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    “近似法”在簡諧運動中的應用

    2018-07-25 04:56:10彭愛國彭宇琪
    物理通報 2018年8期
    關鍵詞:小物塊小量平衡位置

    彭愛國 彭宇琪

    (武漢市第三中學 湖北 武漢 430050)

    在高中物理競賽中經(jīng)常出現(xiàn)要近似處理的試題,特別是在證明簡諧運動中經(jīng)常出現(xiàn).由于很多學生不熟悉“代數(shù)近似”的公式,不能靈活應用“小量近似”,從而不能突破問題的瓶頸,致使問題無法正確求解.近似處理通常有代數(shù)近似和幾何近似這兩種方法,本文以第34屆全國中學生物理競賽預賽第16題為例談談代數(shù)近似法和幾何近似法在具體問題中的應用.

    【題目】如圖1所示,兩勁度系數(shù)均為κ的同樣的輕彈性繩的上端固定在一水平面上,下端懸掛一質量為m的小物塊.平衡時,輕彈性繩與水平面的夾角為α0,彈性繩長度為l0.現(xiàn)將小物塊向下拉一段微小的距離后從靜止釋放.

    (1)證明小物塊做簡諧振動;

    (2)若κ=0.50 N/m,m=50 g,α0=30°,l0=2.0 m,重力加速度g=9.8 m/s2,求小物塊做簡諧振動的周期T;

    圖1 題圖

    方法1:代數(shù)近似法

    解:(1)取小物塊的平衡位置為原點O,y軸的正方向豎直向下,如圖2所示.

    圖2 方法1分析圖

    由牛頓第二定律可知

    ma=mg-2κ(l-L)sinα

    (1)

    式中a為物塊的加速度,L為彈性繩的原長,l和α分別為物塊離開平衡位置的位移為y時彈性繩的長度和彈性繩與水平面的夾角.

    由幾何關系得

    (2)

    (3)

    d=l0cosα0

    (4)

    式(4)代入式(2)展開,化簡得

    由于y是小量,y2是二階小量,可略去.得

    l=l0+ysinα0

    (5)

    將式(5)代入式(3),得

    忽略y2項,得

    l0sinα=l0sinα0+ycos2α0

    (6)

    當小物塊處在平衡位置時有

    mg=2κ(l0-L)sinα0

    (7)

    式(5)、(6)、(7)代入式(1),消去l,L,sinα,得

    ma=mg-

    略去y2項

    由簡諧運動的特征方程知F回=-Ky,所以

    因此,當y很小時,小物塊做簡諧運動.

    (2)小物塊做簡諧運動的周期為

    (8)

    將題給數(shù)據(jù)代入式(8)得T=1.8 s.

    (3)因將小物塊拉開距離y0=0.010 m 時從靜止松手,故小物塊做簡諧振動的振幅A=0.010 m.

    初始時,小物塊速度為零,小物塊位于最大位移處,其初相位為

    φ0=0

    (9)

    圓頻率為

    故在國際單位制中,小物塊做簡諧振動的方程為

    y=0.010cos(3.5t)

    方法2:幾何近似法

    解:(1)如圖3所示,過O作OC⊥AO′,交AO′于點C,因y極小,所以∠OAC極小, 所以∠AOC≈90°,即∠COO′≈α0,則有

    l=l0+ysinα0

    圖3 方法2分析圖

    當小物塊處在平衡位置時有

    mg=2κ(l0-L)sinα0

    取豎直向下為正方向,當物塊離開平衡位置一微小位移y時,則回復力

    F回=mg-2κ(l-L)sinα

    將l,sinα,L代入上式得

    分子中忽略y2項,分母中忽略y項,得

    所以小物塊做簡諧運動.

    (2)、(3)問同上.

    此題方法1用代數(shù)近似法,過程比較繁難,對學生的數(shù)學能力要求較高,一般學生不容易推導出簡諧運動的特征方程F回=-Ky,但用幾何近似法則省去了大量的代數(shù)推導,只用到最基本的小量近似就可得到簡諧運動特征方程.所以,對這類問題,我們應優(yōu)先考慮幾何近似法.

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