一道高考題失分原因分析與思考

安徽省碭山中學 辛 民 (郵編：235300)

1 問題起因

針對高考后師生議論的焦點，筆者邀請部分參加高考的學生、教師對2022年全國高考數(shù)學乙卷第19題進行座談，教師普遍認為題目來源現(xiàn)實世界，難度不大，但學生普遍感覺較難、失分較多.圍繞這一現(xiàn)象大家交流、探究、思考如下，旨在與同行交流.

2 原題再現(xiàn)

某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改成了綠水青山，為了估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10可這種樹木，測量每顆樹的根部橫截面積(單位：m2)和材積量(單位m3),得到如下數(shù)據(jù)：

標本號i1234567890總和根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一顆的根部橫截面積與平均一顆的材積量；

(2)求該林區(qū)這種樹木根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(shù)(精確的0.01)；

(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為180m2,已知樹木的材積與其根部橫截面積近視成正比，利用上述數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值.

附：相關系數(shù)

(2022年全國高考數(shù)學乙卷第19題)

3 試題評述

以社會生活中人們關注的環(huán)境治理為背景材料，依托“綠水青山就是金山銀山”的理念設計試題，情境中蘊含著潛在的線索和限制，需要學生綜合已有的所學知識和技能分析當前情境，明確任務，解決問題.從而全面考查學生應用統(tǒng)計的基本知識、基礎方法和基本技能進行創(chuàng)造性整合能力，有助于考查學生發(fā)現(xiàn)問題、辨析概念、建立關系的能力，同時對數(shù)據(jù)處理、數(shù)學運算及數(shù)學建模等核心素養(yǎng)也作了相應的考查.

其中第(1)問，要求利用統(tǒng)計的方法估計兩個平均值；第(2)問，求相關系數(shù)，要求學生具有較高的恒等變形及數(shù)據(jù)處理能力；第(3)問，計算總材積，要求學生利用所學的知識解決實際問題.

4 試題解法

解(1)

所以該林區(qū)這種樹木平均一顆的根部橫截面積為0.06m2、平均一顆的材積量為0.39m3.

(2)解法一由題設易得下表

標本號i1234567890總和xi-x-0.020-0.020.020.02-0.01-0.010.010.010(xi-x)20.000400.00040.00040.00040.00010.00010.00010.000100.002yi-y-0.140.01-0.170.150.12-0.05-0.030.070.030.01y i-y)20.01960.00010.02890.02250.01440.00250.00090.00490.00090.00010.0948(xi-x)(yi-y)0.002800.00340.0030.00240.00050.00030.00070.000300.0134

所以相關系數(shù)

注：列表分析統(tǒng)計數(shù)據(jù)，表述、說明問題是一種很好的方法，表達簡潔、清晰明了，容易檢驗結果.

5 失分原因分析

5.1 讀題、審題能力薄弱

5.2 對于第(3)問理解不準確

對于條件“已知樹木的材積與其根部橫截面積近視成正比”視而不見，不能正確分析當前的問題情境，機械地套用一元線性回歸模型公式y(tǒng)=a+bx求解，個別同學理解了上述假設也不相信高考試題會如此簡單，只需利用小學學習比例關系解題，暴露個別學生極不自信.

5.3 基本運算能力薄弱

直接機械代入公式，導致數(shù)據(jù)太多、運算量太大，亂中出錯誤百出，不能針對問題情境選擇合適的表述方式——列表；公式變形后代入數(shù)據(jù)，對算術根理解不準確，導致結果不正確.

5.4 統(tǒng)計學中基本概念理解不準確

如第一問最后寫成：估計該林區(qū)這種樹木平均一顆的根部橫截面積為0.06m2、平均一顆的材積量0.39m3.

出現(xiàn)上述現(xiàn)象的根本原因是，長期以來師生只注重零零碎碎知識得識記，不注重對數(shù)學學科中核心概念、定義、定理、性質公式、法則等內(nèi)涵外延的理解與辨析，自覺建構知識網(wǎng)絡，形成牢固的知識框架；平時教學中，師生對數(shù)學運算認識不到位、不重視，教師認為數(shù)學運算是學生自己的事，例題講解時不板書、不示范，學生課下不練習，不總結、不思考，運算能力提升無從談起；教學中，教師重視解題方法的展示，一題多解，一題多變，但是不注重闡述解題方法由哪里來？怎么來的？到哪里去？干什么？學生解題能力的提升何從談起！平時教學中教師已經(jīng)注意教學情境的設計，但僅僅注意孤立技能在固定情境下的簡單應用，情境的設計過于人為的簡化和抽象，喪失了與現(xiàn)實社會生活的連接，導致學生遇到真實情境的問題時不會認真分析問題的情境，提出問題、解決問題，只會機械的套用公式解決問題.

6 教學啟示

6.1 注重必備知識復習鞏固

在高三復習教學中，對于每一個必備知識，都要從它的表征的多層性和多樣性上去設計問題開展教學，引導啟發(fā)學生思考，理解辨析必備知識，幫助學生站在數(shù)學學科整體高度上，再次經(jīng)歷知識形成的過程，了解知識產(chǎn)生的背景，體驗數(shù)學化的方法，提高抽象概括能力和數(shù)學表達能力，幫助學生構建知識網(wǎng)絡，清除認識上的盲點和難點，優(yōu)化知識結構，領悟數(shù)學知識中蘊含的數(shù)學思想方法，建立從核心概念到解題方法自然鏈接.但同時要避免從過細的學科知識點角度思考學科內(nèi)容，羅列清單，要強調(diào)學科內(nèi)容的結構性和關聯(lián)性，突出思想方法和探究技能的運用.

6.2 養(yǎng)成良好的運算習慣

數(shù)學運算不是單純的數(shù)值運算，而是一種推理運算，一般是理解運算對象后，根據(jù)數(shù)學基本知識先推理再計算求值，并能夠根據(jù)問題條件尋找并設計合理、便捷的運算途徑，因此數(shù)學運算不僅是計算，還應包括探索、求解問題的思路，借助有效的運算方法解決問題，更重要的是通過數(shù)學運算促進數(shù)學思維的發(fā)展，養(yǎng)成程序化思考問題的習慣，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實、理性縝密的科學精神.

6.3 適當設計復雜開放的現(xiàn)實情境，解決有意義的真實問題

學生經(jīng)歷復雜開放的現(xiàn)實情境，是發(fā)展學生核心素養(yǎng)的重要依托，重視不確定的跨學科探究主題和社會實踐活動的開展，有助于激發(fā)學生參與和投入的興趣，培養(yǎng)學生綜合運用相關知識和技能分析當前情境，明確問題，創(chuàng)造性整合能力，有助于幫助學生提升發(fā)現(xiàn)問題、辨析概念、建立假設、驗證假設的能力不良結構問題的不確定性和開放性，可以給學生展示他們分析問題的思考過程.單也要注意核心素養(yǎng)的形成、培養(yǎng)，不能脫離集體的課程內(nèi)容，學生只有具備系統(tǒng)的、結構化的學科知識和技能、思想方法和探究模式，才能深刻理解特定的任務情境，明確問題，形成假設，解決問題，積累解題活動經(jīng)驗，提升解題能力.

7 命題思考改進

筆者思考試題第(3)問增設條件“已知樹木的材積與其根部橫截面積近視成正比”的目的是為了啟發(fā)學生轉變思考方向，利用小學所學的比例求解，簡化運算，避免學生利用一元回歸方程求解、重復考查相同的知識點.筆者認為第(3)問中去掉此條件改為：

現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為180m2,利用上述數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值.

題目更符合起課標的要求、更開放、解答更豐富，給學生預留的思考空間更大.其解答可有以下方法：

(1)由面積與材積相關系數(shù)r=0.97知材積與面積之間有如下關系式y(tǒng)=a+bx.

所以總材積為y=-0.012+6.7×186=1246.188(m3).