連通圖的SDD譜半徑及能量的界

姚彥燕，高玉斌

(中北大學 數(shù)學學院，山西 太原 030051)

0 引 言

設G的鄰接矩陣為A(G)，記A(G)的特征值為λ1≥λ2≥…≥λn，稱λ1為G的譜半徑.圖G的能量定義為

近年來，PAN等[2]得到了最小SDD指數(shù)的極圖，并確定了n階化學樹的上界；LIU等[3]得到了最小SDD指數(shù)的三環(huán)圖；Ghorbani M等[4]從圖的軌道角度研究了SDD指數(shù)的一些性質(zhì)，并得到SDD指數(shù)的界；Ali A等[5]等人研究得到SDD指數(shù)的下界，并刻畫了相應的極圖；Zheng L等[6]利用一些不等式研究了AG指數(shù)的譜半徑和能量的界；Guo X等[7]利用Cauchy-Schwarz等不等式研究了AG指數(shù)的譜半徑和能量的界. 基于以上研究，本文利用一些基本不等式，得到了圖的SDD譜半徑和能量的新的上下界，并給出達到這些界的極圖.

本文還用到以下拓撲指數(shù)：

第一Zagreb指數(shù)[9]：

第二Zagreb指數(shù)[10]：

遺忘指數(shù)[9]：

1 引 理

引理 1[11]設G是n個頂點m條邊的連通圖，則

等式成立當且僅當G同構(gòu)于Kn或K1,n-1.

引理 2[12]設G是n階圖，度序列為d1,d2,…,dn，則

當且僅當G是正則圖或半正則圖等式成立.

引理 3[13]設B=(bi,j)，C=(ci,j)是兩個n階非負實對稱矩陣，若B≥C，即對所有i,j，bi,j≥ci,j成立，則ρ1(B)≥ρ1(C)，其中，ρ1(B)，ρ1(C)是矩陣B，C的譜半徑.

引理 4[14]若B是一個n×n實對稱矩陣，其特征值λ1≥λ2≥…≥λn，則對任意x≠0∈Rn，有

xTBx≤λ1xTx，

等式成立當且僅當x是B對應于最大特征值λ1的特征向量.

引理 5(Cauchy-Schwarz)[15]設ai，bi∈R，i=1,2,…,n，則

2 SDD譜半徑的界

定理 1設G是一個n階連通圖，則

(1)

當且僅當G是正則圖等式成立.

(2)

定理 2設G是一個n階m條邊的圖，則

(3)

當且僅當G=K1,n-1等式成立.

(4)

(5)

如果式(3)中等式成立，則式(4)和式(5)變?yōu)榈仁? 由式(4)可知，對任意邊vivj∈E(G)有di=1，dj=n-1或dj=1，di=n-1，即G=K1，n-1.

定理 3設G是一個n階連通圖，邊數(shù)為m，則

(6)

當且僅當G是一個正則圖等式成立.

證明設單位向量x=(x1，x2，…，xn)T∈Rn.由引理4可知

η1(G)≥xTASDD(G)x=

(7)

3 SDD能量的界

定理 4設G是一個n階m條邊的圖，有最大度Δ，最小度δ≥1，則

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

證明由柯西-施瓦茲不等式得

(13)

因為

(14)

由式(13)和式(14)可直接得到式(8)～ 式(10).

又由式(13)得

(15)

由式(15)可知

εSDD(G)≤

式(11)和式 (12)得證，證畢.

定理 5設G是一個n個頂點m條邊的圖，δ>0，則

(16)

即

(17)

結(jié)合上述不等式及柯西-施瓦茲不等式，得

(18)

則

εSDD(G)≤η1+

(19)

考慮函數(shù)

定理 6設G是一個n個頂點m條邊的圖，且δ>0，則

(20)

(21)

(22)

定理 7設G是一個n個頂點m條邊的圖，則

ln|detASDD(G)|+n-1-ln 2.

證明對于任意的x>0，有x≥1+lnx. 則

η1+n-1+ln|detASDD(G)|-lnη1.

因為h(x)=n-1+x+ln|detASDD|-lnx在x∈[1，+∞)是單調(diào)遞增的，由定理1可知

ln|detASDD(G)|+n-1=

ln|detASDD(G)|+n-1-ln 2.