基于Copula聚類模型股票市場(chǎng)VaR度量

□文/劉明成

（1.重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；2.社會(huì)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 重慶）

［提要］對(duì)股票分組引入聚類分析，通過對(duì)股票收益率的分析完成中央?yún)R金投資機(jī)構(gòu)所持有的20支股票的聚類，建立t-Copula聚類-VaR模型，得出各置信度下的VaR值，且計(jì)算出的VaR通過Kupiec似然比檢驗(yàn)，由此避免金融產(chǎn)品自身屬性對(duì)Copula分組-VaR模型的影響，為金融產(chǎn)品投資者提供新的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值衡量方向。

一、引言

組合投資一直是金融機(jī)構(gòu)的投資主題，對(duì)其聚合風(fēng)險(xiǎn)的評(píng)定是一個(gè)繞不開的話題。VaR風(fēng)險(xiǎn)度量法在1963年被Baumol提出，現(xiàn)如今已成為風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量的主流路徑，將各種模型結(jié)合VaR度量方法能夠得到更加精確的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值。傳統(tǒng)的VaR計(jì)算方法包括歷史模擬法、方差-協(xié)方差法、蒙特卡洛模擬的方法，此種方法已經(jīng)被秦拯、楊楊等學(xué)者探討研究過，對(duì)于衡量單一資產(chǎn)的金融風(fēng)險(xiǎn)有很好的效果，但對(duì)于存在復(fù)雜相依結(jié)構(gòu)的組合投資有很大的局限性，會(huì)忽略多個(gè)金融資產(chǎn)之間的聯(lián)合分布。而Sklar提出的Copula函數(shù)，便成為了描述多個(gè)金融資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)之間的相依關(guān)系的有利工具，王明哲、魯志軍、曹輝利用Copula-VaR模型將組合投資的整體風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了測(cè)量，得到了比傳統(tǒng)var測(cè)量方式更優(yōu)越的結(jié)果。但混業(yè)經(jīng)營(yíng)下金融機(jī)構(gòu)所擁有的基礎(chǔ)金融產(chǎn)品的維度數(shù)量龐大，若是單純地利用一個(gè)Copula函數(shù)對(duì)它們之間的相依關(guān)系進(jìn)行度量，會(huì)出現(xiàn)“維數(shù)災(zāi)難”，而周全、陳振龍?jiān)诮鹑跈C(jī)構(gòu)的混業(yè)經(jīng)營(yíng)情況下提出分組的Copula-VaR模型在一定程度上有效地緩解了這一問題，但他們兩人提出的分組是基于判定金融產(chǎn)品所屬類型上，具有一定主觀性，而且若是所有產(chǎn)品都屬于同一類別也會(huì)造成無(wú)法“降維”的窘迫情況。為解決這兩個(gè)問題，本文提出Copula-聚類-VaR分析方法，通過金融收益率之間的相似程度為啟發(fā)方向進(jìn)行探索。

二、相關(guān)理論及方法

（一）傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)度量工具VaR的定義。VaR是value at risk（在險(xiǎn)價(jià)值）的縮寫，是進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的重要工具。其意義是在資產(chǎn)價(jià)值波動(dòng)的情況下，在一定的概率水平下，投資者或金融機(jī)構(gòu)所持有的資產(chǎn)在未來(lái)的一段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生最大可能的損失。用公式表示如下：

△P為單一資產(chǎn)或是組合資產(chǎn)在持有期內(nèi)的損失，VaR為執(zhí)行水平α下的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，而在實(shí)際運(yùn)用中，風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的度量往往是通過對(duì)數(shù)收益率來(lái)計(jì)算，本文也采用這種方法。

（二）VaR模型的準(zhǔn)確性檢驗(yàn)。本文采用Kupiec（1995）提出的失敗頻率檢驗(yàn)法進(jìn)行模型的檢驗(yàn)，即假定CoVaR估計(jì)具有相互獨(dú)立性，實(shí)際損失超過估計(jì)出的CoVaR為失敗，否則為成功，p*=1-a（a為置信度）。實(shí)際考察天數(shù)為T，失敗天數(shù)為N，那么失敗頻率為p（N/T）。零假設(shè)為p=p*，如此對(duì)VaR模型準(zhǔn)確性的評(píng)估就轉(zhuǎn)化為檢驗(yàn)失敗頻率p是否顯著不同于p*。便提出了對(duì)零假設(shè)最為適合的似然比率檢驗(yàn)：

在零假設(shè)條件下，統(tǒng)計(jì)量LP服從自由度為1的χ2分布。如，當(dāng)置信度為0.05時(shí)，臨界值為3.841，若計(jì)算出的LR統(tǒng)計(jì)量小于這個(gè)值，則接受原假設(shè)，認(rèn)為模型通過檢驗(yàn)。

（三）K-均值聚類算法。相比于用一個(gè)Copula函數(shù)去測(cè)量整個(gè)組合資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，Copula分組模型得到的效果更加優(yōu)良，而對(duì)金融序列進(jìn)行分組是通過其所屬的產(chǎn)品和行業(yè)的類別來(lái)判別，忽略了數(shù)據(jù)本身的波動(dòng)情況，所以本文將從多個(gè)金融產(chǎn)品的波動(dòng)率方面進(jìn)行分類，然后再采用多個(gè)Copula模型進(jìn)行蒙特卡洛模擬得到最后的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值。

K-均值聚類算法是動(dòng)態(tài)聚類中歷史悠長(zhǎng)的典型算法，在1968年由MacQuean提出，在各領(lǐng)域具有廣泛的影響力。算法開始時(shí)先將要被分類的數(shù)據(jù)分為K個(gè)組，之后隨機(jī)挑選出K個(gè)對(duì)象作為聚類中心，由此計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)與K個(gè)聚類中心之間的距離，進(jìn)行臨近分配。聚類中心和分給它們的數(shù)據(jù)對(duì)象就形成一個(gè)新的類別，由此不斷重復(fù)直到滿足聚類中心不再發(fā)生變化時(shí)，即誤差平方和局部最小，就形成了最終的聚類情況。

（四）copula函數(shù)理論。Copula函數(shù)的概念最早是由Sklar提出的，其在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的作用是將多個(gè)單獨(dú)的分布函數(shù)通過Copula函數(shù)作用成一個(gè)聯(lián)合分布。

1、Copula函數(shù)定義。d維Copula函數(shù)C是指有如下性質(zhì)的一類多元函數(shù)：

·C對(duì)它的每個(gè)變量都是單調(diào)增加的；

·C（u1，…，uk-1，0，uk+1，…，ud）=0且C（1，…，1，uk，1，…，1）=uk，其中u1，…，ud∈［0，1］。

所以，存在一個(gè)具有邊緣分布F1，…，F(xiàn)d的d維聯(lián)合分布函數(shù)F，則有一個(gè)Copula函數(shù)C，使得：

F（x1，…，xd）=C（F1（x1），F(xiàn)2（x2），…，F(xiàn)d（xd）），-∞≤x1，…，xd≤+∞成立。

2、Copula函數(shù)。目前已經(jīng)出現(xiàn)了多種Copula函數(shù)，可大致分為橢圓Copula和Archimidean Copula兩類，而橢圓Copula函數(shù)根據(jù)隨機(jī)變量所服從的具體分布可分為多元正態(tài)Copula和t-Copula。

由于金融數(shù)據(jù)的尖峰厚尾性，本文不妨將各金融數(shù)據(jù)擬合成t分布，利用t-Copula函數(shù)進(jìn)行組合資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的測(cè)量。t-Copula滿足下式：

上式中，tR.v（·）為自由度是v的相關(guān)系數(shù)矩陣為R的多元t分布，tv-1（·）為自由度是v的t分布函數(shù)的逆函數(shù)。

其分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為：

其中，參數(shù)可以由兩階段法的極大似然估計(jì)求出，即先估計(jì)出各邊緣分布的參數(shù)，確定邊緣分布后，代入收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行（0，1）之間的映射，再由映射后的數(shù)據(jù)得出Copula函數(shù)的參數(shù)。

（五）基于Copula的蒙特卡洛模擬。使用蒙特卡洛模擬的算法，生成大量隨機(jī)的收益率數(shù)據(jù)，再利用VaR定義確定置信度下的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值。其具體步驟如下：（1）確定各組內(nèi)各收益率的邊際分布；（2）通過映射的數(shù)據(jù)確定各組Copula函數(shù)的參數(shù)，由此確定各組的Copula函數(shù)；（3）利用擬合好的Copula函數(shù)生成大量的隨機(jī)數(shù)；（4）將上一步生成的隨機(jī)數(shù)通過邊緣分布函數(shù)的逆得出相應(yīng)的收益率；（5）將得出的收益率以等權(quán)重的方式求和計(jì)算不同置信度下的VaR值。

三、實(shí)證分析

為滿足研究方向的潛在條件，即所有的股票是都被同一家機(jī)構(gòu)所持有。故選擇中央?yún)R金資產(chǎn)管理公司所投資的20支股票進(jìn)行研究，數(shù)據(jù)來(lái)源于東方財(cái)富choice金融終端，時(shí)間段為2015年6月1日至2021年3月23日的日收盤數(shù)據(jù)，去除缺失值后，數(shù)量為948，股票名稱及類別如表1所示。（表1）

表1 股票分類及名稱一覽表

之后，通過利用對(duì)數(shù)收益率公式：

計(jì)算出每只股票的波動(dòng)率，再進(jìn)行K-均值聚類，這里是將每支股票作為樣本，將其每天的收益率作為特征進(jìn)行計(jì)算，得到了聚類的數(shù)量為5組，由此產(chǎn)生新的分組。聚類的結(jié)果如表2所示。（表2）

表2 聚類后樣本分類情況一覽表

由此我們完成了對(duì)收益率情況相似的股票進(jìn)行劃分。然后，將各收益率數(shù)據(jù)擬合成t分布，計(jì)算出所有邊緣分布函數(shù)的參數(shù)，之后每一組邊緣函數(shù)都由一個(gè)t-Copula函數(shù)進(jìn)行連接，再估計(jì)出各組的參數(shù)（ρ，v），其中（ρ，v）分別表示t-Copula函數(shù)的相關(guān)系數(shù)和自由度，其結(jié)果如表3所示。（表3）

表3 參數(shù)估計(jì)情況一覽表

通過估計(jì)出的5組參數(shù)，可以得出5個(gè)t-Copula函數(shù)。接著采用蒙特卡洛模擬的方法，對(duì)每一組t-Copula函數(shù)隨機(jī)生成出5組共20支股票的50，000個(gè)收益率，接著按每支股票權(quán)重相等的方式進(jìn)行簡(jiǎn)單平均計(jì)算，得到組合資產(chǎn)的總收益率。然后按照風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的定義找出置信度為1%、2.5%、5%相應(yīng)的VaR值，并且計(jì)算出各自的LR統(tǒng)計(jì)量以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠裢ㄟ^，結(jié)果如表4所示。（表4）

表4 置信度對(duì)應(yīng)的VaR一覽表

由表4可知，在1%、2.5%、5%三個(gè)置信度情形下，其收益率的損失大小分別為10.819%、5.08%、2.96%，其含義是在越極端的情況下，其損失的價(jià)值越大。相應(yīng)的LR統(tǒng)計(jì)量都小于相對(duì)應(yīng)的χ2（1）值，即結(jié)果通過了Kupiec似然比檢驗(yàn)。

四、結(jié)論

基于資產(chǎn)類型分組之后再利用Copula函數(shù)進(jìn)行VaR值計(jì)算的方式雖然被人提出，但卻需要對(duì)金融產(chǎn)品的類型或者按產(chǎn)品所屬行業(yè)進(jìn)行分組，忽略了數(shù)據(jù)本身衍生出的收益率波動(dòng)情況，而本文表明，針對(duì)各產(chǎn)品收益率的波動(dòng)情況進(jìn)行聚類分組，再進(jìn)行Copula-VaR計(jì)算從理論與實(shí)際操作兩個(gè)方面都是能夠完成的。這樣可以為投資者提供新的風(fēng)險(xiǎn)衡量方向，進(jìn)一步完善了風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值測(cè)量方法。