基于MATLAB/GUI的一級倒立擺控制仿真軟件設(shè)計(jì)*

袁新娣，陳 睿

(贛南師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，江西 贛州 341000)

1 引言

倒立擺是一種典型的復(fù)雜控制系統(tǒng)，具有非線性、多變量、強(qiáng)耦合和自然不穩(wěn)定的特點(diǎn)[1].許多工業(yè)工程和軍事工程中的運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)，其控制思想和方法均來自于倒立擺的控制機(jī)理，例如，工業(yè)機(jī)器人行走的平衡控制、海洋鉆井系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，火箭發(fā)生器的垂直控制等等[2]，所以倒立擺的控制一直是一個(gè)經(jīng)典的控制實(shí)例，在控制原理課程中，經(jīng)常以倒立擺為控制對象對控制算法進(jìn)行學(xué)習(xí).但是倒立擺控制系統(tǒng)體積大、體重也大，不適合將設(shè)備搬到課堂進(jìn)行講解演示，學(xué)生學(xué)習(xí)或者設(shè)計(jì)控制算法時(shí)如果每次都要到實(shí)驗(yàn)室測試，也將帶來很多的不方便.為了方便師生的教與學(xué)，有較多的文獻(xiàn)對倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析與設(shè)計(jì)，文獻(xiàn)[3]設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)線性二級倒立擺基于MATLAB/GUI仿真，但文獻(xiàn)對仿真方法描述籠統(tǒng)，仿真結(jié)果也不清晰，GUI界面設(shè)計(jì)不夠直觀等不足；文獻(xiàn)[4]對環(huán)形倒立擺系統(tǒng)應(yīng)用三維建模軟件進(jìn)行建模，然后應(yīng)用MATLAB/SIMULINK進(jìn)行仿真分析，文獻(xiàn)[5]中對單級倒立擺根據(jù)物理原理建模，然后基于建立的模型應(yīng)用MATLAB/SIMULINK進(jìn)行仿真控制分析，大部分介紹倒立擺仿真控制的文獻(xiàn)都是使用MATLAB/SIMULINK工具進(jìn)行，MATLAB/SIMULINK工具的使用需要對該MATLAB熟練掌握，其直觀性不夠，對初學(xué)控制原理知識的同學(xué)，掌握該工具比較困難.所以，本文首先根據(jù)一級小車倒立擺的物理原理建立數(shù)學(xué)模型，然后應(yīng)用MATLAB軟件的GUI工具設(shè)計(jì)一個(gè)方便直觀的倒立擺仿真控制軟件，通過該軟件可以修改倒立擺系統(tǒng)參數(shù)，選擇控制算法，觀察運(yùn)行效果等功能，對學(xué)習(xí)控制原理帶來了較好的幫助.

2 倒立擺數(shù)學(xué)模型

為了對倒立擺進(jìn)行控制仿真，首先必須建立倒立擺的數(shù)學(xué)模型，本文以如圖1所示的小車倒立擺為例進(jìn)行分析，長度為2l、質(zhì)量為m的擺竿通過鉸鏈安裝在質(zhì)量為M的小車上面，小車由直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)，如果不給小車驅(qū)動(dòng)力，倒立擺將向左或向右倒下，即系統(tǒng)不穩(wěn)定.如果在水平方向給小車施加控制力u,控制小車在水平方向移動(dòng)，那么倒立擺將保持在垂直位置上不倒下[6].

圖1 一階小車倒立擺示意圖

設(shè)小車瞬時(shí)位置為z，擺桿偏角度為θ，則擺心瞬時(shí)位置為(z+lsinθ)，當(dāng)忽略擺桿與電機(jī)慣性、各類摩擦力及風(fēng)力的情況下，根據(jù)牛頓第二定律得式(1).

(1)

由于繞擺軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的慣性力矩與重力矩平衡，所以式(2)成立.

(2)

(3)

(4)

聯(lián)立式(3)式(4)解得式(5).

(5)

(6)

其中

式中g(shù)是重力加速度，取值9.81.為了分析系統(tǒng)的能控性與能觀性，假設(shè)系統(tǒng)的M=1kg,m=0.5kg,l=0.3m,計(jì)算能控性判斷矩陣[B,AB,A2B,A3B]的秩等于4，能觀測性判斷矩陣[C,CA,CA2,CA3]T的秩等于4，所以系統(tǒng)具有完全能觀性和完全能控制性.

3 倒立擺控制GUI仿真軟件設(shè)計(jì)框架

使用MATLAB的GUI控件工具相，建立如圖2所示的仿真軟件前面板界面，界面上包含倒立擺運(yùn)行時(shí)的擺桿的角度變化及小車位移變化隨時(shí)間變化的坐標(biāo)，倒立擺參數(shù)設(shè)置，倒立擺的二維動(dòng)畫，控制方式選擇，算法參數(shù)設(shè)置等模塊.用戶可以在界面右下角任意設(shè)置小車倒立擺的參數(shù)，然后在控制方式模塊的下拉菜單中選擇控制算法，右下角設(shè)置完成算法中的參數(shù)，點(diǎn)擊“確定”按鈕時(shí)系統(tǒng)將讀取用戶輸入的信息，進(jìn)行仿真，并把仿真的結(jié)果顯示在界面左邊的坐標(biāo)軸上，同時(shí)右上角顯示小車移動(dòng)的二維動(dòng)畫效果圖.本軟件設(shè)計(jì)了倒立擺常用的3種控制算法：極點(diǎn)配置算法，線性二次型最優(yōu)控制算法，PID控制算法.

圖2 GUI仿真軟件前面板

3.1 倒立擺極點(diǎn)配置控制算法仿真設(shè)計(jì)

極點(diǎn)配置控制算法的基本原理是：當(dāng)被控系統(tǒng)滿足完全能控條件時(shí)，將系統(tǒng)的狀態(tài)信息反饋到系統(tǒng)的輸入端，使得閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)成為用戶要求的極點(diǎn).由前面倒立擺數(shù)學(xué)模型分析可知，一級倒立擺系統(tǒng)完全能控，所以可以通過調(diào)節(jié)反饋參數(shù)達(dá)到極點(diǎn)任意配置的目的.本軟件應(yīng)用全狀態(tài)反饋方法進(jìn)行極點(diǎn)配置，即從系統(tǒng)的4個(gè)狀態(tài)處設(shè)置增益為[k1,k2,k3,k4]的負(fù)反饋(以公式(5)為系統(tǒng)狀態(tài)空間描述，系統(tǒng)的輸出就是系統(tǒng)的狀態(tài))，系統(tǒng)的希望極點(diǎn)從圖2所示仿真平臺右下角輸入， GUI回調(diào)函數(shù)中計(jì)算負(fù)反饋增益[k1,k2,k3,k4]的指令為：

Qc=ctrb(A,B);

j1= str2double(get(handles.edit15, 'String'));% 從前面板讀取極點(diǎn)1

j2= str2double(get(handles.edit16, 'String'));% 從前面板讀取極點(diǎn)2

j3= str2double(get(handles.edit17, 'String'));% 從前面板讀取極點(diǎn)3

j4= str2double(get(handles.edit18, 'String'));% 從前面板讀取極點(diǎn)4

EA=diag([j1,j2,j3,j4]);

PP=polyvalm(poly(EA),A);

Ks=[0 0 0 1]*inv(Qc)*PP; %計(jì)算反饋矩陣增益

[t,x,y]=sim('ploeandlqr.mdl') %通過調(diào)用siumlink文件形成輸出信號.

sim()函數(shù)調(diào)用的程序ploeandlqr.mdl如圖3所示.點(diǎn)擊平臺的“確認(rèn)”按鈕后，平臺運(yùn)行如圖4所示，

圖3 ploeandlqr.mdl程序 圖4 選擇極點(diǎn)配置算法后運(yùn)行的界面

可見在階躍信號作用下，當(dāng)極點(diǎn)配置為-10、-10、-1+j、-1-j時(shí)，桿的偏移角在5秒后恢復(fù)到零，穩(wěn)定后小車位移為-0.16 m.

3.2 倒立擺的線性二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)

線性二次型最優(yōu)控制，就是設(shè)計(jì)最優(yōu)控制率u*(t)，使得式(7)表示的性能指標(biāo)J最小.

(7)

式中Q(t) 是n*n維正定(或者半正定)對稱矩陣，R(t)是r*r對稱矩陣，x(t)是系統(tǒng)狀態(tài)，u(t)是系統(tǒng)輸入.同時(shí)，最優(yōu)控制規(guī)律是一個(gè)狀態(tài)線性反饋規(guī)律，控制向量u*(t)由狀態(tài)向量x(t)反饋生成，并且呈線性關(guān)系.在MATLAB中利用LQR指令可以方便的獲取系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的狀態(tài)反饋系數(shù).本軟件從GUI前面板界面輸入?yún)?shù)Q(t)和R(t)，回調(diào)函數(shù)使用如下指令獲取線性二次型最優(yōu)控制的反饋系數(shù)：

R= str2double(get(handles.edit28, 'String'));%獲取R(t)

Q= str2num(get(handles.edit30, 'String'));%獲取Q(t)

Ks=lqr(A,B,Q,R); %計(jì)算反饋矩陣增益

[t,x,y]=sim('ploeandlqr.mdl'); %通過sim函數(shù)調(diào)用仿真程序

Sim()調(diào)用的程序ploeandlqr.mdl如圖3所示，GUI運(yùn)行的結(jié)果如圖5所示，可見在階躍信號作用下，當(dāng)R(t)=0.5，Q(t)=[100 0 0 0 ; 0 1 0 0 ; 0 0 100 0; 0 0 0 1]時(shí)，擺桿的偏移角在4 s后恢復(fù)到零，穩(wěn)定后小車位移為-0.07 m.當(dāng)改變Q與R的值時(shí)系統(tǒng)的輸出將發(fā)生變化.

圖5 選擇線性二次型最優(yōu)控制算法后運(yùn)行的界面

3.3 倒立擺的PID控制設(shè)計(jì)

PID(Proportion Integration Differentiation)控制規(guī)律如式(8)所示，

(8)

式中m(t)是控制器的輸出，e(t)是控制器的輸入.算法主要通過調(diào)整比例環(huán)節(jié)系數(shù)Kp，積分環(huán)節(jié)系數(shù)KI及微分環(huán)節(jié)系數(shù)KD三個(gè)參數(shù)，使得被控制系統(tǒng)達(dá)到預(yù)定的性能指標(biāo).

PID控制器可以作用于系統(tǒng)的前向通道，也可以作用于系統(tǒng)的反饋通道，本軟件將PID用于反饋通道，并且結(jié)合期望極點(diǎn)配置的反饋系數(shù)控制倒立擺的性能指標(biāo).回調(diào)函數(shù)實(shí)現(xiàn)PID控制的指令主要為：

p=[-10,-7,-1.901,-1.9];%設(shè)置極點(diǎn)

Kpid=place(A,B,p); %反饋系數(shù)

KP=str2double(get(handles.edit19, 'String'));%獲取KP

KI=str2double(get(handles.edit20, 'String'));% 獲取KI

KD=str2double(get(handles.edit21, 'String'));% 獲取KD

[t,x,y]=sim('pidkz.mdl'); %調(diào)用simulink仿真程序

Sim()函數(shù)調(diào)用的程序pidkz.mdl如圖6所示，軟件運(yùn)行結(jié)構(gòu)如圖7所示，可見在階躍信號作用下，當(dāng)KP=18，KI=0.001，KD=1時(shí)，擺桿的偏移角在4 s后恢復(fù)到零，穩(wěn)定后小車位移為-0.017 m.

圖6 pidkz.mdl程序 圖7 選擇PID控制算法后運(yùn)行的界面

4 總結(jié)

本文首先分析了倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，確定其具有完全能觀性與完全能控性，然后通過Matlab 的GUI工具箱建立軟件的前面板，GUI文件通過調(diào)用回調(diào)函數(shù)實(shí)現(xiàn)了前面板輸入相關(guān)參數(shù)，后臺執(zhí)行程序，然后又將執(zhí)行結(jié)果顯示在前面板的效果.設(shè)計(jì)的GUI仿真軟件為控制原理的學(xué)習(xí)帶來了形象、直觀的效果，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.另一方面，本設(shè)計(jì)可以在現(xiàn)有設(shè)計(jì)框架下進(jìn)行拓展，增加倒立擺的其他控制算法，比如滑?？刂?、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、模糊控制等，為學(xué)習(xí)更多的算法提供便利.