聚焦數(shù)學(xué)“深度學(xué)習(xí)” 回歸初函“巧思妙解”
——以三角函數(shù)的單調(diào)性為例

◎沈利芳

(浙江省湖州市菱湖中學(xué)，浙江 湖州 313018)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).教學(xué)情境是教師積極主動建構(gòu)知識框架，創(chuàng)設(shè)與學(xué)習(xí)內(nèi)容相關(guān)的、貼近學(xué)生實(shí)際生活的真實(shí)情景和環(huán)境.借助數(shù)學(xué)主題情境，理解數(shù)學(xué)概念，解讀初等“真”函數(shù)，以變式“真”問題來驅(qū)動，觸動學(xué)生心靈的“真”教學(xué)，是深度教學(xué)課堂“真”實(shí)踐，是培育學(xué)生核心素養(yǎng)“真”途徑.

筆者有幸開設(shè)一節(jié)市級公開課，本節(jié)課選自人教版2019年高中數(shù)學(xué)必修第一冊(人教A版)第五章“三角函數(shù)”第四節(jié)“三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)”，屬于專題復(fù)習(xí)課.筆者從復(fù)合函數(shù)的角度出發(fā)，以單調(diào)性為主線，以變式教學(xué)的方式，探討正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)性，并由此延伸出最值等問題的解法.課堂教學(xué)設(shè)計新穎獨(dú)特，受到聽課教師的一致好評.筆者在教學(xué)反思中無窮回味，并從評課中深受啟發(fā)，從而整理成文，與廣大教師分享.

一、聚焦數(shù)學(xué)“深度學(xué)習(xí)”

傳統(tǒng)教學(xué)重結(jié)果輕過程，容易引起學(xué)生思維的斷層，從而形成“一講就懂，一聽就會，一做就錯，一放就忘”的尷尬局面.數(shù)學(xué)抽象作為數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)之一，筆者在初等函數(shù)教學(xué)中，特別重視數(shù)學(xué)概念之間、數(shù)量之間、圖形之間的關(guān)系，并應(yīng)用變式的轉(zhuǎn)化，使學(xué)生感悟抽象的過程.另外，筆者還注重理性思維訓(xùn)練，即學(xué)生從事物的具體背景中抽象出一般的規(guī)律和結(jié)構(gòu).

1.初遇三角 精見數(shù)“深”

三角函數(shù)是初等函數(shù)的代表，它與代數(shù)、幾何、平面向量等有著密切的關(guān)聯(lián)，從而成為全國各地數(shù)學(xué)高考試卷中的“重頭戲”，更是學(xué)生的失分點(diǎn).縱觀近兩年全國各地數(shù)學(xué)高考試卷，關(guān)于“三角函數(shù)”的考查(表1)，從選擇題、填空題，到解答題，可謂各路英雄集體亮相，“單調(diào)性”“取值范圍”“最值”“圖象”等八仙過海各顯神通，凸顯初等函數(shù)題的“深”不可測.三角函數(shù)作為高頻考點(diǎn)，一線教師需要精通其廣度與深度.筆者以一道改編題為例，展現(xiàn)三角函數(shù)的“深”魅力.

表1 近兩年全國各地高考試卷“三角函數(shù)”考點(diǎn)統(tǒng)計表

情境一：

圖1 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性

【評注】如果直接以整體換元的方法，將括號內(nèi)的部分當(dāng)成一個整體，大多學(xué)生就只能生搬硬套，知其然而不知其所以然.而從復(fù)合函數(shù)的角度加以正確的引導(dǎo)與分析，將其轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的單調(diào)性和正弦函數(shù)的單調(diào)性，學(xué)生便能利用已學(xué)知識理解題目的本質(zhì)，有一種如魚得水的感覺.

高中數(shù)學(xué)的教學(xué)評價已從聚焦學(xué)生知識能力的掌握，轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生核心素養(yǎng)的形成.情境一中關(guān)于單調(diào)性的有效訓(xùn)練，能提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并加“深”學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，初見數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì).

2.初變風(fēng)云 精握數(shù)“度”

數(shù)學(xué)變式教學(xué)是項目式學(xué)習(xí)的一種有效方式，是以某一概念為主題，創(chuàng)設(shè)多個情境，設(shè)計一連串的問題，從易至難，層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，以啟發(fā)式、懸疑式刺激學(xué)生思考維度變化的方法.數(shù)學(xué)試題風(fēng)云變幻，教師、學(xué)生深陷其中，難以自拔，深感“無解”的痛苦與“有解”的快樂，甚至感覺數(shù)學(xué)課堂“度”日如年.筆者深度了解學(xué)情，精準(zhǔn)把握單調(diào)性變式的尺度與難度，撥開云霧見天日，柳暗花明又一村.

情境二：

【設(shè)計意圖】在給定范圍內(nèi)求單調(diào)區(qū)間，一直是函數(shù)單調(diào)性求解的難點(diǎn).一般思路是先求解函數(shù)在實(shí)數(shù)集范圍內(nèi)的單調(diào)區(qū)間，再與給定區(qū)間取交集.但學(xué)生對于周期的整數(shù)倍等概念感覺比較抽象.因此，在例題基礎(chǔ)上限定x的范圍，由x的范圍得到t的范圍，會使學(xué)生更容易理解和接受.最值的求解過程也充分體現(xiàn)了函數(shù)最值的本質(zhì)就是單調(diào)性.同時，通過最值的求解，學(xué)生體會了正弦函數(shù)圖象的重要性.

變式題，千變的情境，萬異的設(shè)問.教師跳進(jìn)題海，學(xué)生跳出題海.教師要以學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”為落腳點(diǎn)，優(yōu)選典型變式例題，研究數(shù)量與圖形的關(guān)系，提高學(xué)生的參與“度”，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，使其初獲數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，初成數(shù)學(xué)方法與思想.

3.初心牢記 精通數(shù)“學(xué)”

初等函數(shù)與生產(chǎn)生活密切相關(guān)，是高中數(shù)學(xué)的精髓所在.但變式不可拘泥于一種題型，要大膽創(chuàng)新，當(dāng)然也要符合學(xué)生的實(shí)際需要.筆者牢記數(shù)學(xué)教學(xué)的初心，從數(shù)學(xué)抽象出發(fā)，將例題兩次變式，從數(shù)量之間的關(guān)系到與圖形之間的關(guān)系，關(guān)聯(lián)單調(diào)性與最值，致敬數(shù)“學(xué)”的獨(dú)特魅力.

情境三：

圖2 函數(shù)圖象

【設(shè)計意圖】如果直接呈現(xiàn)此題，學(xué)生會感覺有點(diǎn)突兀，且題目難度有點(diǎn)大.但是，在變式一函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基礎(chǔ)上，很容易畫出函數(shù)f(x)在給定區(qū)間內(nèi)的大致圖象.教師通過為學(xué)生鋪設(shè)臺階，讓他們有一種“跳一跳就能夠得到”的感覺，進(jìn)而達(dá)到事半功倍的效果.

從變式一到變式二，變化的情境創(chuàng)設(shè)不斷激發(fā)學(xué)生的求知欲.學(xué)生不再“似懂非懂”，不再“消化不良”，而是熟能生巧，學(xué)會在聯(lián)想中尋求思路，數(shù)學(xué)課堂從淺層教學(xué)走向深度教學(xué)，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)不再“抽象”.

4.初出茅廬 精熟數(shù)“習(xí)”

重要的數(shù)學(xué)概念、規(guī)律、模型等均有一個逐漸形成的過程，學(xué)生不可能簡單地通過一個情境、一個問題就可以完全理解.為了讓學(xué)生舉一反三，教師需要趁熱打鐵、乘勝追擊，將主題教學(xué)進(jìn)行到底，展開深度探究，從感知圖象，到最值，再到取值范圍，讓學(xué)生在思考過程發(fā)現(xiàn)真問題，掌握真規(guī)律，所謂“學(xué)而時習(xí)之，不亦說乎”.

情境四：

【設(shè)計意圖】該題的設(shè)置與例題中的單調(diào)區(qū)間、最值相對應(yīng)，有著畫龍點(diǎn)睛、首尾呼應(yīng)的作用.含參數(shù)問題通常具有一定的綜合性，如何由繁化簡是一大難點(diǎn).通過例題和多次變式，學(xué)生已有將函數(shù)分解的經(jīng)驗，因此在面對習(xí)題時不會束手無策，能嘗試運(yùn)用例題的解法來求解，并在解答過程中會有一種豁然開朗的感覺，學(xué)“習(xí)”能力有了質(zhì)的飛躍.

縱觀整節(jié)課的教學(xué)設(shè)計，圍繞一個典型例題逐步展開，回歸到初等函數(shù)y=sinx，分支為三個變式.教學(xué)過程中滲透函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想，以三角函數(shù)的單調(diào)性為主線，演變?yōu)槔脝握{(diào)性求最值、作圖象、探究特定條件下的單調(diào)區(qū)間問題.學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想解決最值與交點(diǎn)等綜合問題，通過反思—問題生成—探究—解決問題的深度學(xué)習(xí)過程，培養(yǎng)高階思維能力.

二、回歸初函“巧思妙解”

以單調(diào)性為主線，見證三角函數(shù)的變式教學(xué)，回歸到初等函數(shù)的圖象變化.初等函數(shù)的變式教學(xué)，其結(jié)構(gòu)往往呈直線遞進(jìn)式，由淺入深，層層鋪開，變式內(nèi)容的設(shè)置始終要遵循學(xué)生的思維，逐一變化條件，使學(xué)生的思維螺旋式上升.在教學(xué)中，教師感悟數(shù)學(xué)概念形成的抽象過程，回歸初等函數(shù)的優(yōu)化設(shè)計時需要凸顯四個方面的教學(xué)價值.

1.“巧”用變式，激發(fā)學(xué)生興趣點(diǎn)

在備課過程中，教師應(yīng)該有目標(biāo)地對例題進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化，引導(dǎo)學(xué)生從三角函數(shù)單調(diào)性“變”的現(xiàn)象中，探究“不變”的數(shù)學(xué)本質(zhì)，在“不變”的本質(zhì)中發(fā)現(xiàn)“變”的規(guī)律，進(jìn)而使學(xué)生在有限的變化中領(lǐng)略初等函數(shù)概念的無限魅力.變式教學(xué)有利于學(xué)生積極參與探究過程，能引導(dǎo)學(xué)生快樂學(xué)習(xí)，探索知識的發(fā)生、發(fā)展的過程，這能極大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展學(xué)生的視野，真正體現(xiàn)學(xué)生的主體地位.

2.“思”用變式，激活學(xué)生思維點(diǎn)

教師要根據(jù)新課標(biāo)制訂教學(xué)目標(biāo)，并結(jié)合學(xué)情，不斷優(yōu)化變式題.對于數(shù)學(xué)學(xué)科而言，變式教學(xué)是一種值得推崇的教學(xué)方式，它能夠避免教學(xué)過程中知識、能力、方法的分裂，能讓學(xué)生的思維向更寬、更深的方向發(fā)展，從而有效提升學(xué)生的理性思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

3.“妙”用變式，突破教學(xué)重難點(diǎn)

在“雙減”政策的大背景下，學(xué)生跳出“題?！钡那疤釁s是教師必須要跳入“題?！?教師需要在眾多三角函數(shù)題中，厘清單調(diào)性這條主線，優(yōu)化教學(xué)情境，提煉知識本質(zhì)，擴(kuò)充課堂容量，提高課堂效率，達(dá)到變式教學(xué)的最高境界.教師若能從變化事物的非本質(zhì)屬性中概括出事物的本質(zhì)屬性，則將有助于學(xué)生琢磨數(shù)學(xué)概念之間的前因后果，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識與方法的深刻理解，從而突破初等函數(shù)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn).

4.“解”用變數(shù),擊中教學(xué)轉(zhuǎn)折點(diǎn)

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本思想，貫串于在數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的全過程.以三角函數(shù)概念為例，它的形成一共經(jīng)歷了六個階段(表2).從銳角三角函數(shù)的概念，到任意角的三角函數(shù)概念，到初等函數(shù)的概念，概念的內(nèi)涵不斷加深、拓展；從“解”三角形，到三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、奇偶性、圖象，從數(shù)量關(guān)系到空間關(guān)系，都需要引入變式教學(xué)，實(shí)現(xiàn)利用單調(diào)性“解”最值到圖象的轉(zhuǎn)變，擊中每個階段的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，達(dá)到本質(zhì)的飛躍.

表2 三角函數(shù)概念形成的六個階段

北京大學(xué)姜伯駒院士說：“數(shù)學(xué)已經(jīng)從幕后走到臺前，直接為社會創(chuàng)造價值.”數(shù)學(xué)學(xué)科的重要地位已受到全社會的關(guān)注.多解、多變是實(shí)施數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的重要措施.將變式教學(xué)深度應(yīng)用到教學(xué)中，不僅可以充分挖掘?qū)W生的潛能，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識實(shí)現(xiàn)新的飛躍，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維、創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力等高階思維能力，而且可以讓學(xué)生更全面地透過本質(zhì)看待數(shù)學(xué)問題，彰顯與眾不同的數(shù)學(xué)課堂的魅力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象等學(xué)科核心素養(yǎng).