單元整體視角下的高中數(shù)學概念復(fù)習教學的實踐與探索
——以“解三角形”一輪概念復(fù)習教學為例*

吳萬征

(江蘇省句容高級中學 212400)

1 學情分析

本次教學對象是四星級高中的高三物化生組合實驗班學生，基礎(chǔ)較好，有較強的自主學習能力、運算能力和綜合運用知識解決問題的能力．

2 考點解讀及教學目標

縱觀近幾年高考數(shù)學全國卷，解三角形是重點考查內(nèi)容之一，其本質(zhì)是在三角形內(nèi)蘊方程的基礎(chǔ)上將試題設(shè)定的條件與內(nèi)蘊方程建立聯(lián)系，求得三角形部分度量關(guān)系[1]．解三角形或以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，考查考生對三角形邊角關(guān)系的理解、三角形面積公式的應(yīng)用等；或以解答題的形式出現(xiàn)，考查三角恒等變換、正弦定理、余弦定理等知識點，考查降次、消元和換元等數(shù)學方法及數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程和轉(zhuǎn)化回歸等數(shù)學思想，大多是中等難度試題，靈活多變，具有良好的區(qū)分度，要求考生具有一定的運算求解能力和邏輯思維能力，同時要求考生能合理選擇解題方法．

教學重點 從單元整體的視角構(gòu)建《解三角形》這一章的知識體系．

教學難點 (1)用余弦定理、正弦定理、射影定理結(jié)論中的兩個式子推導第三個式子；(2)余弦定理與正弦定理等價性證明．

3 主要教學過程

3.1 開門見山，直奔主題

師：同學們，我們今天復(fù)習“解三角形”．

師：如何通過向量運算得出三角形的邊角關(guān)系？

圖1

師：如圖1，在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c．你的結(jié)論是——

生1：余弦定理a2=b2+c2-2bccosA．

師：你可以說說余弦定理的文字語言嗎？

生1：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．

師：真不錯．余弦定理的符號語言呢？

生1：剛才的式子和b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC．

師：生1通過把向量等式兩邊平方，通過算兩次得到余弦定理．這是向量等式數(shù)量化的結(jié)果．

問題2你還有其他證明余弦定理的方法嗎？請說說證明的思路．

生2：以點B為坐標原點、BC所在直線為x軸、垂直BC的直線為y軸建立平面直角坐標系，得到A,C的坐標，用兩點間距離求出線段AC，另一方面AC=b，就證得余弦定理的一個等式．其他兩個同理可證．

師：用解析法把線段AC算兩次得到余弦定理，把幾何問題代數(shù)化．余弦定理還有其他形式嗎？

師：夾角公式的用途是——

生3：一方面更方便記憶公式，另一方面可以解決已知三角形三邊求三內(nèi)角的問題．

師：這是余弦定理能解決的斜三角形的一類問題．余弦定理還有其他用途嗎？

生3：已知兩邊及其夾角，求第三邊及其他兩角．

師：在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，則a2=b2+c2-2bccosA①，b2=a2+c2-2accosB②，c2=a2+b2-2abcosC③．余弦定理的這三個式子對稱、輪換，非常完美．我們在學習誘導公式的時候，用兩組公式可以推導第三組公式．在這里，有一個類似的問題：

問題3在余弦定理的三個式子中，取其中兩個，能否推導出第三個？例如，由①②兩式能否推導出③式？請思考．

生4：可以的．由①②兩式可以歸納出③式是顯然成立的．(生眾笑)

師：請給出“顯然成立”的證明．

生4：……(撓耳表示不知，生眾笑)

師：此時，我們怎樣分析問題？

生眾：觀察條件和結(jié)論．問自己兩個問題：條件是什么？結(jié)論是什么？

師：波利亞的怎樣解題的方法深入骨髓！條件是什么？

生眾：①式和②式．

師：結(jié)論是什么？

生眾：③式．

師：條件與結(jié)論之間有哪些聯(lián)系？

生4：A+B+C=π．

師：這樣把向量等式數(shù)量化后得到一般三角形的射影定理．直角三角形的射影定理是？

圖2

師：怎么證明？

生5：用三角形相似證明．

師：在射影定理的三個式子中，取其中兩個，能否推導出第三個？留作同學們課后思考．

師：確實得到一個等式．和前面的余弦定理與射影定理相比，老師覺得這個等式不美，請你想一個辦法，把這個式子調(diào)整得簡潔美觀．

生6：acos∠ADC+ccos∠BAD=bcos∠CAD．

師：等式里的∠ADC,∠BAD,∠CAD可以轉(zhuǎn)為△ABC的內(nèi)角嗎？

生6：不可以．

師：這里的AD是邊BC上的中線，可以調(diào)整一下嗎？

師：為什么調(diào)整為高線后就可以得到正弦定理？

生6：調(diào)整為高線后就有兩個垂直向量，它們的數(shù)量積等于零．同時得到兩個直角三角形，把∠BAD和∠CAD轉(zhuǎn)為它們的余角∠B和∠C．

師：大家同意他的看法嗎？

生7：△ABC的形狀會影響結(jié)論的．

生6：不影響，不妨設(shè)∠C最大，討論一下∠C為銳角、直角與鈍角的情況就行了．

師：如此分類討論，正弦定理的證明思路就嚴謹了．你可以說說正弦定理的文字語言嗎？

生6：三角形的各邊與它所對角的正弦之比相等．

問題4你還有其他證明正弦定理的方法嗎？請說說證明的思路．

圖3

師：生8建立直角坐標系，利用三角函數(shù)的定義把三角形面積算兩次證明正弦定理；生9通過三角形的外接圓，將任意三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題證明正弦定理，得到了比值為三角形外接圓的直徑．正弦定理的證明方法很多，在正弦定理的三個式子中，取其中兩個，能否推導出第三個？留作同學們課后思考．

師：正弦定理有哪些常用變形式？

師：請問第⑤式如何證明？

生10：大邊對大角，然后用正弦定理把邊關(guān)系轉(zhuǎn)化為角關(guān)系．

師：在△ABC中，由A>B能推導出cosA與cosB的大小關(guān)系嗎？

生10：由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，在△ABC中，A>B?cosA

師：換成正切呢？

生10：不好判斷．

師：你的知識體系很完整，點個贊！

師：正弦定理能解決斜三角形哪些問題？

生11：已知兩角與任一邊，求其他兩邊及一角；已知兩邊與其中一邊對角，求另一邊及兩角．

3.2 互證定理，深化理解

問題5正弦定理、余弦定理、射影定理都是三角形基本要素之間的等量關(guān)系，那么它們之間有怎樣的聯(lián)系呢？是相互等價的嗎？以正弦定理與余弦定理為例，請嘗試．

師：條件是什么？

師：這個條件有其他形式嗎？

生12：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC．

師：目標是什么？

生12：證明余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，另外兩個式子同理可證．

師：目標有其他表達形式嗎？

師：目標與條件有什么關(guān)系？

生12：可以把條件代入目標，化簡整理．

師：思路很清晰，用證明等式的想法，化繁為簡．請板書你的證明過程，其他同學在稿紙上證明．

同理b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC．

師：類比剛才的用正弦定理證明余弦定理，請由余弦定理證明正弦定理．

生13：不太好證明．

師：我們一起分析，條件是什么？

生13：△ABC滿足余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC．

師：目標是什么？

師：條件向目標轉(zhuǎn)化，還是目標向條件轉(zhuǎn)化？

生13：兩個方向都不太好處理．

師：請觀察條件和目標，它們具有怎樣的結(jié)構(gòu)特征？

生13：條件是三個二次的等式，目標是分子和分母都是一次的分式．

師：降冪好，還是升冪？

生13：升冪，a2sin2B=b2sin2A．

師：升冪后的目標與條件有聯(lián)系嗎？

生13：再轉(zhuǎn)化為a2(1-cos2B)=b2(1-cos2A)．

師：如何證明這個等式？

生13：即證a2cos2B-b2cos2A=a2-b2．

師：思路厘清了．請板書你的證明過程，其他同學在稿紙上證明．

生13：由余弦定理知

師：兩位同學的數(shù)學基本功很強．我們在分析和解決問題的時候，經(jīng)常問問自己：已知條件是什么？目標結(jié)論是什么？它們兩者之間的關(guān)系是什么？已知條件可以轉(zhuǎn)化嗎？目標結(jié)論可以轉(zhuǎn)化嗎？轉(zhuǎn)化后，它們兩者之間的關(guān)系是什么？

問題6對于解三角形，你還有補充嗎？

師：你可以證明嗎？

圖4 圖5

生15：結(jié)合條件“AD是∠BAC的平分線”，分別在△ABD和△ACD中用正弦定理，然后兩式相比就得證．

師：這是三角形的內(nèi)角平分線定理．外角平分線定理呢？

師：你可以證明嗎？

生16：結(jié)合條件“AM是BC邊上的中線”，分別在△ABM和△ACM中用余弦定理的夾角公式，然后兩式相加就得證．

師：三位同學補充了三角形的面積公式、三角形角平分線定理和中線長公式三個常用的結(jié)論，并用算兩次的算法思想給出了相應(yīng)的證明．

3.3 歸納小結(jié)，呼應(yīng)主題

4 教學感悟

4.1 對標高考，概念復(fù)習課緊扣課本不疾而速再重現(xiàn)，喚醒數(shù)學知識記憶

2011年高考數(shù)學陜西卷文理科第18題：敘述并證明余弦定理．此題考試結(jié)果很不理想，滿分12分的題，平均分只有5.43分，而且，“敘述”定理部分可以得4分，可見“證明”定理部分幾乎沒有得分[2]．這是30年后再次考查余弦定理的證明，而答案就在課本上．這就提醒我們一輪復(fù)習要緊扣課本：緊扣概念、定義、定理、公式等發(fā)生發(fā)展的過程；緊扣課本經(jīng)典例題、練習和習題所蘊含的解題方法和數(shù)學思想，穿珠成串．

本節(jié)課，在學生復(fù)習課本的基礎(chǔ)上，筆者兩節(jié)課連上，在師生、生生交流間完成解三角形知識點的復(fù)習．筆者不著急、不趕進度，給學生時間展示復(fù)習的成果，板書解答的過程．比如生6在向量等式數(shù)量化時，在等式兩邊點乘三角形中線所構(gòu)成的向量得出等式后，筆者從等式對稱美的角度，從用三角形基本要素表達的角度啟發(fā)生6用三角形高線所構(gòu)成的向量實現(xiàn)正弦定理的生成，并追問生6為什么用高線，把學生的思維“擠”出來，喚醒數(shù)學知識記憶．

4.2 注重生成，向量法一以貫之進行知識體系再建構(gòu)，積累數(shù)學活動經(jīng)驗

概念復(fù)習課是一輪復(fù)習教學的常見課，也是基礎(chǔ)課．筆者從教以來實踐過的一輪概念復(fù)習課的模式有：當作新課帶學生重新快速上一遍；帶領(lǐng)學生簡單羅列教材上的知識點；將概念的關(guān)鍵字刪除后讓學生完成概念填空；將概念融入簡單習題作為前置作業(yè)由學生課前完成；布置學生自主整理章節(jié)思維導圖等．如此概念復(fù)習教學，浮光掠影，都不能避免知識的碎片化，也不能促進學生在螺旋式教學中獲得對概念更深層次的認識．《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》指出：關(guān)注單元知識的系統(tǒng)性，幫助學生理解數(shù)學的結(jié)構(gòu)，增進復(fù)習的有效性，達到相應(yīng)單元的“學業(yè)要求”[3]93；《中國高考評價體系》要求：對同一層面的知識、能力、素養(yǎng)能夠橫向融會貫通，形成完整的知識結(jié)構(gòu)、能力結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)[4]．

4.3 凸顯關(guān)聯(lián)，著眼定理自身關(guān)系與相互關(guān)系再探究，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)

高三數(shù)學復(fù)習課時間緊、任務(wù)重、容量大、節(jié)奏快，筆者曾經(jīng)一度輕概念的復(fù)習，引導學生將概念一過，隨即就進入刷題講題循環(huán)模式，期待在刷題中學會刷題．結(jié)果是筆者忙碌于各種題型的總結(jié)，疲憊于各種試卷中難題的講解，錯過了給予學生對概念，尤其是核心概念在一輪復(fù)習中深層次再理解和融會貫通的機會，致使學生在考試中遇到所謂新題一籌莫展、束手無策．實踐證明：高三數(shù)學復(fù)習中，應(yīng)立足單元整體，在每一個章節(jié)復(fù)習起始課上，教師加強學習方法指導，幫助學生養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣，敢于質(zhì)疑、善于思考，理解概念、把握本質(zhì)，數(shù)形結(jié)合、明晰算理，厘清知識的來龍去脈，建立知識之間的關(guān)聯(lián)[2]．這不僅不會影響復(fù)習的進度，還會更有效地幫助學生夯實數(shù)學基礎(chǔ)知識，拓展基本技能，深化基本思想，積累基本活動經(jīng)驗，有利于促進學生通過發(fā)現(xiàn)事物內(nèi)部以及事物之間的關(guān)系和規(guī)律將知道的一系列的數(shù)學事實構(gòu)建成知識體系和模型，并向更完備的方向發(fā)展，形成解題思維的固著點，讓邏輯推理的數(shù)學素養(yǎng)落地生根，事半功倍．

本節(jié)課，筆者看似一道例題沒有講、學生一道練習沒有做，實則師生交流間至少完成了8道題：余弦定理、射影定理和正弦定理的證明，余弦定理的三個式子中的兩個證明第三個，正弦定理與余弦定理等價性證明，以及用正弦定理證明三角形的角平分線定理，用余弦定理推導三角形的中線長公式．筆者抓住一輪復(fù)習的契機，通過余弦定理、正弦定理和射影定理的證明建立知識之間的深層聯(lián)系，并基于聯(lián)系，猜想并證明正弦定理和余弦定理的等價性，發(fā)展學生的邏輯推理素養(yǎng)．囿于學生的接受能力，筆者沒有點明余弦定理和射影定理是等價的，而余弦定理是正弦定理的充分不必要條件，它們的等價是需要正弦定理加上三角形內(nèi)角和定理的．這三者的等價性的本質(zhì)因素是滿足定理條件的六個元素是否構(gòu)成一個三角形．在重溫這些經(jīng)典定理的證明以及定理的應(yīng)用過程中，引導學生借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系，反復(fù)咀嚼算兩次的思想，學習應(yīng)用波利亞怎樣解題的解題步驟解決難題，從而落實對學生分析問題和解決問題能力以及意志品質(zhì)和關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，進而實現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”[3]9．