xué)與編題啟示

4.1 教學(xué)啟示

“雙減”政策實(shí)施以來(lái)，對(duì)教師的課堂教學(xué)能力提出了更多的挑戰(zhàn)，如何提高課堂效率，如何培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，如何引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地學(xué)習(xí)、反思，成為教師迫切需要解決的問(wèn)題.

筆者結(jié)合自身的經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)到提高學(xué)生課堂的思維能力，可以結(jié)合多元表征，比如操作表征、符號(hào)表征、圖形或圖象或表格表征、語(yǔ)言表征來(lái)激活、增加學(xué)生的課堂參與深度、提升學(xué)生的思維，打通知識(shí)之間的橫縱聯(lián)系，讓學(xué)生在課堂上不僅身體動(dòng)起來(lái)，而且更重要的是讓學(xué)生的大腦靈活轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)，這樣的實(shí)施方式可以成為課堂上的一種追求.這種追求的目的在于實(shí)現(xiàn)知識(shí)的理解，而理解的關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)正遷移力和強(qiáng)遷移力，正而強(qiáng)的遷移力在于幫助學(xué)生構(gòu)建彼此打通的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，一題多解就是其中一種很好的訓(xùn)練方式，但不要止步于此，不妨啟發(fā)學(xué)生、引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)分析、領(lǐng)悟多方法、寬角度中的本質(zhì)解、簡(jiǎn)潔解及學(xué)生易于掌握的好方法，這種對(duì)多種方法的重新比較、審視、反思是學(xué)生思維能力提高的重要環(huán)節(jié).上述采用四邊形面積的轉(zhuǎn)化策略，就是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中用得最多、最有價(jià)值的一種策略，只要教師在課堂上引導(dǎo)得當(dāng)，并給予學(xué)生反思的機(jī)會(huì)，學(xué)生是能夠掌握這樣的學(xué)習(xí)策略的.

4.2 編題啟發(fā)

題目不在多，在于教師精編精選，這個(gè)“精”不僅要緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)，難度適宜，具有代表性，而且要能引導(dǎo)學(xué)生思維能力的發(fā)展與提高，能切實(shí)地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).特別是對(duì)中考題的命題者而言，出于區(qū)分度的考慮，如果構(gòu)思體現(xiàn)高中數(shù)學(xué)背景的問(wèn)題，不妨多在初高中數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的銜接上下功夫，讓學(xué)生經(jīng)過(guò)積極思考，能夠利用初中的核心知識(shí)和方法解決問(wèn)題，體會(huì)解題的快樂(lè)，更重要的是激起學(xué)生后繼學(xué)習(xí)和探索的興趣.一句話，編題要把握學(xué)情，要“接地氣”，對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展有真正幫助.