Hilbert空間中關(guān)于有限時滯隨機(jī)發(fā)展方程的Trotter-Kato逼近體系*

劉 明，戴凌飛，張 霞

（天津工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

0 引 言

近年來，隨機(jī)發(fā)展方程的逼近理論研究已引起了國內(nèi)外許多相關(guān)領(lǐng)域著名學(xué)者的關(guān)注，如：Ichika‐wa［1］研究了半線性隨機(jī)發(fā)展方程的Yosida逼近體系，并給出了該體系下適定解的指數(shù)穩(wěn)定性，在此基礎(chǔ)上，Govindan 和 Ahmed［2］進(jìn)一步證明了此類方程適定解的魯棒穩(wěn)定性；Ahmed和 Ding［3］研究了半線性隨機(jī)發(fā)展方程中的非線性漂移項(xiàng)同時依賴于解過程在給定時刻的狀態(tài)和概率分布，且常數(shù)可加擴(kuò)散項(xiàng)為正對稱有界算子時適定解的性質(zhì)，并建立了方程關(guān)于適定解的Yosida逼近體系，從而給出解的指數(shù)穩(wěn)定性；Govindan 和 Ahmed［4］研究了當(dāng)方程中的非線性漂移項(xiàng)如文獻(xiàn)［3］中定義，但常數(shù)可加擴(kuò)散項(xiàng)為算子值函數(shù)時的情況，接著通過方程適定解建立了 Yosida逼近體系；Govindan［5-7］研究了上述3類隨機(jī)發(fā)展方程適定解的Trotter-Kato逼近體系，并給出了其在該逼近體系下適定解誘導(dǎo)概率測度的弱收斂性，以及關(guān)于方程參數(shù)依賴性的經(jīng)典極限定理.而且Trotter-Kato逼近理論研究在自然科學(xué)、工程學(xué)以及金融數(shù)學(xué)等眾多學(xué)科所誘導(dǎo)的隨機(jī)動力系統(tǒng)的模擬計(jì)算中起著越來越重要的作用.本文擬介紹隨機(jī)發(fā)展方程的Trotter-Kato逼近理論的研究進(jìn)展，并將在此基礎(chǔ)上研究有限時滯隨機(jī)發(fā)展方程關(guān)于適定解的Trotter-Kato逼近體系.

首先，回顧半線性隨機(jī)發(fā)展方程

式中：A是Hilbert空間X上有界線性算子強(qiáng)連續(xù)半群{S(t)，?t≥ 0}的無窮小生成元；f是定義在 R+×X上的X值函數(shù)；g是定義在R+×X上的L(Y，X)值函數(shù)；ω(t)是Y值維納過程；初值x0是F0可測X值隨機(jī)變量 .1982年，Ichikawa［1］證明了方程（1）適定解的存在唯一性；2015年，Govindan［6］通過適定解將Trotter-Kato逼近體系引入到該方程并得到了一些重要的結(jié)論；2015 年，Govindan 和 Ahmed［4］對方程（1）中的非線性漂移項(xiàng)f進(jìn)行了推廣，使其同時依賴于隨機(jī)過程x(t)在t時刻的狀態(tài)和概率分布μ(t)，改進(jìn)后的方程為

1995 年，Ahmed 和 Ding［3］考慮了當(dāng)常數(shù)可加擴(kuò)散項(xiàng)的情形.此時上述方程變?yōu)椋?/p>

式中Q是X上的正對稱有界算子.2006年，Govin‐dan［5］研究了方程（3）上的 Trotter-Kato 逼近體系 .2018 年，Govindan［7］根據(jù)方程的適定解引入了 Trot‐ter-Kato逼近體系，并給出在該體系下適定解誘導(dǎo)概率測度的弱收斂性.

基于此，本文將致力于研究有限時滯隨機(jī)發(fā)展方程的Trotter-Kato逼近體系，進(jìn)而得到一些有意義的結(jié)果.方程的具體形式為

1 預(yù)備知識

2 Trotter-Kato逼近體系

隨機(jī)發(fā)展方程（4）適定解的存在唯一性可由命題2.1得到，本文在主要結(jié)論定理2.1中證明了當(dāng)p≥2時Trotter-Kato逼近體系下的適定解收斂于方程（4）的適定解；在此基礎(chǔ)上，定理2.2給出關(guān)于零階逼近的結(jié)論用以估計(jì)逼近的誤差.

2.1 適定解的收斂性

現(xiàn)考慮如下隨機(jī)發(fā)展方程

2.2 零階逼近

為得到關(guān)于零階逼近的結(jié)果，先給出如下假設(shè)：

3 經(jīng)典極限定理

4 應(yīng) 用

這證明了 f：R+× X → X.類似地，也可證明 g：R+×X → L(Y，X).因此方程（19）中的 A、f和 g均符合方程（4）中所給出的定義，即方程（19）可以看作是方程（4）的抽象形式.

這表明在一定的假設(shè)條件下，本文前面所給出的在Trotter-Kato逼近體系下適定解的收斂性，零階逼近以及經(jīng)典極限定理等結(jié)論對方程（19）都是同樣成立.