慣性張量平移和旋轉(zhuǎn)復(fù)合變換的一般形式及其應(yīng)用

黎 旭, 陳強(qiáng)洪, 甄文強(qiáng), 王 碩

(中國工程物理研究院總體工程研究所，綿陽 621999)

0 引言

在汽車等領(lǐng)域的工程設(shè)計中，由于各組件慣性矩和慣性積參考系、安裝位置和姿態(tài)各不相同，常常需要將復(fù)雜系統(tǒng)不同組件的慣性矩(轉(zhuǎn)動慣量)、慣性積進(jìn)行變換后合成[1–3]。特別是像運載火箭的質(zhì)量特性隨時間變化的情況下，實現(xiàn)飛行軌跡計算時需要對慣性張量進(jìn)行合成，現(xiàn)有方法主要是通過實物測量和CAD 模型測量獲得合成的慣性矩和慣性積。實物測量對測量設(shè)備要求較高，周期和成本也較高；CAD 模型測量需要建立完整的三維模型并賦相應(yīng)的密度，只能對靜態(tài)模型進(jìn)行合成，無法對慣性矩和慣性積進(jìn)行快速合成。

為實現(xiàn)隨時間變化的不同剛體組件慣性矩和慣性積的快速合成，需要對其進(jìn)行坐標(biāo)變換，已有文獻(xiàn)給出了剛體慣性矩和慣性積分別進(jìn)行平移或旋轉(zhuǎn)變換的形式[4–7]，但缺少平移、旋轉(zhuǎn)復(fù)合變換的一般形式。本文首先從慣性張量的基本定義出發(fā)，采用矩陣變換導(dǎo)出了一般的慣性張量分量矩陣平移和旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系，然后將不同坐標(biāo)系下的組件慣性張量變換到同一坐標(biāo)系下，最后直接疊加實現(xiàn)慣性矩和慣性積的快速合成，方法具有一定理論意義和工程使用價值。

1 慣性矩、慣性積與慣性張量的描述

慣性張量是描述剛體做定點轉(zhuǎn)動的物理量，包含慣性矩和慣性積信息[8]。為了描述慣性張量，定義直角坐標(biāo)系O ?xyz(S)，x、y、z方向的基元分別為i、j、k，則剛體上任意一點的位置矢量可表示為

其中u為剛體上任意一點的位置矢量，f為坐標(biāo)系S的基元構(gòu)成的矢陣(f=[i,j,k]T)，r為u在S中的坐標(biāo)(r=[x,y,z]T)。

剛體的慣性張量定義為[3]

其中I為剛體慣性張量，u為剛體上任意一點的位置矢量，u · u為內(nèi)積，uu為并矢，E為單位張量。

由式(1)和式(2)，可得

其中J為慣性張量I在S中的分量矩陣(慣性矩陣)[3,7–8]，形式為

其中Jxx為相對x軸的慣性矩，Jyy為剛體相對y軸的慣性矩，Jzz為剛體相對z軸的慣性矩，Jxy為剛體相對x、y軸的慣性積，Jyz為剛體相對y、z軸的慣性積，Jzx為剛體相對z、x軸的慣性積，其中Jzx=Jxz。

2 慣性張量平移和旋轉(zhuǎn)變換的一般關(guān)系

2.1 位置矢量的坐標(biāo)變換關(guān)系

為了將局部坐標(biāo)系下的慣性張量分量矩陣變換到全局坐標(biāo)系下，首先需要知道局部坐標(biāo)系與全局坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換關(guān)系。構(gòu)造如圖1 所示的兩個坐標(biāo)系，O1x1y1z1(S1)為局部坐標(biāo)系，O2x2y2z2(S2)為全局坐標(biāo)系。O1相對于O2的位置矢量為u0，在S2中的坐標(biāo)為r0。剛體上任一點A相對于O1的位置矢量為u1，在S1中的坐標(biāo)為r1。A相對于O2的位置矢量為u2，在S2中的坐標(biāo)為r2，剛體在S1下的質(zhì)心坐標(biāo)為rC。

由圖1 中的幾何關(guān)系可得

圖1 剛體的坐標(biāo)變換關(guān)系

寫成坐標(biāo)系下的形式為

由S2的基元矢陣f2通過基元旋轉(zhuǎn)，可得到S1的基元矢陣

其中L為旋轉(zhuǎn)矩陣，同時也是正交矩陣。任何兩個坐標(biāo)軸不平行的坐標(biāo)系可以通過若干次基元旋轉(zhuǎn)變成各軸互相平行的坐標(biāo)系，這里按照z ?y ?x的順序(也可以其它順序)旋轉(zhuǎn)f2至與f1平行，通過三次如圖2 所示的Euler 角基元旋轉(zhuǎn)實現(xiàn)。

圖2 坐標(biāo)系的基元變換

旋轉(zhuǎn)變換矩陣為

式(7)帶入式(6)，可得包含平移和旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)變換關(guān)系

2.2 慣性張量分量矩陣的變換關(guān)系

得到剛體位置矢量的坐標(biāo)變換關(guān)系后，下面考慮坐標(biāo)變換下的張量矩陣關(guān)系。由式(4)可知，全局坐標(biāo)系S2下的慣性張量分量矩陣為

將式(12)～(15)帶入式(11)，得變換關(guān)系

分幾種情況討論：

1) 當(dāng)r0= 0 時，即局部坐標(biāo)系原點O1與全局坐標(biāo)系原點O2重合，此時為純旋轉(zhuǎn)變換，式(16)簡化為

2) 當(dāng)r0?= 0 且L=E時，此時為純平移變換，變換關(guān)系為慣量平移定理，式(16)簡化為

3) 當(dāng)rC=0 時，即局部坐標(biāo)系原點O1與剛體質(zhì)心重合，平移變換和旋轉(zhuǎn)變換的作用相互獨立，式(16)簡化為

4) 當(dāng)r0?= 0 且rC?= 0 時，即局部坐標(biāo)系原點O1與全局坐標(biāo)系原點O2不重合，且局部坐標(biāo)系原點O1與剛體質(zhì)心不重合，則式(16)中存在交叉項，表明平移和旋轉(zhuǎn)變換存在耦合效應(yīng)。

3 算例分析

考慮某飛行器艙段內(nèi)三個組件的慣性矩、慣性積合成問題，已知組件在本體局部坐標(biāo)系下的質(zhì)量特性如表1 所示。

表1 組件本體局部坐標(biāo)系下質(zhì)量特性

假設(shè)三個組件未安裝時的本體局部坐標(biāo)系與艙段全局坐標(biāo)系重合，安裝好后本體局部坐標(biāo)系相對全局坐標(biāo)系先進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，然后進(jìn)行平移變換，變換參數(shù)如表2 所示。

表2 組件平移和旋轉(zhuǎn)變換參數(shù)

組件安裝好后，相對于艙段全局坐標(biāo)系的慣性矩和慣性積如表3 所示，其中計算值為本文計算結(jié)果，CAD 為三維軟件(NX UG 12.0)的測量結(jié)果?？梢钥闯?，計算結(jié)果與CAD 測量結(jié)果幾乎一致，微小的差異主要為數(shù)值舍入誤差導(dǎo)致，可忽略不計。結(jié)果表明，本文所推導(dǎo)的慣性張量復(fù)合變換的公式正確，可以作為工程中慣性矩和慣性積快速合成提供依據(jù)。

表3 組件全局坐標(biāo)系下慣性矩、慣性積

4 總結(jié)

本文首先基于慣性張量的基本定義，采用矩陣變換推導(dǎo)出了慣性張量分量矩陣平移和旋轉(zhuǎn)復(fù)合變換的一般形式，然后給出了不同簡化條件下的結(jié)論。最后，通過某飛行器三組件慣性矩、慣性積合成的算例驗證了結(jié)論的正確性。

這種方法通過簡單的組合計算，就能夠在了解各組件隨時間變化的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，適應(yīng)組合系統(tǒng)的慣性張量計算需求。