空間平臺發(fā)射攔截器動力學(xué)與最優(yōu)脈沖攔截

韓艷鏵，王 磊，張 勇

（1.南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院，南京 211106；2.南京航空航天大學(xué)無人機(jī)研究院，南京 210016）

空間攔截在空天防御、在軌服務(wù)、太空碎片清除等領(lǐng)域意義重大，是空間技術(shù)領(lǐng)域持續(xù)熱門課題。脈沖法制導(dǎo)，因其原理和算法相對簡單，易于工程實(shí)現(xiàn)，當(dāng)軌控推力作用時(shí)間遠(yuǎn)小于慣性滑行時(shí)間時(shí)，制導(dǎo)誤差很小，因此在空間攔截領(lǐng)域頗受重視［1?6］?？臻g攔截任務(wù)中，燃料和時(shí)間均是寶貴資源，因此文獻(xiàn)［1?2］采用非線性規(guī)劃方法對脈沖控制進(jìn)行優(yōu)化，文獻(xiàn)［3］基于軌道力學(xué)中的普適變量描述法，采用內(nèi)外雙循環(huán)的窮舉搜索，對脈沖攔截控制進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)［4］為了減少攔截造成的空間污染，降低能量消耗，提高攔截概率，提出了停泊軌道轉(zhuǎn)移逆軌網(wǎng)捕攔截的方式。Lawden［7］提出的主矢量方法是航天最優(yōu)控制領(lǐng)域的經(jīng)典方法。通過對主矢量特性的分析，可以快速找到最優(yōu)脈沖的作用時(shí)機(jī)和方向［8?10］。其中文獻(xiàn)［8］采用主矢量方法，研究了從地球（行星）或月球表面發(fā)射火箭攔截圓形環(huán)繞軌道上目標(biāo)星的脈沖最優(yōu)控制問題，攔截時(shí)間固定，燃耗為性能指標(biāo)，但是未考慮大氣影響。文獻(xiàn)［9］考慮追蹤星和目標(biāo)星近距離相對運(yùn)動，滿足C?W 方程，追蹤星采用脈沖制導(dǎo)，用主矢量法確定最優(yōu)脈沖施加時(shí)機(jī)、大小和方向。文獻(xiàn)［11］針對目標(biāo)星處于橢圓軌道且追蹤星與目標(biāo)星近距離相對飛行的情況，研究了時(shí)間最省切向脈沖攔截問題，采用遺傳?序列二次規(guī)劃相結(jié)合的方法克服了優(yōu)化解對迭代初值的敏感性?？紤]到若發(fā)動機(jī)推力較小，采用脈沖法計(jì)算的制導(dǎo)律在實(shí)際應(yīng)用中會產(chǎn)生較大誤差，文獻(xiàn)［12］受脈沖法啟發(fā)，將攔截途中每個(gè)控制采樣時(shí)刻當(dāng)作初始時(shí)刻，用最優(yōu)脈沖制導(dǎo)算法給出當(dāng)前時(shí)刻應(yīng)施加在攔截器上的發(fā)動機(jī)推力方向，如此不斷迭代，直至攔截到目標(biāo)，該方法的攔截精度可以保證，但總體上已不具有最優(yōu)性。無論是脈沖制導(dǎo)還是連續(xù)推力制導(dǎo)，凡涉及最優(yōu)策略往往計(jì)算量較大，難以在線實(shí)現(xiàn)，基于小參數(shù)攝動的近似優(yōu)化攔截在航天領(lǐng)域應(yīng)用而生［13?14］，以較小的性能犧牲為代價(jià)，大大減輕計(jì)算負(fù)擔(dān)，可用于在線攔截制導(dǎo)。

本文研究平臺攜載攔截器，與目標(biāo)星形成繞飛關(guān)系。繞飛過程中平臺的姿控系統(tǒng)維持其發(fā)射筒軸線始終瞄準(zhǔn)目標(biāo)星。攔截器從發(fā)射筒分離后，自身的小型火箭發(fā)動機(jī)給其施加一個(gè)速度脈沖，修正其飛行方向，然后攔截器憑慣性飛向目標(biāo)星，如圖1 所示。

圖1 平臺繞飛并瞄準(zhǔn)目標(biāo)星示意圖Fig.1 Sketch of the platform flying around and aiming at the target satellite

圖2 給出了攔截器在平臺中的裝載幾何關(guān)系，攔截器在其中形成一個(gè)矩陣。為了直觀表示攔截器的發(fā)射方向，圖中的攔截器頭部用錐頭表示。攔截器只能被依次發(fā)射，即平臺不能同時(shí)發(fā)射兩枚以上攔截器。攔截器可通過平臺中的電磁或氣壓裝置發(fā)射。

圖2 平臺攜載攔截器示意圖Fig.2 Sketch of platform carrying interceptor

文本采用小參數(shù)正則攝動方法，快速求解出燃耗最省最優(yōu)脈沖的一階近似解，該值接近最優(yōu)解，以此為迭代初值，用非線性規(guī)劃方法可以快速可靠地收斂到最優(yōu)真解。

1 發(fā)射過程平臺?攔截器兩體動力學(xué)

首先建立目標(biāo)星軌道坐標(biāo)系oAxAyA，該坐標(biāo)系的原點(diǎn)固定于目標(biāo)星，xA軸正方向沿著目標(biāo)星繞地速度方向，yA軸垂直于xA軸且背離地心方向?yàn)檎?。再建立平臺本體系oBxByB，其原點(diǎn)在平臺質(zhì)心，yB軸沿平臺上的發(fā)射筒軸線方向，且以發(fā)射方向?yàn)檎?，xB軸垂直于yB軸，且在圖2 中向右為正。以上兩坐標(biāo)系在下文中分別簡稱為A 系和B 系。

以目標(biāo)星軌道坐標(biāo)系的yA軸表示平臺姿態(tài)偏航角的參考方向，且以右手規(guī)則定義偏航角的正負(fù)，在圖1 和2 中即逆時(shí)針偏航為正。

設(shè)任何一個(gè)矢量v在兩坐標(biāo)系的投影列陣分別為vA和vB，則兩者之間的坐標(biāo)變換關(guān)系為

其中坐標(biāo)變換矩陣

式中η為平臺的姿態(tài)偏航角。

A 系以角速度n旋轉(zhuǎn)，其中n是目標(biāo)星繞地圓軌道的角速度（也是平臺繞飛目標(biāo)星的平均角速度），故其嚴(yán)格來說是非慣性系。但是在建立平臺發(fā)射攔截器的動力學(xué)方程時(shí)，因?yàn)閿r截器發(fā)射過程耗時(shí)與A 系的旋轉(zhuǎn)周期T=2π/n相比是很小的數(shù)，或等價(jià)地說，該非慣性系的旋轉(zhuǎn)角速度n很小，可視A 系為慣性系，由此引起的建模誤差極小。

設(shè)平臺質(zhì)心相對于A 系原點(diǎn)的位矢為

式中：右下角標(biāo)ld 表示“左下”，右上角標(biāo)p 表示“相對于平臺質(zhì)心”，右下角標(biāo)B 表示“投影到B 系下”。后文采用類似的表達(dá)，不再逐一解釋。

本文定義處于平臺左下位置的攔截器為第1列1 行，攔截器所在列數(shù)的遞增方向是從左向右，行數(shù)的遞增方向是從下向上。

設(shè)第i列j行的攔截器固定在平臺上，由圖2 所示幾何關(guān)系，知其質(zhì)心相對于平臺左下角的位矢為

第i列j行的攔截器質(zhì)心相對于A 系原點(diǎn)的位矢

是平臺姿態(tài)偏航角速率。

第u列w行的攔截器正在發(fā)射筒里處于發(fā)射滑行狀態(tài)，設(shè)其滑行位移為s，則其質(zhì)心相對于平臺左下角的位矢為

式中

拉格朗日分析力學(xué)特別適合多體復(fù)雜航天器的力學(xué)建模［15］，本文攔截器在發(fā)射出筒過程中與平臺形成兩體耦合系統(tǒng)，擬采用拉格朗日第二類方程建模。

平臺動能

2 攔截器攔截目標(biāo)星最優(yōu)脈沖控制

當(dāng)目標(biāo)星在繞地圓軌道上且追蹤星與其距離較近時(shí)，追蹤星相對于目標(biāo)星的運(yùn)動滿足C?W方程

該方程是在目標(biāo)星軌道系即A 系建立的，其中n是目標(biāo)星繞地圓軌道的角速度，如果追蹤星與目標(biāo)星形成繞飛關(guān)系，n也是追蹤星環(huán)繞目標(biāo)星的平均角速度。

式（35）的解析解為

本文的任務(wù)是，尋求施加給攔截器的速度脈沖(Δvx0，Δvy0)，使在某時(shí)刻tf攔截器能夠攔截到目標(biāo)星，且所需施加的速度脈沖幅值最小，即燃耗最省。

用最優(yōu)控制語言描述，即

對于非線性規(guī)劃問題，無論用直接法迭代尋優(yōu)，還是用間接法，即求解表示最優(yōu)必要條件的非線性方程組（44），均涉及迭代初值的選取，而初值選取是困難的，尤其是拉格朗日乘子μ1、μ2本身物理意義不明確，迭代初值的確定更困難。迭代收斂過程對迭代初值非常敏感，容易導(dǎo)致計(jì)算失敗。

本文給出一種求解策略，可謂之“三級優(yōu)化”，基本步驟如下：

步驟2 將原問題最優(yōu)必要條件在零階解附近取一階攝動，得到一組關(guān)于δΔvx0、δΔvy0、δtf、δμ1、δμ2的線性方程。將前述零階近似解加上述攝動量，得到原最優(yōu)問題的一階近似解，即

代入式（46）描述的性能指標(biāo)得

式（46）描述的零階近似優(yōu)化問題的一階必要條件形式上同式（43），不再重復(fù)列寫，展開后得

最后一步不詳細(xì)闡述，以上述一階近似解作為原優(yōu)化問題的迭代初值，此值接近真實(shí)最優(yōu)解，故采用任何一種成熟的非線性規(guī)劃算法均能可靠且快速地收斂到真解。

上述三級優(yōu)化過程的流程圖如圖3 所示。

圖3 三級優(yōu)化流程圖Fig.3 Flow chart of three?level optimization

3 數(shù)值仿真

仿真入口參數(shù)如表1 所示。

表1 仿真入口參數(shù)Table 1 Input parameters for simulation

不失一般性，本仿真以圖2 中發(fā)射第1 列第2行攔截器為例。仿真結(jié)果分別如圖4～12 所示。

圖4～7 中的紅色點(diǎn)劃線表示假設(shè)平臺未發(fā)射攔截器，正常圍繞目標(biāo)星做相對橢圓運(yùn)動，并且時(shí)刻保持發(fā)射筒軸線瞄準(zhǔn)目標(biāo)星時(shí)的運(yùn)動情況，圖中稱其為“原始未受擾”運(yùn)動狀態(tài)。藍(lán)色實(shí)線表示平臺發(fā)射攔截器，兩體相互干擾下的實(shí)際運(yùn)動狀態(tài)。

圖4 發(fā)射過程平臺運(yùn)動軌跡Fig.4 Platform movement trajectory during launch

圖5 發(fā)射過程平臺速度的變化Fig.5 Variation in platform velocity during launch

圖6 發(fā)射過程平臺姿態(tài)偏航角Fig.6 Platform attitude yaw angle during launch

圖7 發(fā)射過程平臺姿態(tài)偏航角速率Fig.7 Platform attitude yaw rate during launch

圖8 攔截器在平臺發(fā)射筒中的滑行位移Fig.8 Sliding displacement of the interceptor in the plat?form launch tube

圖9 攔截器在平臺發(fā)射筒中的滑行速率Fig.9 Sliding rate of the interceptor in the platform launch tube

圖10 攔截器分離后在攔截軌道上的位置坐標(biāo)Fig.10 Position coordinates of the interceptor on the inter?cepting orbit after separation

圖11 攔截器分離后的攔截軌道Fig.11 Intercepting orbit after interceptor separation

圖12 三級優(yōu)化結(jié)果變化Fig.12 Three?level optimization results

圖4～7 顯示，由于發(fā)射過程攔截器對平臺的反作用力，在攔截器分離瞬間，平臺的實(shí)際軌跡相對于未受擾的繞飛軌跡沿y軸負(fù)方向偏離了約0.13 m，平臺的x軸向相對速度增加了0.08 m/s，y軸向相對速度減小了0.22 m/s，姿態(tài)偏航角增加了3.90o，姿態(tài)偏航角速率增加了5.55 (°)/s?？紤]到平臺相對于目標(biāo)星的環(huán)繞橢圓的幾何尺度和相對環(huán)繞速度，可以認(rèn)為攔截器發(fā)射過程對平臺的位置坐標(biāo)影響甚微，但是對平臺繞飛速度以及姿態(tài)的影響不容忽視。

最后補(bǔ)充說明，本文算出的toptimf/T=0.059 ?1，說明文中將n視作小參數(shù)，采用小參數(shù)正則攝動的方法計(jì)算一階近似最優(yōu)解的前置條件是成立的。

4 結(jié) 論

本文針對空間平臺繞飛目標(biāo)星，并發(fā)射攔截器來攔截目標(biāo)星的動力學(xué)與脈沖最優(yōu)控制問題開展研究。在平臺與目標(biāo)星已形成繞飛關(guān)系的條件下，攔截器從平臺中射出，分離瞬間給其施加一個(gè)速度脈沖修正其飛行方向，然后攔截器在C?W 方程支配下憑慣性飛行，直至攔截目標(biāo)星。本文采用拉格朗日第二類方程建立了平臺發(fā)射攔截器過程的兩體耦合動力學(xué)，然后采用基于小參數(shù)正則攝動的方法給出了最優(yōu)速度脈沖的一階近似優(yōu)化解，并以此為迭代初值，采用非線性規(guī)劃方法算得最省燃耗最優(yōu)速度脈沖值，本文謂之“三級優(yōu)化方法”。最后用數(shù)值仿真驗(yàn)證了本文所提方法的有效性。