水平轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤中兩體問(wèn)題的分析策略

許冬保

(江西省九江第一中學(xué) 332000)

1 摩擦力作用下水平轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤中的兩體問(wèn)題

置于水平圓盤上的物體維持其做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，是依靠靜摩擦力來(lái)提供的．靜摩擦力，具有隱蔽性、被動(dòng)性與可變性特點(diǎn)．當(dāng)靜摩擦力達(dá)最大值時(shí)，出現(xiàn)臨界角速度．同一圓盤上的兩體問(wèn)題，要求能從因果關(guān)系的視角，根據(jù)動(dòng)力學(xué)及圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)進(jìn)行推理分析及邏輯判斷．

例1 如圖1，兩個(gè)質(zhì)量分別為m、2m的小木塊a和b(可視為質(zhì)點(diǎn))放在水平圓盤上，a、b與轉(zhuǎn)軸OO′(俯視圖中只僅標(biāo)出O)的距離為l．木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g．若圓盤從靜止開(kāi)始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，用ω表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，下列說(shuō)法正確的是( ).

圖1

A．b一定比a先開(kāi)始滑動(dòng)

B．a(chǎn)和b滑動(dòng)前，b所受摩擦力大于a所受摩擦力

例2(2022年河南鄭州一中高考復(fù)習(xí)階段性水平測(cè)試)如圖2，質(zhì)量為m的小木塊a和質(zhì)量為2m的小木塊b(可視為質(zhì)點(diǎn))放在水平圓盤上，a與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為l，b與轉(zhuǎn)軸的距離為2l．木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g．若圓盤從靜止開(kāi)始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，用ω表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度．下列說(shuō)法正確的是 ( ).

圖2

A．b一定比a先開(kāi)始滑動(dòng)

B．a(chǎn)、b所受的摩擦力始終相等

點(diǎn)評(píng)以上2例是基于學(xué)習(xí)探索情境為依托的凸顯科學(xué)探究要素的試題，主要考查學(xué)生“科學(xué)思維”學(xué)科素養(yǎng)中的科學(xué)推理以及“物理觀念”中的運(yùn)動(dòng)與相互作用觀念．試題涉及靜摩擦力的分析、圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律、牛頓運(yùn)動(dòng)定律等內(nèi)容．要求學(xué)生理解靜摩擦力的可變性，以及應(yīng)用圓周運(yùn)動(dòng)中的有關(guān)知識(shí)，解決具體問(wèn)題．兩小木塊無(wú)論質(zhì)量或半徑關(guān)系如何，分析的思維方法是相同的．

2 彈力作用下水平轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤中的兩體問(wèn)題

圓盤上的兩體通過(guò)輕繩或輕彈簧相連，若忽略摩擦，則輕繩或輕彈簧產(chǎn)生的彈力提供向心力．彈力具有被動(dòng)性與可變性特點(diǎn)．分析輕繩時(shí)一般不計(jì)繩子的伸長(zhǎng)量；分析輕彈簧時(shí)，彈簧長(zhǎng)度、彈簧形變量以及圓周運(yùn)動(dòng)半徑注意不要混淆．

例3如圖3，足夠大的水平圓盤可繞過(guò)O點(diǎn)的豎直中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)．圓盤上有兩個(gè)質(zhì)量分別為m1、m2的小物塊被一長(zhǎng)度為l的輕繩相連，輕繩通過(guò)位于O點(diǎn)的非常小的光滑卡環(huán)(圖中未畫出)．已知輕繩能承受的最大張力為Tm，不計(jì)小物塊圓盤之間的摩擦．圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度可調(diào)，求圓盤穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的最大角速度以及質(zhì)量為m1的小物塊轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑r1．

圖3

解析設(shè)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度為ωm．對(duì)質(zhì)量分別為m1、m2的小物塊，分別由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有

例4如圖4，一個(gè)足夠大的水平圓盤，繞過(guò)O點(diǎn)的豎直中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)．中心轉(zhuǎn)軸O點(diǎn)上被串上兩根勁度系數(shù)均為k的輕彈簧，按如圖方式連接兩個(gè)小物塊A、B．已知小物塊A、B的質(zhì)量均為m．彈簧與O點(diǎn)及兩小物塊A、B均固定連接．若系統(tǒng)繞中心軸穩(wěn)定勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且轉(zhuǎn)動(dòng)中保持兩彈簧在同一直線上．不計(jì)小物塊與盤面之間的摩擦，彈簧形變?cè)趶椥韵薅葍?nèi)，求以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)兩彈簧長(zhǎng)度之比．

解析設(shè)兩彈簧的原長(zhǎng)為l0，系統(tǒng)穩(wěn)定勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，圖中近軸彈簧長(zhǎng)度為l1，遠(yuǎn)軸彈簧長(zhǎng)度為l2，則l1>l0，l2>l0．系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，對(duì)兩小物塊，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有

k(l1-l0)-k(l2-l0)=ml1ω2

k(l2-l0)=m(l1+l2)ω2

點(diǎn)評(píng)以上2例討論圓盤上通過(guò)輕繩、輕彈簧連接的兩體問(wèn)題．試題情境為學(xué)習(xí)探索情境，主要考查學(xué)生“科學(xué)思維”學(xué)科素養(yǎng)中的模型建構(gòu)、科學(xué)推理以及“物理觀念”中的運(yùn)動(dòng)與相互作用觀念．試題涉及彈力分析、圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律的應(yīng)用．例1中，小物塊做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力由輕繩的彈力提供，對(duì)于兩小物塊系統(tǒng)，在輕繩不被拉斷的條件下，無(wú)論圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度多大，穩(wěn)定時(shí)系統(tǒng)的質(zhì)心位置一定在O點(diǎn)與角速度大小無(wú)關(guān)．若繩子改為輕彈簧，分析方法相同．

3 彈力及摩擦力作用下水平轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤中的兩體問(wèn)題

由于摩擦力及彈力均為被動(dòng)力，具有可變性特點(diǎn)．因此，在轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤中的兩體問(wèn)題中，若同時(shí)涉及摩擦力及彈力提供向心力，情形比較復(fù)雜．一般地，隨圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的增大，所需要的向心力亦不斷增大，最先產(chǎn)生靜摩擦力然后出現(xiàn)彈力．其中，兩體分布在圓心同側(cè)及圓心異側(cè)是兩類最基本的情境．

例5如圖5，兩個(gè)質(zhì)量分別為2m和m的小木塊a和b(可視為質(zhì)點(diǎn))放在水平圓盤上，a與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為l，b與轉(zhuǎn)軸的距離為2l，a、b之間用長(zhǎng)為l的強(qiáng)度足夠大的輕繩相連，木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g．若圓盤從靜止開(kāi)始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)輕繩剛好伸直但無(wú)張力，用ω表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，分析a、b尚未開(kāi)始滑動(dòng)的情況．下列說(shuō)法正確的是( ).

圖5

A．a(chǎn)比b先達(dá)到最大靜摩擦力

B．a(chǎn)、b所受的摩擦力始終相等

例6(東北三省三校2022年高三第一次聯(lián)合模擬考試)如圖6，質(zhì)量為mA、mB的物體A、B用輕繩連接放在水平圓盤上，A、B距圓盤中心轉(zhuǎn)軸距離相等，此時(shí)細(xì)線伸直且恰無(wú)張力，A、B與圓盤間動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μA、μB．若圓盤從靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，且在角速度ω緩慢增大的過(guò)程中，若最大靜摩擦因數(shù)等于滑動(dòng)摩擦因數(shù)．下列說(shuō)法正確的是 ( ).

圖6

A．無(wú)論μA、μB大小關(guān)系如何，A、B一定同時(shí)達(dá)到最大靜摩擦力

B．當(dāng)μA=μB，mA>mB時(shí)，A先達(dá)到最大靜摩擦力

C．當(dāng)μA=μB，mA>mB時(shí)，隨角速度的緩慢增大，B的摩擦力方向?qū)l(fā)生改變

D．當(dāng)μA>μB，mA>mB時(shí)，隨角速度的緩慢增大，A、B將向B的一側(cè)發(fā)生滑動(dòng)

解析據(jù)題意，A、B距圓盤中心轉(zhuǎn)軸距離相等．因此，A、B隨圓盤做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力取決于兩者的質(zhì)量．且最大靜摩擦力與最大靜摩擦因數(shù)(等于動(dòng)摩擦因數(shù))及質(zhì)量有關(guān)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)μA=μB，mA>mB時(shí)，A、B做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力與圓盤所能提供的A、B所受最大靜摩擦力的比例相等．因此，同時(shí)達(dá)到最大靜摩擦力，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)μA=μB，mA>mB時(shí)，進(jìn)一步分析知，當(dāng)A、B達(dá)最大靜摩擦力時(shí)，繩子開(kāi)始出現(xiàn)張力．隨角速度的緩慢增大，A所需要的向心力始終大于B所需要的向心力，張力達(dá)到一定值時(shí)，B所受摩擦力會(huì)反向，選項(xiàng)C正確；同理知，當(dāng)μA>μB，mA>mB時(shí)，隨角速度的緩慢增大，A、B將向A的一側(cè)發(fā)生滑動(dòng)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．綜上，正確選項(xiàng)是C．

點(diǎn)評(píng)上述2例，主要考查學(xué)生“科學(xué)思維”學(xué)科素養(yǎng)中的模型建構(gòu)、科學(xué)推理、科學(xué)論證等要素以及“物理觀念”中的運(yùn)動(dòng)與相互作用觀念．例1中，轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤上的兩體分布在圓心同側(cè)，角速度較小時(shí)，向心力為靜摩擦力；達(dá)最大靜摩擦力之后，隨角速度進(jìn)一步增大，輕繩產(chǎn)生張力，直到輕繩斷裂或整體發(fā)生滑動(dòng)；例2中，轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤上的兩體分布在圓心兩側(cè)，情形比較復(fù)雜，隨角速度增大，其中B側(cè)物體受到的靜摩擦力發(fā)生突變(包括大小及方向)；剛要發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)同時(shí)出現(xiàn)最大靜摩擦力.

解題訓(xùn)練的目標(biāo)是發(fā)展能力、提升素養(yǎng)．水平轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤中兩體問(wèn)題的分析，能有效地促進(jìn)“科學(xué)思維”學(xué)科素養(yǎng)中模型建構(gòu)、科學(xué)推理、科學(xué)論證等要素的發(fā)展水平，在優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)的同時(shí)，形成更加清晰、系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)與相互作用觀念，進(jìn)而有效提高學(xué)生的理解能力、推理論證能力以及模型建構(gòu)能力．上述分析中，例題圖示，分別運(yùn)用側(cè)視、俯視、正視等不同的視角呈現(xiàn)，旨在提升學(xué)生的識(shí)圖能力．本文以兩體為例進(jìn)行分析，實(shí)際中三體或多體問(wèn)題的分析思路與方法與此基本相同．