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    一類Laplace方程預(yù)定夾角問題的邊界梯度估計(jì)

    2022-12-16 11:34:08馬春梅司雨欣吳婷婷
    關(guān)鍵詞:項(xiàng)為將式邊值問題

    馬春梅, 司雨欣, 吳婷婷

    (新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 新疆 烏魯木齊 830017)

    0 引言

    在二階橢圓型偏微分方程的研究過程中, 邊值問題的解的存在性是最重要的問題之一.邊值問題主要分為Dirichlet問題,Neumann問題與斜導(dǎo)數(shù)問題,而解決邊值問題解的存在性問題的關(guān)鍵在于先驗(yàn)估計(jì),即解的梯度估計(jì),最大模估計(jì)等.梯度估計(jì)中的Dirichlet問題已有廣泛的研究,1969年Serrin[1]給出了二階擬線性橢圓型偏微分方程的Dirichlet問題的解的存在性的證明.2001年Gibarg,Trudinger等人[2],研究了具有Dirichlet問題的可解性和線性方程解的一般性質(zhì).對(duì)于預(yù)定夾角問題,也有相關(guān)研究,Simon-Spruck[3],Gerhardt[4],Lieberman[5]等人利用分部積分法用給出了高維預(yù)定夾角問題的梯度估計(jì).

    2014年,徐金菊[6]綜合利用Spruck[7],Wang[8],Lieberman[5]所發(fā)展的Bernstein技巧給出了Laplace方程N(yùn)eumann問題的梯度估計(jì),即

    Δu=f(x,u),x∈Ω,

    2019年,劉海燕研究如下Laplace方程在Neumann邊值問題的梯度估計(jì)[9],即

    Δu=f(x,u,Du),x∈Ω,

    受徐金菊[6]的啟發(fā),本文考慮如下形式的一類Laplace方程預(yù)定夾角問題的梯度估計(jì)

    Δu=f(x,u,Du),x∈Ω,

    鑒于橢圓型偏微分方程解的梯度估計(jì)證明[10-11],本文利用徐金菊所使用的Bernst-ein技巧,推導(dǎo)出Laplace方程中關(guān)于f依賴于x,u,Du時(shí)預(yù)定夾角的解的全局梯度估計(jì)的結(jié)果.

    1 預(yù)備知識(shí)

    為了證明簡(jiǎn)便,本節(jié)將介紹一些基本概念及性質(zhì).設(shè)Ω是Rn中的有界區(qū)域n≥2,?Ω∈C3,γ是?Ω的單位內(nèi)法向.令

    d(x)=dist(x,?Ω),

    Ωμ={x∈Ω:d(x)<μ}.

    |Dγ|+|D2γ|≤C(n,Ω),

    引入記號(hào)cij=δij-γiγj.對(duì)任一Rn中向量ζ,記ζ′為ζ的切向部分,其第i個(gè)分量定義為

    梯度Du的切向量記為D′u,則

    引理1[6]研究如下二次型

    |Du|(x0)=u1(x0)≥C10,

    則以下結(jié)論正定,

    ζT=(1,…,1),ηT=(e3,…,en).

    2 主要結(jié)果

    考慮如下Laplace方程的預(yù)定夾角問題

    Δu=f(x,u,Du)x∈Ω

    (1)

    (2)

    (3)

    (4)

    引理2[12]設(shè)u∈C3(Ω)為式(1)的解,則對(duì)任一區(qū)域Ω′??Ω有

    其中M1只依賴于n,M0,dist(Ω′,?Ω),L1.

    則存在小的正常數(shù)μ0使得

    并且C0是只依賴于n,Ω的正常數(shù).令

    φ(x)=logΦ(x)=logω+h(u)+g(d).

    其中

    情形1x0∈?Ω,由Hopf 引理得|Du|(x0)有界,對(duì)φ求法向?qū)?shù),再利用邊界點(diǎn)性質(zhì)即可得到,證明過程可參照文[6].

    情形2 若x0∈?Ωμ0∩Ω則歸結(jié)為內(nèi)部梯度估計(jì).由引理2,可得

    情形3 若x0∈Ωμ0,證明|Du|(x0)有界.

    由以上選取,分3步完成定理證明.以下計(jì)算都將在x0點(diǎn)進(jìn)行.

    第1步: 先推導(dǎo)△φ

    對(duì)φ微分兩次,得到

    由φi(x0)=0,有

    (5)

    由式(5),可得

    根據(jù)坐標(biāo)系的選取和方程(1),有

    (6)

    由ω的定義,對(duì)ω微分兩次,并根據(jù)坐標(biāo)系的選取,有

    (7)

    由v的定義,在x0點(diǎn),可得

    vvi=u1u1i

    (8)

    由式(8),得

    (9)

    將式(9)代入式(7)可得

    (10)

    因?yàn)镈kf=fxk+fuuk+fplulk,由方程(1)和式(10)及坐標(biāo)系的選取,將式(10)代入式(6),可得

    0≥Δφ=:I1+I2+I3

    (11)

    由于

    因?yàn)?/p>

    因此,式(11)中uij的二次項(xiàng)為

    uij的一次項(xiàng)為

    其他剩余項(xiàng)為

    由|cosθγ1|≤|cosθ|≤b0<1,在x0點(diǎn),可得

    從而,得到

    I3≥(h″-h′2)u12-C1u1.

    第2步: 利用條件φi(x0)=0處理I1,I2并得到式(18),由式(5)和式(8),及坐標(biāo)系的選取,得到

    (12)

    (13)

    (14)

    將式(14)代入式(12)和式(13),得到

    (15)

    (16)

    其中

    得到估計(jì)|D|≤C2u1.

    由方程(1)和式 (16),可得

    (17)

    公式化簡(jiǎn)I1,I2,代入式(11)得

    0≥Δφ=:Q1+Q2+Q3

    (18)

    其中uij的二次項(xiàng)為

    (19)

    uij的一次項(xiàng)為

    (20)

    Q3=(h″-h'2)u12+Ο(u1).

    第3步: 主要計(jì)算Q1,Q2,并通過引理1完成定理證明.由式(17)有

    (21)

    將式(21)代入Q1,得到

    (22)

    其中

    化簡(jiǎn)Q2,將式(21)代入式(20),得

    (23)

    由式(21)和式(22),得

    其中

    以及

    (24)

    |R|≤C5u1.

    根據(jù)引理1,如果存在正常數(shù)C6使得

    |Du|(x0)≥C6

    (25)

    則有

    (26)

    結(jié)合式(25),將式(26)代入式(18),得到

    從而存在正常數(shù)C9使得

    |Du|(x0)≤C9

    (27)

    由情形1,情形2和式(27),得到

    |Du|(x0)≤C9,x0∈Ωμ0∩?Ω.

    |Du|(x)≤M2,x∈Ωμ0∪?Ω.

    最后得到

    定理得證.

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