研究初中數(shù)學(xué)中的幾何以及培養(yǎng)學(xué)生抽象能力的方法

摘要：幾何在數(shù)學(xué)學(xué)科研究和學(xué)習(xí)當(dāng)中是一個(gè)非常重要的模塊，而學(xué)生真正地開(kāi)始接觸幾何就是從初中開(kāi)始。不同于小學(xué)所學(xué)的線條、端點(diǎn)等比較簡(jiǎn)單易懂的幾何題型，初中所接觸的幾何是在一定的模型和空間條件下對(duì)圖形的研究和分析，相對(duì)來(lái)說(shuō)增加了難度。在初中幾何的學(xué)習(xí)當(dāng)中，學(xué)生會(huì)初次接觸到平面直角坐標(biāo)系模型，該模型在日后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一直伴隨著學(xué)生。在初中數(shù)學(xué)課程中還有一項(xiàng)主要的內(nèi)容就是訓(xùn)練他們的抽象能力，而抽象能力在他們學(xué)習(xí)幾何的活動(dòng)中有著十分關(guān)鍵的地位。文章首先對(duì)初中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)過(guò)程中遇到的幾何知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的總結(jié)和分析，再以此為基礎(chǔ)討論更好地培養(yǎng)學(xué)生抽象能力的方法。

關(guān)鍵詞：幾何；抽象能力；三角形；多邊形

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1673-8918（2022）45-0075-05

一、 中考數(shù)學(xué)對(duì)幾何內(nèi)容的要求

初中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)就是幾何和函數(shù)，知識(shí)點(diǎn)的配比基本是代數(shù)∶幾何為6∶4，而其中難題通常是幾何題目，分值高、難度大、考法全面，經(jīng)常是以壓軸題出現(xiàn)。以廣東省中考試卷為例，對(duì)試卷中各知識(shí)點(diǎn)的分?jǐn)?shù)占比以及總體考核內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比，我們發(fā)現(xiàn)中考試卷對(duì)學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)和體現(xiàn)關(guān)注度越來(lái)越大，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的考察比較有規(guī)律，中考的題型分值占比是相對(duì)固定的，在整體上常規(guī)題型的變化并不大，題型分為選擇題、填空題、解答題。選擇題部分一定包含幾何變換的考點(diǎn)，而平均得分低的解答題也都是幾何相關(guān)的題，基本上可以看到，把握了幾何就是把握了中考。下面觀察2017～2019年廣東中考試卷各知識(shí)點(diǎn)的考核內(nèi)容以及占比。

通過(guò)對(duì)表格的觀察，我們發(fā)現(xiàn)在中考試卷中每年對(duì)試題都有一定的調(diào)整，但是從整體來(lái)看在中考試卷中幾何的考核內(nèi)容占比最高。所涉及題目從選擇題到填空、解答題都有，所考核的內(nèi)容包括從直線之間的關(guān)系到平面圖形，直角坐標(biāo)系中對(duì)線、角等圖像構(gòu)成因素的分析。中學(xué)的幾何部分要做好如下六點(diǎn)：①打好基礎(chǔ)知識(shí)，公式定理在上課的時(shí)候一定要仔細(xì)看，并將實(shí)際應(yīng)用于幾何問(wèn)題上，然后舉一反三，基礎(chǔ)知識(shí)夯實(shí)了，對(duì)幾何問(wèn)題的運(yùn)用學(xué)起來(lái)也就容易一些；②巧用補(bǔ)線，根據(jù)不同的形式有不同的補(bǔ)線方法，比如正三角形要三線合一，而平行四邊形一般都是對(duì)角線，做多了就可以開(kāi)竅了；③多寫作題，寫作題目的關(guān)鍵就是自己想出來(lái)為止，做好了就可以對(duì)比答案，檢查出自己的錯(cuò)誤，從而熟能生巧；④善于歸納，整理好做題的方法和考點(diǎn)，做到每一個(gè)題目都有一種題，放到好習(xí)題本里，一般是最常見(jiàn)的題目，便于復(fù)習(xí)；⑤錯(cuò)題收集，做好計(jì)算錯(cuò)題本，并做好總結(jié)，為了不浪費(fèi)，可將該題直接打印出來(lái)，重復(fù)復(fù)習(xí)，找出錯(cuò)因也很重要；⑥提升幾何思維，平時(shí)要鍛煉幾何思維，可以多訓(xùn)練，玩玩幾何方面的游戲，提升空間抽象思維能力，做題就會(huì)得心應(yīng)手?？偟膩?lái)說(shuō)，幾何題占了中考試卷的半壁江山，數(shù)學(xué)想要高分，處于瓶頸狀態(tài)的初中考生，務(wù)必要掌握好幾何知識(shí)，先去掌握基礎(chǔ)的公式定理，然后再試著做題，做完之后把錯(cuò)題總結(jié)下來(lái)，久而久之，數(shù)學(xué)成績(jī)自然就會(huì)提升上來(lái)。

二、 初中幾何知識(shí)點(diǎn)分類

中學(xué)階段的數(shù)學(xué)課程中，最常用的幾何建模和構(gòu)造方法無(wú)非如下幾類：全等變換、對(duì)稱性全等建模、角平分線模型、對(duì)稱半角模型、共轉(zhuǎn)動(dòng)全等建模、旋轉(zhuǎn)零點(diǎn)五角建模、自旋轉(zhuǎn)模型、共轉(zhuǎn)動(dòng)建模、模型變換、中點(diǎn)轉(zhuǎn)換、幾何最值建模、對(duì)稱性最值難題（點(diǎn)到直線垂線段最短）、共轉(zhuǎn)動(dòng)最值難題、共線所有最值、剪拼建模、共轉(zhuǎn)動(dòng)近似模型、相似模型。把它們搞清楚，加以練習(xí)，考試時(shí)使用起來(lái)得心應(yīng)手，這類題目就再也不是學(xué)生考取高分的障礙。再?gòu)闹锌偨Y(jié)，初中數(shù)學(xué)中的幾何主要有以下幾類：點(diǎn)、線、角；三角形；多邊形；圓。

（一）點(diǎn)、線、角

初一上學(xué)期的最后一章，學(xué)生們初步學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單的幾何入門知識(shí)，例如：點(diǎn)、線、面、體，以及它們的關(guān)系“點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體”。到了初一下學(xué)期，隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生學(xué)習(xí)到更多的幾何知識(shí)，例如：點(diǎn)到線的距離、線與線垂直、線與線相交形成角、角與角的關(guān)系等。概括言之，可以總結(jié)為：點(diǎn)與線的關(guān)系、線與線的關(guān)系、線與角的關(guān)系。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生從這三個(gè)方面來(lái)深入探究點(diǎn)、線、角之間的關(guān)系，可以使學(xué)生系統(tǒng)性地掌握初一數(shù)學(xué)下冊(cè)的第五章相交線與平行線。在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，我們從簡(jiǎn)單的點(diǎn)出發(fā)，研究從點(diǎn)到線，再?gòu)木€到角的幾項(xiàng)重要學(xué)科知識(shí)。在研究點(diǎn)線角之前我們首先引入一個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型，平面直角坐標(biāo)系模型。

在同一平面上，彼此垂直并具有共同原點(diǎn)的兩個(gè)幾何軸組成了平面直角坐標(biāo)系，稱直角坐標(biāo)系。一般來(lái)說(shuō)，將兩個(gè)幾何軸線依次放在水準(zhǔn)方位和下垂方位，而朝向右和上升的方位則依次為兩個(gè)幾何軸線的正確方位。水準(zhǔn)的幾何軸線叫作x軸或橫軸，垂直于x軸的數(shù)軸叫作y軸或縱軸，x軸和y軸統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸，它們的共同原點(diǎn)O就是直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，以點(diǎn)O為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)記作平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)或xOy。在平面內(nèi)畫兩根彼此相等的直線，以兩根直線的垂直交點(diǎn)為中心O建立平面直角坐標(biāo)系，標(biāo)出x、y軸，再對(duì)其進(jìn)行象限分布，如下圖1。

圖1平面直角坐標(biāo)系

當(dāng)成立了直角坐標(biāo)系之后，關(guān)于水平內(nèi)任何一個(gè)點(diǎn)，都存在一組有序?qū)崝?shù)群（x，y）和它對(duì)應(yīng)。對(duì)平面中的點(diǎn)我們可以根據(jù)其坐標(biāo)計(jì)算兩點(diǎn)之間的距離。通過(guò)點(diǎn)我們引進(jìn)線的定義和相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，內(nèi)容包括直線的平行、垂直的判斷、直線之間的距離等。

兩條直線互相交叉后形成一個(gè)交點(diǎn)，以此為據(jù)我們引進(jìn)角的定義。在初中數(shù)學(xué)中點(diǎn)、線、角是一個(gè)最基礎(chǔ)的知識(shí)點(diǎn)，后期平面圖形的研究都會(huì)在他們的基礎(chǔ)上進(jìn)行。

（二）三角形

如果說(shuō)點(diǎn)、線、角是幾何的基礎(chǔ)，那么三角形是初中數(shù)學(xué)中幾何的心。不同于小學(xué)中對(duì)三角形的學(xué)習(xí)，初中數(shù)學(xué)對(duì)三角形從邊長(zhǎng)、角、端點(diǎn)等方面進(jìn)行綜合性的研究。首先掌握的是三角形的相關(guān)理論與特性，比如三角形的角平分線、中點(diǎn)、高，以及三角形的三邊關(guān)系、內(nèi)角和定理、外角和等。關(guān)于三角形我們根據(jù)其各邊之間的關(guān)系引進(jìn)等邊三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等特殊三角形類型，并研究其各邊之間的關(guān)系，特殊三角形中的特殊角等。等邊三角形三邊長(zhǎng)相等，三個(gè)角的值都是60°；等腰三角形兩邊相等，相等兩邊與第三邊構(gòu)成的夾角相等；直角三角形有兩邊垂直。根據(jù)各邊之間的關(guān)系我們還引進(jìn)勾股定理，在整個(gè)初中數(shù)學(xué)幾何學(xué)習(xí)當(dāng)中勾股定理的應(yīng)用非常的普遍。

據(jù)此，可教學(xué)運(yùn)用將三角形的內(nèi)角平分線和平行線有機(jī)地結(jié)合求解的辦法、充分運(yùn)用三角形的中線性質(zhì)解決面積的辦法、充分運(yùn)用三角形的高的性質(zhì)求解的辦法、充分運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理思維來(lái)判斷三角形狀的辦法、充分運(yùn)用三角形三線性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理思維的綜合應(yīng)用方法、利用“等角對(duì)等邊”求證線段等長(zhǎng)的辦法、等邊三角形的性質(zhì)在全等求證中的應(yīng)用方法、利用勾股定理解決幾何體表面最短長(zhǎng)度的辦法、“建立直角三角形”的辦法、充分運(yùn)用勾股定理和方程組思維解決與“翻折”有關(guān)的問(wèn)題的辦法、充分運(yùn)用勾股定理思維的逆定理來(lái)判斷三角形形狀的辦法等。

對(duì)三角形中各邊和角的關(guān)系的研究我們還有一個(gè)非常重要的內(nèi)容那就是三角函數(shù)。三角函數(shù)分為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)三類。三角函數(shù)不僅用在平面三角形的題型當(dāng)中，在后期對(duì)多邊形、圓的分析和應(yīng)用中通過(guò)加輔助線構(gòu)成三角形，再通過(guò)三角形對(duì)多邊形的角和邊研究這一類題中也會(huì)用到三角函數(shù)。

對(duì)三角函數(shù)在掌握基礎(chǔ)的定義之后對(duì)其定義域、圖形、值域等進(jìn)行一系列的研究。在后期應(yīng)用當(dāng)中三角函數(shù)相關(guān)的特性可以直接用在題目計(jì)算當(dāng)中。表2為幾個(gè)基本三角函數(shù)的性質(zhì)概括。分析性質(zhì)后我們可以發(fā)現(xiàn)在三角函數(shù)中有一些特殊角比如說(shuō)45°（π/4），60°（π/3），90°（π/2）等，它們的函數(shù)值是確定的，如果能夠記住這些值，在后期考試當(dāng)中可以節(jié)省很多時(shí)間和精力。同時(shí)，我們還可教學(xué)運(yùn)用三角函數(shù)的概念求三角函數(shù)值、運(yùn)用三角函數(shù)的概念求線段長(zhǎng)度、用等角代替法求三角函數(shù)值、設(shè)參數(shù)法求三角函數(shù)值、通過(guò)構(gòu)成直邊三角形求三角函數(shù)值等。這里，使用特定位置的三角函數(shù)值作為計(jì)算的方式較為簡(jiǎn)便，表3是三角函數(shù)中特定位置的函式值。

（三）多邊形

由若干線段首尾順次相連而成的平面圖形，稱之為多邊形。多邊形的書寫一般由各個(gè)頂端字母表示。一個(gè)多邊形至少要有三條邊，除三角形以外，在初高中數(shù)學(xué)課程中不僅是研究長(zhǎng)方形、正方形這些最簡(jiǎn)單的多邊形也要研究平行四邊形、菱形、矩形等四邊形。平行四邊形、菱形、矩形、正方形都有自己的判斷定理?？山虒W(xué)用多邊形的內(nèi)角和或外角和定理推導(dǎo)求邊和的解法、正多角形的外角和的使用、利用逼近法確定多邊形的邊數(shù)的方法、求復(fù)雜幾何圖形的相關(guān)角的和的方法等。對(duì)多邊形的判斷有時(shí)候不能直接就看出來(lái)，這時(shí)候需要添加輔助線來(lái)幫助我們驗(yàn)證。添加輔助線后考的內(nèi)容不僅會(huì)涉及多邊形相關(guān)的定理還會(huì)涉及三角函數(shù)、線與線之間的關(guān)系等考點(diǎn)，所以在中考過(guò)程中往往會(huì)用這些多邊形題來(lái)考核學(xué)生的綜合能力。

（四）圓

在初中數(shù)學(xué)中學(xué)生初次接觸圓。一條線段繞著它的固定端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所成的圖形，稱為圓。圓也可認(rèn)為是與定點(diǎn)的距離相等定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。學(xué)習(xí)主要包括圓的相關(guān)理論、圓的基本屬性、與圓有關(guān)的位置問(wèn)題、正多邊形中畫圓的相關(guān)方法，對(duì)圓我們會(huì)引進(jìn)弦、直徑、弧等內(nèi)容對(duì)圓進(jìn)行進(jìn)一步的分析和研究討論，其中重要的一點(diǎn)是角和弧的對(duì)換等?？山虒W(xué)運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行有關(guān)弦的計(jì)算、利用圓周角定理求角度的方法、利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求角度的方法、利用“作垂直，證相等”判定直線為切線的方法、圓的有關(guān)知識(shí)在動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的應(yīng)用、利用弧長(zhǎng)公式解決運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題的方法等。

三、 關(guān)于幾何題的幾種解題思路

（一）見(jiàn)到圖形，想到性質(zhì)

見(jiàn)到圖形想到性質(zhì)就是當(dāng)你見(jiàn)到一個(gè)圖形，根據(jù)你學(xué)過(guò)的定義、定理和公式你就能對(duì)圖形的性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算。例如三角形性質(zhì)：①三角形的兩邊的和一定大于第三邊，由此亦可證得三角形的兩邊的長(zhǎng)度差也必然不大于或等于第三邊；②三角形內(nèi)角和等于180度；③等腰三角形的頂角平分線、底邊的中線、底邊的高重合，即“三線合一”。見(jiàn)到圖形想到性質(zhì)，一般用“從已知向后推”的思路。

例：如圖所示，在等腰Rt△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交OC于點(diǎn)D，AD的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交BC于點(diǎn)F。下列四個(gè)結(jié)論中正確的結(jié)論序號(hào)為。

A. CD2=CE·CB；

B. 4EF2=DE·EA；

C. ∠OCB=∠EAB；

D. tan∠EAB=5-12。

從題干“在Rt三角形ABC中，AB=BC”我們就可得到三角形ABC是等腰直角三角形，那根據(jù)性質(zhì)可以直接得出AB=BC，∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=45°等。

（二）以基本圖為基礎(chǔ)分析綜合題

在這里講的基本圖是指三角形、四邊形、圓以及三角形的高和圓的切線等。首先得掌握清楚這些基本圖的性質(zhì)和相關(guān)概念，在一些復(fù)雜的幾何圖形當(dāng)中，在上述幾個(gè)基本圖的基礎(chǔ)上，挑出一些常用的重要圖形，再對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解答。以基本圖為基礎(chǔ)用到綜合題當(dāng)中，用基本圖的知識(shí)解決復(fù)雜的綜合題。

除了成型的三角形、四邊形、圓等圖形之外，在幾何題的研究中也有更多的基本圖，比如：三線八角（兩條平行直線被第三條直線所截而成的圖形）、角平分線、三角圖形的中線、三角圖形的中位線、五中互余、勾股定理、銳角三角函數(shù)、直角三角形斜邊中線、直角三角形斜邊的高、正余弦定理、三角形不等、平行四邊形和梯形、垂徑分弦、圓的切線、和圓有關(guān)的角、兩個(gè)圓的公共弦與公切線、平行線帶來(lái)的比例線段、圓冪定理等。

對(duì)上題進(jìn)一步分析：

連接BD由弦切角定理得：∠DBC=∠DAB

因?yàn)椤螪AO=∠ADO=∠CDE

所以∠DBC=∠CDE，

因此△CDE∽△CBD（AA）

所以CDCB=CECD，所以有CD2=CE·CB

所以A正確

再進(jìn)一步分析B

由切割線定理得EB2=DE·AE

由切線定理得DF=FB

又△DEB為等腰直角三角形，所以EF=BF=1/2BE

所以B正確

通過(guò)對(duì)例題第一、第二問(wèn)的證明可以發(fā)現(xiàn)，在綜合體中以基本圖為基礎(chǔ)進(jìn)行分析解題不僅會(huì)節(jié)省時(shí)間還可以減少出錯(cuò)率。在綜合題或者解答題中遇到復(fù)雜的圖形先不要慌，首先觀察圖形，其次根據(jù)題目要求或者圖形基本情況分基本圖或者自己創(chuàng)造基本圖（一般用輔助線進(jìn)行解決），再以基本圖為基礎(chǔ)對(duì)整體圖形進(jìn)行研究和題目的解答。

四、 培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力

抽象就是從復(fù)雜的事物中，單純地抽取某種特性加以認(rèn)識(shí)的思維方式。抽象性從許許多多的事物中選擇其共性的、本質(zhì)性的特點(diǎn)，并摒棄其非本質(zhì)的特點(diǎn)的過(guò)程。具體地講，抽象化就是人類在生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)大量的感性物質(zhì)經(jīng)過(guò)去粗取精、去假存真、由此及彼、由表及里的加工制造，產(chǎn)生認(rèn)識(shí)、判斷、推論的思維方式，從而體現(xiàn)事情的實(shí)質(zhì)與原理的過(guò)程。抽象是從感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)知的最主要方法，并處于理性認(rèn)識(shí)中。抽象思維通過(guò)運(yùn)用科學(xué)知識(shí)的抽象概念，對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)質(zhì)規(guī)律和客觀世界發(fā)展演變的深刻歷程加以揭示，從而使人類通過(guò)認(rèn)知方式掌握的知識(shí)遠(yuǎn)高于通過(guò)人類感覺(jué)器官所進(jìn)行了解的知識(shí)。

幾何是很有難度的一個(gè)方面的知識(shí)點(diǎn)，因?yàn)樗母拍钍潜容^抽象的，需要的是學(xué)生們具備空間化思維，這是很重要的。因?yàn)樵谝话闱闆r下一些復(fù)雜的圖形或者立體空間，在紙面上是沒(méi)有辦法百分之百還原或者看清的，所以在大多數(shù)時(shí)候，在解幾何有關(guān)的題目時(shí)，學(xué)生需要具備一定的空間想象力對(duì)題目進(jìn)行觀察分析。

初中幾何一直是薄弱環(huán)節(jié)。文章主要通過(guò)介紹中學(xué)幾何的基本知識(shí)點(diǎn)，說(shuō)明初中學(xué)生在掌握幾何中所出現(xiàn)的基本問(wèn)題與困難。針對(duì)中考數(shù)學(xué)試題總結(jié)，針對(duì)其中的不同問(wèn)題從知識(shí)點(diǎn)的考察、難點(diǎn)兩個(gè)層面加以分析，同時(shí)對(duì)方法加以整理總結(jié)，提升學(xué)習(xí)者對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的熟悉程度，以此解決學(xué)生針對(duì)不同知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行復(fù)習(xí)時(shí)在知識(shí)點(diǎn)中出現(xiàn)的問(wèn)題。

下面是筆者所提供的一些可以訓(xùn)練學(xué)生抽象能力的方式：①通過(guò)實(shí)際觀察。實(shí)景觀摩對(duì)訓(xùn)練學(xué)生抽象能力的效果較好，當(dāng)講一些基本的幾何圖形課題時(shí)，教師可帶著幾個(gè)現(xiàn)成的模型讓學(xué)生觀摩，又或是通過(guò)在課堂上進(jìn)行紙疊的方式，由學(xué)生自行動(dòng)手做相應(yīng)的模擬，最后再由學(xué)生通過(guò)觀察圖像在折疊過(guò)程中的折痕等，提高對(duì)學(xué)生在相關(guān)圖像中的線段的理解，通過(guò)這樣“由表象到事實(shí)”的方式，可以訓(xùn)練學(xué)生勇于舍棄事件中的非本質(zhì)的環(huán)節(jié)，提取事情的真相；②反復(fù)練習(xí)。培養(yǎng)抽象能力另一個(gè)非常好的方法是進(jìn)行大量的反復(fù)練習(xí)，熟悉解題的常見(jiàn)路線，熟悉輔助線的畫法，在大量的重復(fù)訓(xùn)練后學(xué)生對(duì)一些類似題型的解答會(huì)有一套自己的領(lǐng)悟，這樣在考試中遇到相似的題型時(shí)學(xué)生可以第一時(shí)間想出解答方法，這種“由特殊到一般”的方法，能培養(yǎng)學(xué)生化問(wèn)題的具體提法為一般情況，進(jìn)而公式化的能力；③知識(shí)清晰。對(duì)幾何基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的把控一定要掌握清楚，在這個(gè)基礎(chǔ)上學(xué)生才能學(xué)好新問(wèn)題，才能更快提升運(yùn)用字母、符號(hào)進(jìn)行推廣、推想的能力；④善于歸納總結(jié)，熟悉常見(jiàn)的經(jīng)典圖形代表。

參考文獻(xiàn)：

［1］崔冠之，鄭國(guó)安.中學(xué)數(shù)學(xué)概念，定理和公式大全［M］.北京：中國(guó)農(nóng)業(yè)機(jī)械出版社，1988.

［2］趙慧民.平面幾何解題思路——怎樣運(yùn)用基本圖［M］.北京：海洋出版社，1986.

［3］陸斌.中學(xué)數(shù)學(xué)高階思維訓(xùn)練實(shí)踐研究［M］.上海：上海社會(huì)科學(xué)院出版社，2020.

作者簡(jiǎn)介：汪園芳（1989～），女，漢族，安徽東至人，廈門市杏南中學(xué)，研究方向：初中數(shù)學(xué)。